Như ta đã biết với T là một EL-TBox và GT tương ứng là một đồ thị mô tả EL của T thì mô hình ngữ nghĩa điểm cố định lớn nhất của T (gfp-model của T) cũng là một mô hình của T, hay với một khái niệm A được bao hàm bởi một khái niệm B (A T B) hàm ý rằng A được bao hàm ngữ nghĩa điểm cố định lớn nhất bởi B (A gfp, T B). Từ đó ta có A T B hàm ý rằng có một phép mô phỏng Z: G1 ≃G2 mà (B, A) ∈ Z, thì thuộc tính trên phép mô phỏng Z cần phải được thỏa.
Để giải quyết bài toán bao hàm khái niệm-ELdesc trong thời gian đa thức bậc bốn với đầu vào TBox thì ta cần chuyển bài toán bao hàm khái niệm-ELdesc sang bài toán thỏa chuẩn Horn (Horn-SAT). Tiếp đó ta áp dụng thuật toán linear-time cho chuẩn Horn-SAT để giải quyết bài toán bao hàm khái niệm-ELdessc. Đối với một đầu vào EL-TBox T thì toàn bộ thuật toán cho bao hàm khái niệm-ELdessc sẽ thực hiện trong thời gian đa thức bậc hai theo kích thước của đồ thị mô tả-EL. Mà theo
Bổ đề 2.2 thì kích thước của đồ thị mô tả GT là bậc hai theo kích thước của T nên bài toán bao hàm khái niệm-ELdesc sẽ được quyết định trong thời gian đa thức bậc bốn theo kích thước đầu vào T.
Cho T là một EL-TBox đã ở dạng chuẩn hóa và GT là một đồ thị mô tả-EL của T. Bao hàm khái niệm và ngữ nghĩa mô tả có thể được miêu tả thông qua phép
mô phỏng đồng bộ trên đồ thị GT giống như Định lý 3.2.1[Baader].
Định lý 3.4.1 Cho T là một EL-TBox, có chứa các định nghĩa khái niệm là A, B. GT là đồ thị mô tả EL tương ứng của T. YT là phép mô phỏng quan hệ đồng bộ trên T. Khi đó ta có các tương đương sau:
• A T B • (B, A)∈ YT
Phép mô phỏng đồng bộ: Cho T là một EL-TBox đã ở dạng chuẩn hóa và GT tương ứng là một đồ thị mô tả-EL của T. Khi đó quan hệ mô phỏng đồng bộ YT được định nghĩa là hợp của tất cả các Yn với n≥0 (ký hiệu Yn). Trong đó quan
hệ Yn được định nghĩa quy nạp trên n như sau: Y0 được xác định trên các nút của GT. Nếu Yn-1 đã được định nghĩa thì
Yn := Yn-1 {(A, B) | (1). LT(A) LT(B)
(2). (A, r1, A1), . . . , (A, rk, Ak) là các cạnh trong GT (3). (B, r1, B1), . . . , (B, rk, Bk) là các cạnh trong GT mà (Ai, Bi) ∈Yn-1. }
Thể thức mô tả EL: Cho T là một EL-TBox, GT=(VT, ET, LT) là đồ thị mô tả của T và YT tương ứng là quan hệ mô phỏng đồng bộ. Thể thức mô tả-EL của T được ký hiệu là HT là tập hợp nhỏ nhất của các mệnh đề Horn chứa đựng các mệnh đề theo mẫu sau:
PA, B nếu A, B ∈ VT
P(A, r, A’), B nếu A, B ∈ VT và (A, r, A’) ∈ ET.
và chứa các mệnh đề Horn sau:
(H1) PA, A ← đối với tất cả các nút A trong VT (H2) P(A, r, A′ ), B ← PA′, B′ đối với tất cả các cạnh (A, r, A′ ) và (B, r, B′) trong ET (H3) PA, B ← P(A, r, A′ ), B đối với tất cả các nút A, B trong VT với LT(A) LT(B)
Bảng 3.6 Các mệnh đề Horn trong T với ngữ nghĩa mô tả
Mệnh đề PA, B mã hóa sự kiện (A, B) ∈ YT. Cạnh (A, r, A′ ) trong GT tương ứng với điều kiện (2) và có một cạnh (B, r, B′) ∈ GT đối với B′ ∈ VT mà trong đó (A, B) ∈ YT tương ứng với điều kiện (3). Một cách chi tiết H1 mã hóa quan hệ đồng nhất các nút của đồ thị GT (Y0), H2 và H3 mã hóa cấu trúc của Yn khi Yn-1 đã được tính toán. Mệnh đề H3 trong HT hàm ý rằng điều kiện 1 của cấu trúc Yn (với n › 0) đã ở dạng thỏa, điều kiện (2) và điều kiện (3) cũng sẽ thỏa nếu HT |= P(A, r, A′ ), B với mọi (A, r, A′ ) trong ET. Như vậy bài toán bài toán bao hàm khái niệm-ELdesc sẽ được chuyển về bài toán thỏa chuẩn Horn theo định lý sau:
Định lý 3.4.2 Cho T là một EL-TBox đã ở dạng chuẩn hóa, YT là quan hệ mô phỏng đồng bộ của T và HT tương ứng là thể thức mô tả-EL của T. Nếu A và B là các định nghĩa khái niệm trong T thì ta có các tương đương sau:
• (A, B) ∈ YT • HT |= PA,B.
Ví dụ 3.4: Giả sử ta có một EL-TBox T đã chuẩn hóa khi đó ta có một đồ thị mô tả như hình sau
Hình 3.2 Đồ thị mô tả EL cho ví dụ 3.4.1
Tương ứng với các nút A, B. Thể thức mô tả EL của T là HT có các mệnh đề Horn sau: ← ← ← ← ← ← ← ← ← ← ← ←
Từ định lý 3.4.1 và định lý 3.4.2 cho thấy có thể chuyển bài toán bao hàm khái niệm ELdesc sang bài toán thỏa chuẩn Horn (Horn SAT). Một cách trực quan ta thấy để giải quyết bài toán bao hàm khái niệm ELdesc trong thời gian đa thức bậc bốn
A3 A 1 B3 A2 B1 B 2 B A r1 r2 r2 r2 r2 r1
với đầu vào EL-TBox T, ta cần chuyển EL-TBox T sang dạng chuẩn hóa, tiếp đó ta xây dựng một đồ thị mô tả-EL tương ứng với T. Áp dụng thể thức mô tả là tập các mệnh đề nhỏ nhất của chuẩn Horn chuyển đồ thị mô tả EL sang các mệnh đề Horn, tiếp đó sử dụng thuật toán linear-time Horn SAT cho các mệnh đề Horn. Khi đó thời gian tính toán cho thuật toán linear-time Horn SAT trên các mệnh đề sẽ là bậc hai theo đồ thị mô tả GT, là bậc bốn theo kích thước đầu vào EL-TBox T.