Xử lý các bình phương nhỏ nhất

CHƯƠNG 4: SỬ DỤNG DSP KHẢ TRÌNH TRONG XỬ LÝ DÀN ANTEN

4.3 Các kỹ thuật tạo búp sóng tuyến tính

4.3.3 Xử lý các bình phương nhỏ nhất

Mặc dù LMS tính toán đơn giản, nó cho phép giảm đáng kể các tính toán yêu cầu để thực hiện (33), nó có thể đưa đến hiệu suất bộ tạo búp sóng tối ưu. Không cần thiết phải có tất cả mẫu trong việc tính toán các ước tính tương quan, ˆRxx ≡(1/N)X XH , và

( )

ˆRxd ≡ 1/N X sH . Thay vào đó, các trung bình thời gian có thể được giảm một phần

mười (1/10) bởi một hệ số P, vì vậy chỉ sử dụng với mọi mẫu thứ P. Các trọng số tối ưu được tính toán bởi:

ˆ ˆ1

ˆ xx xd

w R R= − (47)

hoặc tương đương của nó. Có thể giảm kích thước của ma trận tự hiệp biến bằng việc tạo búp sóng sau ứng dụng của một tập hợp M1 búp sóng định trước được chứa trong các cột của ma trận T cỡ M M× 1, trong đó M1<M . Do đó thực hiện việc tạo búp sóng tuyến tính dựa trên vectơ số liệu thu đã chuyển đổi [6].

( ) TH ( )

x n% ≡ x n (48)

Từ việc tính toán các trọng số trong (47) có độ phức tạp bậc M N2 , điều này dẫn đến sự tiết kiệm đáng kể.

Hiệu suất cao hơn để giảm số lượng các anten, và độ lợi xử lý của dàn đầy đủ M phần tử vẫn có ý nghĩa đối với bộ tạo búp sóng. Các kỹ thuật này có thể cho phép xử lý LS thuận lợi trong các trường hợp tổng số chu kỳ DSP bị giới hạn.

Thực hiện (47) thực tế sẽ không tính toán trực tiếp ma trận tự tương quan dự đoán ˆRxx, nhưng làm việc nhiều hơn với hệ số Cholesky Rx của nó. Hệ số Cholesky là ma trận tam giác trên duy nhất có thuộc tính:

R RHx x =Rˆxx (49)

với các phần tử đường chéo thực. Hệ số Cholesky có thể được tính trực tiếp từ ma trận số liệu thu X được định nghĩa trong (20). Việc thực hiện không chỉ ổn định hơn trường hợp (47), mà số lượng các bit chính xác yêu cầu để thực hiện thuật toán bằng một nửa của (47). Có điều này là bởi vì trong (47), việc tính toán của ˆRxx liên quan đến việc tính toán bình phương của số liệu đầu vào.

Đưa ra ma trận kết hợp N M× , ma trận số liệu thu X, hệ số Cholesky được tính toán bằng việc thực hiện phân tích QR của X. Các hệ số toán tử X được tạo ra từ hai ma trận:

QRx 1 X

= N (50)

trong đó Q là một ma trận trực giao N Mx , với Q Q IH = và Rx là hệ số Cholesky tam giác trên của ma trận ˆRxx.

Phân tích QR có thể được tính toán hiệu quả bằng việc sử dụng kỹ thuật trực giao hóa Gram-Schmidt thay đổi (MGSO). Thuật toán MGSO thực hiện các bước sau:

2

Set

For 1to

/

For 1to

end end

m m

mm m

m m mm

H

mi m i

i i mi m

p x

m M

r p

q p r

i m M

r q p p x r q i

m

=

=

=

=

= +

=

= −

Trong đó xm là cột thứ m của X, qm là cột thứ m của Q, và rmi là phần tử trong hàng thứ m và cột thứ i của hệ số Cholesky Rx. Thuật toán MGSO xác định được thừa số ma trận mong muốn bằng việc chiếu các cột không được xử lý của X trên một không gian con trực giao tới các cột của qk tìm thấy trước đó. Điều này có nghĩa là:

( 1) ( 2)... ( )1

m mm m m m

q =r P q⊥ − P q⊥ − P q x⊥ (51) trong đó P V⊥( ) ≡ −I V V V( H )−1VH. Từ đó, các vectơ q q1... m−1 tạo nên một cơ sở trực giao, điều này ngụ ý rằng qm sẽ trực giao với qk với k = 1 tới m-1, dựa vào đó ước tính cơ sở trực giao kể cả qm.

Thông thường phân tích QR được thực hiện trên một ma trận tăng lên cho phép Rx

được cập nhật theo kiểu đệ quy mẫu hay kiểu đệ quy khối. Bình phương nhỏ nhất đệ quy là sự thay đổi của phương pháp bình phương nhỏ nhất, áp dụng một hệ số không theo quy luật mã cho các mẫu hoặc các khối số liệu trước đó. Trung bình thống kê toán học được tính toán sử dụng các công thức đệ quy sau:

( )

1 1

1

ˆ ˆ 1 H

xx xx

R R X X

N

λ −λ

′ = + (52)

( )

1 1 1

ˆ ˆ 1 H

xd xd

R R X s

N

λ −λ

′ = + (53)

Trong phần này Rˆxx và Rˆxd thể hiện giá trị thống kê trung bình theo luật số mũ trong khoảng thời gian trước đó còn R′ˆxx và R′ˆxd biểu thị trung bình thống kê trong khoảng thời gian hiện tại. Khối số liệu mới là một ma trận N M1× được biểu diễn bởi X1. Mỗi hàng của X1 là chuyển vị Hermitian của một vectơ số liệu thu. Tương tự s1 là một vectơ ký hiệu hướng dẫn mới N1×1 gồm các ký hiệu hướng dẫn phức kết hợp.

Bình phương nhỏ nhất đệ quy có thể được hiểu như sự tối thiểu hóa w của bình phương nhỏ nhất trọng số:

(1 ) 1/ 2 1/ 2 2

w Xw s

µ ≡ −λ Λ − Λ (54)

Trong đó:

- X là một ma trận N L M1 x bao gồm L khối số liệu - s là một vectơ ký hiệu hướng dẫn N L1 x1

- Λ là ma trận trọng số theo đường chéo Trong đó Λ được định nghĩa bởi:

L

1

λ I 0 0 0

0 0 0

Λ 1

0 0λI 0

0 0 0 I

N

 

 

 

≡  

 

 

 

O (55)

Các tham số cần thiết được cập nhật đệ quy là hệ số Cholesky Rx của ma trận tương quan, w các trọng số tạo búp sóng, và tương quan chéo bằng 0 k R RxH xd Q sH

≡ − = .

Vectơ số liệu thu Q1 =R′x−HX1, là phần dưới của ma trận cập nhật Q- ma trận Q′, có thể là hữu dụng. Nếu QRx là phân tích QR của ma trận số liệu thu theo trọng số Λ X1/2 , thì

Q R′ ′x được định nghĩa là phân tích QR của ma trận:

( )

1/2

1 1

λΛ X

X 1λ

N X

 

 

′ =  − 

 

 

 

(56) X′ là ma trận số liệu trọng số được tăng lên bởi khối số liệu mới. Hoàn toàn tương tự s được cập nhật bởi:

( )

1/2

1 1

λΛ s

s 1λ

N s

 

 

′ =  − 

 

 

 

(57) Bằng việc định nghĩa sự phân tích QR và định nghĩa k có thể viết:

[ ] [ ]

Q′H X′ ′s = R′x k′ (58)

Nếu ma trận cũ Q được áp dụng cho nửa trên của ma trận số liệu

( ) ( )

1/2 1/2

1 1

1 1

λΛ X λΛ s

Q 0

A 0 1 1λ X 1 λ s

H H

N N

 

 

 

 − − 

 

   

 

 

@ (59)

nó đạt được

( ) ( )

1 1

1 1

λR λk

A 1λ 1 λ

X s

x

N N

 

 

=  − − 

 

 

 

(60)

Bây giờ sự phân tích QR mới có thể đạt được bằng việc tìm kiếm sự phân tích của ma trận (M N+ 1)xM

( )

1

1 1

1 Rx

A X

N λ λ

 

 

 − 

 

 

 

@ (61)

do

1

QRx′ = A (62)

Hệ số Cholesky có được theo cách này phải là hệ số Cholesky đã cập nhật được yêu cầu bởi sự phân tích QR duy nhất. Điều này tạo nên một ma trận trực giao:

0 0H 1 Q Q Q

′ =  

 

%

được biểu diễn như là

X′=Q R′ ′ (63)

Các phương trình (58), (59), và (63) cũng đưa ra phương trình

[ ]

H

Q A% = Rx′ k′ (64)

Vì vậy cập nhật một cách đầy đủ hệ số Cholesky và các trọng số có thể được tiến hành bằng việc định dạng ma trận A và thực hiện một phân tích QR [6].

Phân tích QR của A1 được thực hiện theo khai thác sự đơn giản của A1 và cho phép một ứng dụng đồng thời của Q%H với

( )

1 1

1 H

H H

k s

N λ λ

 − 

 

 

 

Điều này có thể được thực hiện bằng cách sửa đổi MGSO, tận dụng tối đa sự đơn giản của A [6], hoặc bằng việc áp dụng thành công phần tử ma trận trực giao vào vế trái của A vì vậy mà (1−λ)/N1X1 là cột bị triệt tiêu bởi cột. Các ánh xạ hoặc các phép quay Given [6] có khả năng thực hiện nhiệm vụ này. Nếu kỹ thuật Givens được sử dụng, A có thể được tăng lên với ma trận cột khối [0 I]H nếu nó được yêu cầu để giữ lại số liệu thu trống Q1.

Các trọng số bộ tạo búp sóng mới thu được từ:

1

w′=R kx′ ′− (65)

Đối với các ma trận tam giác trên, phép tính toán này thực hiện dễ dàng hơn việc thay thế ngược lại. Thành phần sau cùng của w′, w′M được giải trước tiên, tiếp theo là

1

wM′ − , nghĩa là:

1

1 M

m m mj j

m j m

w k r w

r = +

 

′ =  ′ − ′ ′

′  ∑  (66)

Các trọng số tối ưu thu được từ việc xử lý các bình phương nhỏ nhất chỉ tối ưu đối với các khối số liệu được hướng dẫn. Nói chung, có một sự điều chỉnh không khớp, MSE sai lệch với MSE tối thiểu. Điều này tương đương với SINR tại đầu ra của bộ tạo búp sóng sẽ nhỏ hơn SINR cực đại có thể có.

Đối với việc xử lý bình phương nhỏ nhất trung bình thời gian điều chỉnh giảm tới 0 khi N tiến tới vô cùng. Trong trường hợp có thể biểu diễn như sau:

( ) 1 min

ex

J N M J

= N M

− − (67)

Khi N > M, trái ngược với trường hợp LMS trong (45). Tại đó có một giới hạn thấp hơn khi điều chỉnh không hợp lý.

Bình phương nhỏ nhất trọng số theo luật mũ cũng có một giới hạn thấp hơn đối với trường hợp điều chỉnh không khớp, được đưa ra bởi công thức xấp xỉ:

( ) ( )

min

1

ex 1

J M λ J

λ

∞ ≈ −

+ (68)