Như ta đã biết để quyết định bài toán bao hàm khái niệm- ELgci trong thời gian đa thức thì ta cần phải chuyển EL-TBox chuẩn hóa sang dạng chuẩn Horn. Trước khi chuyển sang chuẩn Horn ta cần phải hiểu một số khái niệm.
Ta ký hiệu NC là tập hợp tên các khái niệm không giao nhau, là hợp của các khái niệm(ký hiệu Ncon) với khái niệm đỉnh (ký hiệu T ), ta biểu diễn như sau: NC:= Ncon { T }. Gọi ST(A) N⊆ C. Để mô tả rõ mối quan hệ giữa tên các khái niệm không giao nhau trong cấu trúc của GCIs với EL-TBox đã chuẩn hóa GCIs ta cần biết mối tương quan giữa chúng.
3.3.3.1 Các tập hợp tương quan (Implication sets):
Đối với mọi tên khái niệm A trong NC, tập hợp tương quan ST(A) được định nghĩa bởi hợp của tất cả các Sn(A) (ký hiệu Sn(A)). Trong đó tập Sn được định nghĩa quy nạp trên n: S0(A):={A, T }. Nếu Sn(B) đã được định nghĩa đối với tất cả tên các khái niệm B trong NC, khi đó Sn+1(A) là kết quả mở rộng của các luật sau:
IS1 Nếu A ∈ Sn(B), A C T, và C ⊑ ∈ Sn(B) khi đó Sn + 1(B) := Sn(B) {C}
IS2 Nếu {A1,A2} S⊆ n(B), A1 ⊓ A2 C T, và và C ⊑ ∈ Sn(B) khi đó Sn + 1(B) := Sn(B) {C}
IS3 Nếu A1∈ Sn(B), A1 ⊑∃r.A2 ∈ T, A3∈ Sn(A2), ∃r.A3 ⊑ C T, và C ∈ Sn(B)
khi đó Sn + 1(B) := Sn(B) {C}
Bảng 3.4 Mở rộng các vai trò cho các tập hợp tương quan
3.3.3.2 Thể thức mô tả-EL
Như ta đã biết để thực hiện thuật toán bao hàm ELgci ta áp dụng kỹ thuật chuyển đổi EL-TBox tổng quát sang dạng chuẩn Horn. Sau đó sử dụng thuật toán
linear-time cho chuẩn Horn-SAT. Như vậy để chuyển bài toán bao hàm ELgci ta cần hai bước đó là bài toán bao hàm khái niệm ELgci sẽ được miêu tả thông qua khái niệm của các tập hợp tương quan. Tiếp theo các vai trò mở rộng của các tập hợp tương quan trong bảng 3.4 của các tập sẽ được miêu tả thông qua sự mã hóa sử dụng chuẩn Horn. Chuẩn Horn được định nghĩa thông qua thể thức mô tả EL như sau.
GCIs, EL-TBox chứa tên các khái niệm không giao nhau và tên các vai trò không giao nhau. Khi đó thể thức mô tả-EL ký hiệu là HT là tập hợp nhỏ nhất của các mệnh đề Horn mà chỉ chứa đựng các mệnh đề ký tự theo mẫu sau:
P ,
Trong đó { , } N⊆ C và bao gồm các mệnh đề Horn sau: (H0) PC, C ← với tất cả các C N∈ con P⊤, C ←
(H1) PB, C ← PA, C với tất cả C N∈ con và với mỗi GCI A B T ⊑ ∈
(H2) PB, C ← PA1, C P⋀ A2, C với tất cả C N∈ con và với mỗi GCI A1 ⊓ A2 B T ⊑ ∈
(H3) PB, C ← PA, C P⋀ B2, B1 với tất cả C N∈ con và với {A ⊑ ∃r.B1, ∃r.B2 B} T⊑ ⊆
Bảng 3.5 Các mệnh đề Horn
Mệnh đề ký tự PA, B mã hóa sự kện A ∈ ST(B) hàm ý rằng khái niệm B được bao hàm bởi khái niệm A. Mệnh đề H0 mã hóa tên khái niệm C của các tập hợp tương quan ban đầu S0(C), hàm ý rằng C được bao hàm bởi khái niệm đỉnh và tên khái niệm của chính nó. Các mệnh đề H1, H2 và H3 tương ứng với các luật mở rộng IS1, IS2, IS3.
Bổ đề 3.2 Cho T là một EL-TBox đã chuẩn hóa các GCIs với tập tên các khái niệm và tên các vai trò không giao nhau. HT tương ứng là thể thức mô tả-ELgci
của T. Khi đó kích thước của HT là bậc ba theo kích thước của T.
Ví dụ 3.3 Chuyển các GCI đã ở dạng chuẩn hóa trong ví dụ 3.2 sang dạng chuẩn Horn
- Áp dụng (H3) khi đó có các chuẩn Horn là: PA2, C ← PViemmangngoaitim, C ⋀ PMangngoaitim, Tim
Viemmangngoaitim ⊑∃vitri.Mangngoaitim Mangngoaitim ⊑∃khoangtrong.Tim
∃khoangtrong.Tim A⊑ 2. PMo, C ← PViemmangngoaitim, C ⋀PMangngoaitim, Viem
Mangngoaitim Mo⊑
Viemmangngoaitim Viem⊑
Viem ⊑∃hoatdong.Mangngoaitim
- Áp dụng (H2) khi đó có chuẩn Horn tương ứng sẽ là: PA3, C ← PBenh, C ⋀PA1, C
Benh A⊓ 1 A⊑ 3
- Cuối cùng áp dụng (H1) sẽ có các chuẩn Horn sau: PBenh, C ← PViem, C
Viem Benh⊑
PA1, C ← P∃vitri.A2, C
PBenhtim, C ← PA3, C
A3 BenhTim⊑
P∃trangthai.Canchuatri, C ← PA3, C
A3 ⊑∃trangthai.Canchuatri
Sau khi chuyển đổi TBox đã ở dạng chuẩn hóa sang các chuẩn Horn, áp dụng thuật toán linear-time Horn-SAT ( thuật toán linear-time thỏa chuẩn Horn), sẽ thu được các bao hàm trong các định nghĩa khái niệm trong ví dụ 3.2 và thời gian cho việc thực hiện thuật toán linear-time Horn-SAT sẽ là đa thức bậc ba theo đầu vào là các chuẩn Horn hay đầu vào là TBox..
Như vậy để thực hiện thuật toán bao hàm ELgci ta cần chuyển TBox sang dạng TBox đã ở dạng chuẩn hóa theo các luật chuẩn hóa cho các GCIs trong bảng 3.3 sau đó ta áp dụng kỹ thuật chuyển đổi EL-TBox tổng quát đã ở dạng chuẩn hóa sang chuẩn Horn. Tiếp đó sử dụng thuật toán linear-time cho chuẩn Horn-SAT. Như vậy trong phần này ta đã chỉ ra được rằng để chuyển bài toán bao hàm ELgci ta cần hai bước đó là bài toán bao hàm khái niệm ELgci sẽ được miêu tả thông qua khái niệm của các tập hợp tương quan. Chuẩn Horn được định nghĩa thông qua thể thức mô tả HT của T. Khi đó kích thước của HT sẽ là bậc ba theo kích thước của đầu vào EL-TBox T.