CHƯƠNG 4: SỬ DỤNG DSP KHẢ TRÌNH TRONG XỬ LÝ DÀN ANTEN
4.3 Các kỹ thuật tạo búp sóng tuyến tính
4.3.1 Đạo hàm gần đúng cực đại
Để lập công thức một mô hình thống kê để ước tính các tham số tín hiệu chưa biết, giả thiết rằng các tín hiệu thu được trên một kênh vô tuyến được biến đổi hạ tần và đưa tới phần cứng DSP tại băng tần gốc phức. Hàm gần đúng của tín hiệu thu được từ mô hình tín hiệu là:
( ) ( ) ( )
x n =ad n +i n (19)
Trong đó x(n) là một vectơ số liệu thu phức M×1 tại thời điểm lấy mẫu n, a là một vectơ độ mở hay vectơ nhận dạng theo không gian thu phức M×1, d(n) là ký hiệu thông
tin được phát tại thời điểm n và i(n) là một vectơ nhiễu do tạp âm môi trường và các tín hiệu khác trong môi trường gây ra.
Số liệu thu là một vectơ M×1 nhận được từ M đường dẫn số hóa từ các anten và nhiều tần số hoặc các phân cực. Băng thông của dạng sóng thu được giả thiết là tương đối nhỏ so với băng thông kết hợp của kênh vô tuyến vì vậy mà trên băng thông này có các đặc tính fading phẳng và có thể được xử lý như một phép nhân với hằng số phức.
Chỉ số lấy mẫu n có thể bao gồm các nhóm tần số gần kề nếu tín hiệu được mã hóa kênh với điều chế đa tần rời rạc (DMT: Discrete Multitone Modulation) và ghép kênh phân chia theo tần số trực giao (OFDM: Orthogonal Frequency Division Multiplexing).
Nếu giả thiết rằng các trễ tín hiệu lớn được loại bỏ thông qua xử lý tín hiệu hay thông qua một sự điều chỉnh các thời điểm bắt đầu của bộ phát.
Phân tích toán học được thực hiện đơn giản nếu một khối số liệu N mẫu được xử lý tại thời điểm đến và các vectơ thu được lưu trữ theo kiểu ngăn xếp vào một ma trận.
Khi đó, số liệu thu và các ma trận tín hiệu được định nghĩa bởi:
( ) ( ) ( )
X@x 1 , x 2 ,..., x N H (20)
( ) ( ) ( )
s@d 1 ,d 2 ,...,d N H (21)
( ) ( ) ( )
I@i 1 ,i 2 ,...,i N H (22)
Khi đó (19) tương đương với:
X sa= H +I (23)
Nếu giả sử rằng i(n) là một vectơ ngẫu nhiên Gauss phức, đối xứng đều, với ma trận hiệp biến chưa biết Rii, vectơ độ mở a là chưa biết và tất định, chúng ta có thể tính hàm gần đúng theo logarit cho mô hình tín hiệu này [22]
(R ,aii ) ln( ) ln Rii {Rii-1(X saH) (H X saH) }
ML NM N tr
ρ = − π − − − − (24)
Tính giá trị cực đại của biểu thức này theo a thu được a X s/s s= H H , chúng ta thay thế vào phương trình (24) ta được:
( )Rii ln( ) ln Rii {R Xii-1 H ( )s X}
ML NM N tr P
ρ = − π − − ⊥ (25)
Trong đó P⊥( )s ≡ −I (ss /s sH H ).
Tối ưu hóa ma trận hiệp biến nhiễu chưa biết, thay thế J R@ -1ii trong (25) thu được:
( )J ln( ) ln J {JXH ( )s X}
ML NM N tr P
ρ = − π + − ⊥ (26)
Từ phép tính ma trận lưu ý rằng ∂tr( )JY / J∂ =* Y và ∂ J / J∂ =* J−1 cho một ma trận xác định dương J và một ma trận xác định dương tùy ý Y. Vì vậy sau khi phân biệt hàm gần đúng cực đại trong (26) liên quan tới J* và đưa kết quả về 0 thì J tối ưu có thể được tính như sau:
( ) 1
J 1 XHP s X N
−
⊥
=
Thay thế của J tối ưu vào hàm gần đúng (26), khi đó ta có
( )
ln ln XH s X
ML
NM N N P
ρ e
π ⊥
= − (27)
Sử dụng định nghĩa P( )X @X X X( H )−1XH, (27) có thể được viết như sau:
( )
s X s
ln ln X X ln 1
s s
H H
ML H
N P
NM N N
ρ e
π
= − − − (28)
Tính giá trị cực đại của (28) tương đương với giá trị cực đại đại lượng sau:
s ( )
maxρ s,X
∈£ (29)
Trong đó
( )s,X s ( )X s
s s
H H
ρ ≡ P (30)
Với £ là một tập hợp độc lập tín hiệu xấp xỉ cho ứng dụng đưa ra.
Ví dụ về các tập hợp ràng buộc có thể bao gồm: một tập hợp các dạng sóng đã biết, hoặc các ký hiệu chọn từ một lớp các nhóm đã biết, hoặc các tín hiệu có modun không đổi, hoặc các tín hiệu liên quan trong một không gian con đã biết. Mỗi loại tập hợp này có thể được sử dụng trong một thuật toán duy nhất. Hàm gần đúng trong (30) có mối quan hệ với hàm lỗi trung bình bình phương (MSE) cực tiểu:
( )
2
min 2 1 ,
w
Xw s s X
s− ρ
= − (31)
khi phân biệt hàm lỗi trung bình bình phương chuẩn (NMSE)
( , , ) Xw s2 2
w s X
µ s−
% @ (32)
với w* và đưa kết quả về 0 để tìm ra w. Khi đó tìm được một giá trị w tối ưu được đưa ra bởi các phương trình thông thường:
( ) 1
ˆ H H
w≡ X X − X s (33)
Giải (33) có sử dụng thuật toán bình phương tối thiểu (LS)
( ) 2
d n µ =% µ
(34) Công thức của các hàm MSE và NMSE tương đương nhau trong trường hợp các tín hiệu hướng dẫn đã biết, hay các tín hiệu có trung bình bình phương không đổi trên khối thích ứng (nghĩa là các tín hiệu có modun không đổi). Nếu có nhiều điều kiện ràng buộc hơn sẽ có nhiều kiểu tạo búp sóng thích ứng mờ khác, công thức của NMSE được sử dụng nhiều hơn.
Cũng có thể lập công thức hàm gần đúng theo SINR tại đầu ra của bộ tạo búp sóng. SINR trung bình theo thời gian được định nghĩa bởi:
( ) ( )
H 2
H
w ad n w i n
γ @ (35)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm đích NMSE với biến w tương đương với tìm giá trị lớn nhất của SINR trung bình theo thời gian, trong khi vectơ nhận dạng theo không gian a được thay thế bởi ước tính gần đúng cực đại của nó aˆ=X s s sH / H . SINR trong trường hợp này được ước tính là:
( ) ( )
( )
2
ˆ , , P s Xw 2
w s X
P s Xw
γ =
⊥ (36)
Trong đó P s( ) @s s s( )H −1sH và P s⊥( ) @I P s− ( ).
Giới hạn hiệu năng của bộ tạo búp sóng tuyến tính tốt nhất có thể được tìm thấy bằng việc tối ưu hóa (35) theo w và tính giới hạn khi tập hợp N tiến tới vô hạn. Khi đó tính được giá trị cực đại SINR có thể đạt được theo công thức đơn giản sau:
1 H
ii dd
a R aR
γ∞ = − (37)
Trong đó: Rdd ≡E d n( ( ) 2) là công suất trung bình của các ký hiệu thông tin được truyền đi. Giá trị cực đại của SINR như một thước đo để đánh giá hiệu năng của bất kỳ thuật toán tạo búp sóng tuyến tính nào được đưa ra. Thuật toán tạo búp sóng được tạo từ hàm gần đúng trong (36) hay (32) sẽ tham gia vào hiệu năng được dự đoán trước bởi giá trị cực đại có thể SINR khi khoảng thời gian xét lớn. Cũng có một giá trị NMSE cực tiểu có mối quan hệ với giá trị cực đại của SINR bởi công thức:
1 µ 1
∞ γ
∞
= +
% (38)
Lưu ý rằng mô hình tín hiệu cho hàm gần đúng trong (30), (32), hay (36) dựa trên một dạng sóng SOI thu đơn giản, với tất cả các tín hiệu phát khác trong môi trường được xử lý như các nhiễu. Nếu có nhiều tín hiệu chồng lấn, mô hình này không đạt được hiệu năng tốt nhất có thể. Vấn đề ước tính nhiều dạng sóng SOI chồng lấn nhau được gọi là tách sóng nhiều người sử dụng và được xem xét ở phần sau.