Chương 2: DẠY HỌC TÍCH PHÂN THEO HƯỚNG KHÁM PHÁ
2.1. Khái quát về nội dung, chương trình nguyên hàm, tích phân ở trường trung học phổ thông
2.1.2. Vai trò, vị trí và nội dung nguyên hàm, tích phân trong chương trình môn Toán trung học phổ thông
2.1.2.1. Vị trí phân phối chương trình
Trong chương trình môn toán trường THPT, HS học về nguyên hàm, tích phân ở lớp 12 với nội dung kiến thức bao gồm:
Bài 1: Nguyên hàm.
- Định nghĩa nguyên hàm.
- Các tính chất nguyên hàm.
- Sự tồn tại nguyên hàm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 34 http://www.lrc.tnu.edu.vn/
- Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp.
- Phương pháp tính nguyên hàm (phương pháp đổi biến và phương pháp tính nguyên hàm từng phần).
Bài 2: Tích phân.
- Khái niệm tích phân.
- Định nghĩa tích phân.
- Tính chất của tích phân.
- Phương pháp tính tích phân (phương pháp đổi biến và phương pháp tính tích phân từng phần).
Bài 3: Ứng dụng tích phân trong hình học.
- Tính diện tích hình phẳng.
- Tính thể tích.
- Tính thể tích khối tròn xoay.
Theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, nguyên hàm, tích phân đƣợc giảng dạy ở cuối học kỳ I sang đầu học kỳ II của lớp 12. Cụ thể:
HKI: (7 tiết)
Tên bài dạy Số tiết
Bài 1: Nguyên hàm. 2
Bài tập 1
Bài 2: Tích phân 3
Bài tập 1
HKII: 8 tiết
Tên bài dạy Số tiết
Luyện tập tính tích phân 1
Bài 3: Ứng dụng tích phân trong hình học. Mục I 1
Bài tập 1
Bài 3: Ứng dụng tích phân trong hình học. Mục II,III 2
Bài tập 1
Ôn tập chương III 1
Kiểm tra chương III 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 35 http://www.lrc.tnu.edu.vn/
2.1.2.2. Mục đích yêu cầu dạy học nguyên hàm, tích phân trong nhà trường trung học phổ thông
a) Mục đích:
- Đƣa vào định nghĩa nguyên hàm nhằm giải bài toán ngƣợc của phép tính đạo hàm hay phép tính vi phân. Trên cơ sở đó hình thành khái niệm nguyên hàm.
- Nêu định nghĩa tích phân nhờ vào nguyên hàm (công thức Newton - Leibnitz), phát biểu và chứng minh các tính chất, quy tắc tính tích phân.
- Trình bày những ứng dụng của tích phân trong hình học từ đó sẽ hoàn chỉnh công thức định lƣợng của hình học trung học phổ thông.
b) Yêu cầu:
- Nắm đƣợc cách thiết lập các định nghĩa nguyên hàm, tích phân.
- Sử dụng thành thạo và linh hoạt bảng nguyên hàm cơ bản trong giải toán.
- Hiểu và vận dụng thành thạo các phương pháp tính nguyên hàm trong giải toán để từ đó vận dụng thành thạo các phương pháp tính tích phân trong giải toán.
- Vận dụng linh hoạt các công thức, tính chất, các phương pháp tính tích phân trong bài tập cụ thể.
- Nắm vững công thức tính diện tích, thể tích bằng tích phân để giải bài tập cụ thể.
c) Mục tiêu dạy học tính nguyên hàm
Dựa vào định nghĩa nguyên hàm và các tính chất của đạo hàm ta có thể chứng minh một số tính chất quan trọng của nguyên hàm nhƣ:
- Nếu hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x), a là hằng số tùy ý thuộc R thì hàm số a.F(x) là nguyên hàm của hàm số a.f(x).
- Hàm số F(x) + G(x) + C là họ nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) và G(x) là nguyên hàm của hàm số g(x).
- Dựa vào các tính chất trên và sử dụng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản ta suy ra bảng nguyên hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản, kết hợp với các tính chất của nguyên hàm có thể tìm đƣợc nguyên hàm của khá nhiều hàm số.
Tuy nhiên, vẫn còn chƣa tìm đƣợc nguyên hàm của khá nhiều hàm số dựa vào cách trên. Do đó, phải giới thiệu thêm cho HS hai phương pháp tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến số và phương pháp tìm nguyên hàm từng phần thông qua các ví dụ cụ thể để HS trực quan hơn. Vì nếu HS nắm vững đƣợc nhƣng điểm cơ bản cũng nhƣ đặc điểm nhận dạng của hai phương pháp này thì HS sẽ rất thuận lợi trong việc giải toán tích phân sau này.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 36 http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Ngoài hai phương pháp thường dùng trên, việc tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ và lƣợng giác tuy không củng cố sâu sắc về mặt lý thuyết nhƣng lại có tác dụng khá tốt cho việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong quá trình làm bài tập nguyên hàm tạo tiền đề cho quá trình giải bài tập tích phân về sau.
GV cần chú ý, khái niệm nguyên hàm không những liên quan tới các khái niệm đạo hàm mà còn liên quan tới các khái niệm tích phân. Cho nên khi dạy học tìm nguyên hàm, GV cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng các kiến thức về đạo hàm đồng thời rèn luyện cho HS những kỹ năng cần thiết để sau này tính toán tích phân.
d) Mục tiêu dạy học tính tích phân
Để xây dựng công thức tính tích phân khi sử dụng định lý Newton – Leibnitz thì sách giáo khoa hiện hành (2009) đã giảm tải chương trình này và để học sinh tiếp xúc với định nghĩa tích phân:
( ) ( ) ( ) ( )
b a
b a
f x dxF x F b F a
.
Nếu sử dụng định lý Newton – Leibnitz mà không tính đƣợc ngay thì ta cần dùng đến các phương pháp đổi biến số hay phương pháp tính tích phân từng phần. Có nhiều bài toán tính tích phân ta phải sử dụng liên tiếp các phương pháp trên một cách linh hoạt và nhều lần. Cho nên với mục tiêu:
- Nắm đƣợc cách thiết lập các định nghĩa tích phân.
- Sử dụng thành thạo và linh hoạt bảng nguyên hàm cơ bản trong giải toán.
- Hiểu và vận dụng thành thạo các phương pháp tính tích phân trong giải toán.
- Vận dụng linh hoạt các công thức, tính chất, các phương pháp tính tích phân trong bài tập cụ thể.
- Nắm vững công thức tính diện tích, thể tích bằng tích phân để giải bài tập cụ thể.
Để tính tích phân xác định của hàm số f(x) trên [a;b] ta thường tìm nguyên hàm của hàm số f(x) và dùng công thức Newton – Leibnitz. Trong nhiều bài toán thì việc tính nguyên hàm rất phức tạp và khó khăn (kết hợp nhiều phương pháp liên tiếp).
Vì vậy, tính tích phân xác định cần khảo sát chi tiết. Tùy từng trường hợp cụ thể để nhận xét, đánh giá và dựa vào các tính chất đặc biệt của hàm số dưới dấu tích phân mà biến đổi cũng như sử dụng phương pháp thích hợp, ta có thể tính được một số dạng tích phân xác định.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 37 http://www.lrc.tnu.edu.vn/
2.1.2.3. Vai trò và nội dung nguyên hàm, tích phân trong chương trình môn Toán Trung học phổ thông
2.1.2.3.1. Tóm tắt lý thuyết nguyên hàm 1) Định nghĩa nguyên hàm
Cho hàm số f x xác định trên K (K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của ). Hàm số F x đƣợc gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu
'
F x f x với mọi x thuộc K.
Chú ý:
- Nguyên hàm F x của hàm số f x trên khoảng a b; là một hàm số xác định trên khoảng a b; và có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng a b; .
- Trong định nghĩa trên, nếu thay khoảng a b; thành đoạn a b; thì phải thêm điều kiện đạo hàm bên phải tại điểm a và đạo hàm bên trái tại điểm b của hàm số F(x), tức là: F a' f a F b ; ' f b . Vì vậy:
F x là một nguyên hàm của f x trên a b;
; : '( ) ( ) '( ) ( )
'( ) ( )
x a b F x f x F a f a
F b f b
2) Định lý 1
Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K.
3) Định lý 2
Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều có dạng F x C, với mọi C là hằng số.
Chú ý:
- F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì F x C, C là họ
tất cả các nguyên hàm của f x trên K. Kí hiệu: f x dx F x C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 38 http://www.lrc.tnu.edu.vn/
- Biểu thức f x dx chính là vi phân của nguyên hàm F x của f x , vì
. '
d F x F x dx f x dx.
- Theo định nghĩa ta có: f x dx( ). F x( ) C F x'( ) f x( ) 4) Các tính chất của nguyên hàm
i) f x dx'( ). f x( )C.
ii) k f x dx. k f x dx , (k là hằng số khác 0).
iii)[ ( )f x g x dx( )]. f x dx( ). g x dx( ).
Từ (ii) và (iii) ta có : [a ( )f x bg x dx( )]. a f x dx b g x dx ( ). ( ). , (a b; R).
5) Sự tồn tại của nguyên hàm Định lý:
Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
6) Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp 0.dxC
a dxx lnaxaC a, 0,a1
dx x C
cosxdxsinx C
1 1
. , 1
x dx 1 x C
s inxdx c x Cos
1dx ln x C
x
cos12xdxtanx C
x x
e dxe C
sin12 xdx cotx C
7) Các phương pháp tính nguyên hàm Phương pháp 1. Phương pháp đổi biến số Định lí:
Nếu f u du( ) F u( )C và uu x( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ( ( )). '( ) ( ( ))
f u x u x dxF u x C
.
Hệ quả:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 39 http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Với uax b a , ( 0), ta có: f(ax b dx) 1F(ax b) C
a
Phương pháp 2: Phương pháp tình nguyên hàm từng phần Định lí:
Nếu hai hàm số uu x( ) và vv x( ) có đạo hàm liên tục trên K thì
(x) '( ) '
u v x dxu x v x u x v x dx
.
Chú ý:
Vì v x dx' dv u x dx, ' du, nên đẳng thức trên có thể viết udvuvvdu. (Công thức nguyên hàm từng phần)
2.1.2.3.2. Tóm tắt lý thuyết tích phân
Phép tính tích phân bắt nguồn từ bài toán tính diện tích của các hình thang cong, tam giác cong và từ đó xây dựng định nghĩa.
1) Định nghĩa tích phân
Cho f x( ) là hàm số liên tục trên đoạn a b; . Giả sử F x( ) là nguyên hàm cảu hàm số f x( ) trên đoạn a b; . Hiệu số F b( )F a( ) đƣợc gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f x( ), kí hiệu là ( )
b
a
f x dx
và ta còn kí hiệu ( )
a
b
F x để chỉ hiệu sốF b( )F a( ).
Vì vậy, ( ) ( ) ( ) ( )
b a
b a
f x dxF x F b F a
.
Trong đó, ta gọi:
b
a
: là dấu tích phân a: là cận dưới b: là cận trên
( )
f x dx: là biểu thức dưới dấu tích phân ( )
f x : là hàm số dưới dấu tích phân Chú ý:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 40 http://www.lrc.tnu.edu.vn/
- Trong trường hợp ab ta quy ước ( ) 0
a
a
f x dx
.
- Trong trường hợp ab ta quy ước ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
- ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du
. Tích phân chỉ phụ thuộc vào f và các cận a b; mà không phụ thuộc vào biến số x t, hay u.
- Công thức Newton – Leibnitz sẽ vô nghĩa nếu f x( ) không liên tục trên đoạn
a b; .
- Việc gọi a là cận dưới, b là cận trên của tích phân không có nghĩa là phải có ab.
- Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f x( ) liên tục và không âm trên đoạn
a b; , thì tích phân ( )
b
a
f x dx
là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
của f x( ), trục Ox và hai đường thẳng xa x, b. Vậy ( )
b
a
S f x dx
2) Tính chất tích phân
i) ( ) ( )
b b
a a
kf x dxk f x dx
, (k là một hằng số)
ii) [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
iii) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
3) Các phương pháp tính tích phân Phương pháp 1: Phương pháp đổi biến Định lí:
Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn a b; . Giả sử hàm số x( )t có đạo hàm liên tục trên đoạn ; sao cho ( )a, ( ) b và a( )t b với mọit ; .
Khi đó ( ) ( ( )) '( )
b
a
f x dx f t t dt
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 41 http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Chú ý:
Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép biến đổi biến số ở dạng sau: Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn a b; . Để tínhb ( )
a
f x dx
, ta chọn hàm số uu x( ) làm biến số mới, trong đó trên đoạn a b; , u x( ) có đạo hàm liên tục và u x( ) ; .
Giả sử có thể viết f x( )g u x u x x( ( )) '( ), a b; , với g u( ) liên tục trên đoạn
; . Khi đó ta có:
( )
( )
( ) ( )
b u
a u
f x dx g u du
.
Phương pháp 2: Phương pháp tính tích phân từng phần Định lí:
Nếu uu x( ) và vv x( ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn a b; thì
( ) '( ) '( ) ( )
b a b
b
a a
u x v x dx u x v x u x v x dx
hay b a b .
b
a a
udvuv vdu
Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối :
b
a
f x dx
Để tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Cho nên, ta phải xét dấu của biểu thức f x( ) trên đoạn a b; , từ đó áp dụng tính chất (iii) để giải bài toán.
Chú ý:
Để tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối b
a
f x dx
, ta giải phương trình ( ) 0
f x trên đoạn a b; . Giả sử phương trình có hai nghiệm c d, , cd. Khi đó, ( )
f x không đổi dấu trên các đoạn a c; , c d; , d b; . Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn a c; , ta có: c c .
a a
f x dx f x dx