Thuật toán bao hàm cho ELgfp được đưa ra để giải quyết các bài toán quyết định trong Logic mô tả EL với thời gian là đa thức bậc ba. Để thu được kết quả này ta chuyển các EL-TBox sang các đồ thị mô tả-EL, phương pháp này gọi là phép mô phỏng (simulations) của các đồ thị mô tả-EL. Trong bài này ta sẽ chỉ ra cách thức làm thế nào để biên dịch một EL-TBox thành một đồ thị mô tả-EL. Và đưa ra khái niệm của một phép mô phỏng giữa các nút của một đồ thị mô tả. Tiếp đó ta chuyển bài toán bao hàm khái niệm- ELgfp của EL-TBox sang bài toán mô phỏng tương ứng trên đồ thị mô tả-EL.
Các phép mô phỏng là quan hệ nhị phân giữa các nút của hai đồ thị mô tả-EL có các nhãn và các cạnh đã được định nghĩa như sau:
Phép mô phỏng: Cho Gi = (Vi, Ei, Li) ( với i = 1, 2) là hai đồ thị mô tả-EL. Khi đó quan hệ nhị phân Z ⊆ V1 ×V2 là một phép mô phỏng từ G1 sang G2 nếu
(S1) (v1, v2) Z thì L1(v1) ⊆ L2(v2)
(S2) nếu (v1, v2) Z và (v1, r, v′1) E1, khi đó tồn tại một nút v′2 mà trong đó có (v ′1, v′2) Z và (v2, r, v′2) E2.
Định lý 3.2.1[Baader] Cho A, B là các định nghĩa khái niệm trong T và GT tương ứng đồ thị mô tả-EL của T. Ta có các tương đương sau:
1. A ⊑gfp, T B
2. Có một phép simulation Z: GT ≃GT mà (B, A) ∈ Z. Thuật toán ELgfp- EfficientSimilarity
Bảng 3.1 Thuật toán tính toán phép simulation lớn nhất của đồ thị mô tả-EL
Trong đó tập hợp sim(v) chứa đựng các nút v thỏa S1. Ta ký hiệu post(u,r) là tập tất cả các kế vị r của u và pre(u,r) tập tất cả các kế vị r trước đó của u. Với U là tập các nút thì pre(U,r) := pre(u,r). Nút trong remove(v,r) sẽ được xóa từ
sim(u) đối với u ∈ pre(v,r).
Hệ quả: Bao hàm giữa các khái niệm trong Logic mô tả EL của một EL-TBox T với ngữ nghĩa điểm cố định lớn nhất có thể tính toán trong thời gian bậc 3 kích thước của T (O(|T|3).
Chứng minh: Cho GT=(VT, ET, LT) là một đồ thị mô tả-EL của T. Theo Định lý 3.2.1 [Baader] chỉ ra rằng độ phức tạp của thuật toán ELgfp- EfficientSimilarity
tương ứng với GT. Theo Bổ đề 2.2, kích thước |VT| giới hạn bởi T và |ET| giới hạn bởi T2. Nếu |V| |E| thì độ phức tạp của thuật toán ELgfp- EfficientSimilarity sẽ là
O(|VT|·|ET|), hay O(|T|3).
procedure ELgfp- EfficientSimilarity:
Input: Đồ thị có cạnh gán nhãn G = (V, E, L), với
E (V ì R ì V ) là một tập hợp của R-gán nhãn các cạnh. Output: với mỗi nút v V , phép simulator tập hợp sim(v). { Khởi tạo }
for all v ∈ V do
sim(v) := { u ∈ V | L(v) L(u) and
post(v, r) ≠ → post(u, r) ≠ for all r ∅ ∅ ∈ R }; remove(v, r) := pre(V, r)\pre(sim(v), r); for all r ∈ R pre (v) := { (u, r) | u ∗ ∈ pre(v, r) for all r ∈ R };
od;
{ Vòng lặp }
while có một nút v ∈ V and một cạnh gán nhãn r ∈ R such that remove(v, r) ≠ do∅
for all u ∈ pre(v, r) do for all w ∈ remove(v, r) do if w ∈ sim(u) then
sim(u) := sim(u)\{w};
for all (w′ , r′ ) ∈ pre (w) do∗
if post(w′ , r′ ) ∩ sim(u) = then∅
remove(u, r′ ) := remove(u, r′ ) {w′ }; fi od fi od od; remove(v, r) := ;∅ od;
Như vậy để thực hiện thuật toán cho bao hàm ELgfp ta cần phải chuyển TBox sang dạng chuẩn hóa, sau khi TBox đã ở dạng chuẩn hóa thì ta sử dụng phép mô phỏng để biên dịch một EL-TBox thành một đồ thị mô tả-EL cuối cùng ta sử dụng thuật toán ELgfp- EfficientSimilarity để chứng minh bài toán bao hàm trong Logic mô tả EL sẽ được giải quyết trong thời gian là đa thức bậc ba theo kích thứớc đầu vào của TBox T.
Ví dụ 3.1 Giả sử ta có một TBox đã chuẩn hóa gồm các định nghĩa khái niệm như sau:
ChaMe ≡ ConNguoi ⊓ ∃Cocon.ConNguoi
Cha ≡ ConNguoi ⊓ GiongDuc ⊓ ∃Cocon.ConNguoi
Ong ≡ ConNguoi ⊓ GiongDuc ⊓ ∃Cocon.ConNguoi ⊓∃Cocon.ChaMe. Do đó ta có
o Các nút là: ChaMe, ConNguoi, Ong, Cha o Các vai trò là: Cocon
o Các nhãn trên nút là: ConNguoi, GiongDuc Từ đó ta có đồ thị mô tả là:
Hình 3.1 Đồ thị mô tả trong ví dụ 3.1
Áp dụng thuật toán ELgfp- EfficientSimilarity với đồ thị hình 3.1
Bước khởi tạo của thuật toán cho kết quả như sau: - Tập các nhãn của đồ thị là:
L(ConNguoi) = {Ø}
L(Ong) = {ConNguoi, GiongDuc} L(Cha) = {ConNguoi, GiongDuc} L(ChaMe) = {CongNguoi}
- Tập các nút tiếp theo của nút đang xét
post(Ong) = {ChaMe, ConNguoi} post(Cha) = {ConNguoi} post(ChaMe) = {ConNguoi} post(ConNguoi) = {Ø} ChaMe Ong Cha ConNguoi {ConNguoi,GiongDuc} {ConNguoi,GiongDuc} {∅} {ConNguoi}
- Tập các nút trước của nút đang xét pre(Ong, coCon) = {Ø} pre(Cha, coCon) = {Ø} pre(ChaMe, coCon) = {Ong}
pre(ConNguoi, coCon) = {Ong, Cha, ChaMe} - Tập mô phỏng quan hệ của mỗi nút
Sim(Ong) = {Cha, Ong} Sim(Cha) = {Cha, Ong} Sim(ConNguoi) = {ConNguoi} Sim(ChaMe) = {ChaMe, Ong, Cha}
- Các bước khởi tạo trong thuật toán dựng để xóa bỏ các nút trong tập chứa các nút trước nút đang xét
remove(ConNguoi, coCon) = {Ø} remove(Ong, coCon) = {Cha, ChaMe, Ong} remove(Cha, coCon) = {Cha, ChaMe, Ong} remove(ChaMe, coCon) = {Cha, ChaMe} - Tập ánh xạ quan hệ của nút với nút trước nó
pre*(Ong) = {Ø} pre*(Cha) = {Ø} pre*(ChaMe) = {Ong}
pre*(ConNguoi= {Ong, Cha, ChaMe}
Kết quả cuối cùng nhận được sau khi kết thúc thuật toán là tập hợp của các nút mô phỏng mối quan hệ của nút đó với các nút khác.
Sim(Ong) = {Ong} Sim(Cha) = {Cha, Ong} Sim(ChaMe) = {ChaMe, Ong, Cha}
Sim(ConNguoi) = {ConNguoi}
Thuật toán chỉ rằng quan hệ mô phỏng của nút Ong thì bao hàm bởi nút Ong, nút Cha được bao hàm bởi nút Ong và nút Cha, nút ChaMe thì được bao hàm bởi nút Cha, nút ChaMe và nút Ong.
Vậy thuật toán ELgfp- EfficientSimilarity với đầu vào là một đồ thị và đầu ra là một tập các nút mô phỏng mô phỏng các mối quan hệ của các nút đó. Thời gian tính toán cho phép mô phỏng trên đồ thị sẽ được quyết định trong thời gian đa thức bậc ba. Do đó, kết quả cho thuật toán bao hàm cho ELgfp sẽ được quyết định trong thời gian đa thức bậc ba là do ta sử dụng phép mô phỏng trên một đồ thị mô tả được xây dựng từ một TBox đã chuẩn hóa. Mà trong đó khi các định nghĩa được mô phỏng thành các nút trên đồ thị thì kích thước |VT| giới hạn bởi đầu vào là TBox |T|, và khi các vai trò được mô phỏng thành các cạnh của đồ thị thì kích thước |ET| giới hạn bởi đầu vào của T là |T|2. Khi |VT| ≥ |ET| thì độ phức tạp của phép mô phỏng trên thuật toán ELgfp- EfficientSimilarity sẽ là O(|VT|.|ET|) hay O(|T|3).