6. Cấu trúc của luận văn
2.4.3.4. Bài toán về tính xác suất
Bài tập 1. (Bài 35. sgk – 83)
Xác suất bắn trúng hồng tâm của một ngƣời bắn cung là 0,2. Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập:
a) Ngƣời đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần. b) Ngƣời đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Hoạt động 1. Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập ngƣời đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV: Gọi Ai là biến cố “Ngƣời bắn cung bắn trúng hồng tâm lần thứ i (i = 1, 2, 3). Ta có P(Ai) là bao nhiêu?
GV: Gọi K là biến cố “Trong ba lần bắn ngƣời bắn cung có duy nhất một lần trúng hồng tâm”. Hãy mô tả biến cố K.
GV: Em hãy tính P(K)?
- Trả lời câu hỏi.
+ P(Ai) = 0,2. (i = 1, 2, 3).
- Trả lời câu hỏi.
Gọi K là biến cố “Trong ba lần bắn ngƣời bắn cung có duy nhất một lần trúng hồng tâm”.
Ta có: K =A A A1 2 3A A A1 2 3A A A1 2 3 HS: Hoạt động cá nhân tính P(K). Ta có: P(K) =
P(A A A1 2 3 )+ P(A A A1 2 3) + (A A A1 2 3). + Theo quy tắc nhân xác suất ta có:
P(A A A1 2 3 ) = P(A1)P(A2 )P(A3) = 0,2.0,8.0,8 = 0,128. Tƣơng tự P(A A A1 2 3) = P(A A A1 2 3) = 0,128 Vậy P(K) = 0,128.3 = 0,384.
Hoạt động 2. Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập ngƣời đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần một lần.
Hoạt động của GV Hoạt động của học sinh
GV: Gọi H là biến cố “Trong 3 lần bắn ngƣời bắn cung bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần” thì biến cố “Cả 3 lần ngƣời đó không bắn trúng hồng tâm lần nào” là biến cố nhƣ thế nào? đƣợc mô tả
- Trả lời câu hỏi.
+ Gọi H là biến cố “Trong 3 lần bắn ngƣời đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần” thì biến cố H= A A A1 2 3 là biến cố
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nhƣ thế nào? GV: Tính P(H) và P(H)? “Cả 3 lần ngƣời đó không bắn trúng hồng tâm lần nào” - Đi tính P(H) và P(H). + P(H) = 0,8.0,8.0,8 = 0,512 P(H) = 1 – 0,512 = 0,488.
Bài tập 2. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố:
a) Tổng hai mặt xuất hiện là 8 b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn.
GV: Hƣớng dẫn học sinh khám phá lời giải của bài tập theo cách sau:
Hoạt động 1. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện là 8.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV: Khi gieo con suc sắc cân đối đồng chất hai lần tất cả các kết quả có thể xẩy ra là bao nhiêu?
GV: Gọi A là biến cố “Tổng hai mặt xuất hiện là 8” thì các kết quả thuận lợi cho A là bao nhiêu?
GV: Xác suất xảy ra biến cố A là bao nhiêu?
HS: Trả lời câu hỏi.
+ Các kết quả có thể xẩy ra là 36
HS: Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố A.
+ (2;6), (6;2), (3;5), (5;3), (4;4) có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố A.
- Trả lời câu hỏi.
+ Vậy xác suất xảy ra biến cố A là:
P(A) = 5 36.
Hoạt động 2. Tính xác suất để tích hai mặt xuất hiện là số lẻ GV: Làm tƣơng tự nhƣ câu a).
Gợi ý: Gọi B là biến cố “Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ” thì các kết quả thuận lợi cho B là bao nhiêu? Từ đó ta tính đƣợc xác suất để xảy ra biến cố B.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Hoạt động 3. Tính xác suất để tích hai mặt xuất hiện là số chẵn. GV: Làm tƣơng tự nhƣ câu b).
Bài tập 3. Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ , 3 viên bi xanh, 2 viên bi vàng, 1 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất biến cố:
a) 2 viên lấy ra màu đỏ b) 2 viên bi 1 đỏ, 1 vàng c) 2 viên bi cùng màu
GV: Hướng dẫn học sinh khám phá lời giải của bài tập theo cách sau:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV: Gọi A là biến cố “2 viên lấy ra màu đỏ”. Gọi B là biến cố “2 viên lấy ra 1 đỏ, 1 vàng”. Gọi C là biến cố “2 viên lấy ra cùng màu”.
Hoạt động 1. Tính P(A).
GV: Tính tất cả các kết quả có thể xảy ra . Và kết quả thuận lợi cho biến cố A và xác suất của biến cố A.
GV gọi một học sinh trả lời câu hỏi.
Hoạt động 2. Tính P(B).
GV: Em hãy cho biết các kết quả thuận lợi cho biến cố B và tính P(B).
HS: Hoạt động cá nhân trong 5 phút – làm ra giấy nháp.
+ Số cách để lấy đƣợc ra hai viên bi trong 10 viên bi là: 2
10
C
+ Kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 2
4
A C
. Vậy xác suất của biến cố A là:
42 2 10 C P A C = 6 2 4515 HS:
+ Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: 1 1
4. 2
B C C
= 8.
+ Xác suất của biến cố B là:
41 21 2 10 . 8 45 C C P B C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Hoạt động 3. Tính xác suất của biến cố C.
Hoạt động của GV Hoạt động của học sinh
- GV: Gọi D là biến cố “Lấy đƣợc 2 viên đỏ, X là biến cố “Lấy đƣợc 2 viên xanh, V là biến cố “Lấy đƣợc 2 viên vàng.
GV: Em có nhận xét gì về các biến cố D, X, V và biến cố lấy đƣợc hai viên bi cùng màu đƣợc mô tả nhƣ thế nào?
GV: Em hãy tính P(C)?
HS: Trả lời câu hỏi.
+ D, X, V là các biến cố đôi một xung khắc. Biến cố lấy đƣợc hai viên bi cùng màu là: C = DXV HS: Hoạt động tính biến cố P(C). + P C P D P X P V = 2 2 2 3 4 2 2 2 2 10 10 10 C C C C C C 2 1 1 151545 10 2 459.
Bài tập 4. Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi, mỗi đề thi có 5 câu. Một học sinh học thuộc 80 câu. Tính xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên đƣợc một đề thi có 4 câu học thuộc.
GV: Hướng dẫn học sinh khám phá lời giải của bài tập theo cách sau:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV: Có bao nhiêu đề thi có 5 câu đƣợc chọn từ 100 câu đả cho?
GV: Có bao nhiêu cách chọn ra 4 câu học sinh học thuộc và 1 câu học sinh không học thuộc.
GV: Xác suất để chọn ra 4 câu học sinh học thuộc là bao nhiêu?
- Trả lời câu hỏi.
+ Chọn 5 câu làm một đề 5 100
C
- Trả lời câu hỏi. + Chọn 4 1
80 20
A C C
- Trả lời câu hỏi
Vậy xác suất để chọn ra 4 câu học sinh học thuộc là: 804 120 5 100 C C P A C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Bài tập 5. (Bài 40 - sgk – 85)
Trong một trò chơi điện tử xác suất để An thắng trong một trận là 0,4 (không có hòa). Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95.
GV: Hướng dẫn học sinh khám phá lời giải của bài tập theo cách sau:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV: Gọi n là số trận mà An chơi. A là biến cố “An thắng ít nhất một trận trong loạt n trận”.
GV: Biến cố đối của A là biến cố nào?
GV: Tính xác suất của biến cố A và biến cố A và P(A).
GV: Tìm số n thỏa mãn yêu cầu của bài toán?
- Trả lời câu hỏi.
+ Gọi n là số trận mà An chơi. A là biến cố “An thắng ít nhất một trận trong loạt n trận” thì biến cố đối của biến cố A là biến cố A: “An thua cả n trận”.
HS: Đi tính P(A), P(A). + P(A) = (0,6)n. + P(A) = 1 - (0,6)n + Để P(A) ≥ 0,95 1 - (0,6)n ≥ 0,95 0,05 ≥ (0,6)n Ta có: (0,6)5 0,78; (0,6)6 0,047. Vậy n nhỏ nhất là 6. Thành thử An phải chơi ít nhất 6 trận. Bài tập 6.
Ba quân bài rút từ 13 quân có cùng chất rô (2 – 3 - ... – 10 – J – Q – K - A). a) Tính xác suất để 3 quân bài đó không có quân Q và quân K.
b) Tính xác suất trong ba quân bài để có K hoặc Q hoặc cả hai. c) Tính xác suất trong ba quân bài đó để rút đƣợc cả K và Q.
GV: Hướng dẫn học sinh khám phá lời giải của bài tập theo cách sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Hoạt động của GV Hoạt động của học sinh
GV: Gọi A là biến cố “Rút 3 quân bài không có quân Q và quân K” thì các kết quả thuận lợi cho A là bao nhiêu?
GV: Xác suất của biến cố A là bao nhiêu?
- Trả lời câu hỏi
+ Số các kết quả thuận lợi cho A là 3 11
C . - Trả lời câu hỏi
+ Xác suất của biến cố A là: P(A) 3 11 3 13 15 26 C C .
- Hoạt động 2. Tính xác suất để 3 quân bài đó có K hoặc Q hoặc cả hai.
Hoạt động của GV Hoạt động của học sinh
GV: Biến cố đối của biến cố A là biến cố nào?
GV: Tính xác suất của biến cố đối của biến cố A.
- Trả lời câu hỏi
+ A là biến cố “Rút 3 quân bài không có quân K hoặc Q hoặc cả hai”.
- Tính P(A).
+ P( ) 1 15 11 26 26
A .
- Hoạt động 3. Tính xác suất trong ba quân bài đó để rút đƣợc cả K và Q.
Hoạt động của GV Hoạt động của học sinh
GV: Gọi B là biến cố “Rút ba quân bài có hai quân Q và K”. Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố B?
GV: Tính xác suất của biến cố B.
HS: Tính số các kết quả thuận lợi cho biến cố B. + Có 1.1.C111 cách. - Tính P(B). + 1 11 3 13 11 1 ( ) 286 26 P B C C .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chú ý khi dạy dạng bài tập này:
+ GV cần cho học sinh nắm chắc khái niệm biến cố hợp, biến cố giao khi nào các biến cố xung khắc, khi nào hai biến cố đối nhau, khi nào các biến cố độc lập với nhau.
+ Nắm chắc quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất và vận dụng thành vào trong các trường hợp.
+ Cho học sinh biết tính các kết quả thuận lợi cho một biến cố và xác suất của biến cố đó.
+ Giải một bài toán theo định nghĩa cổ điển gồm 3 bước.
Bước 1. Tính số phần tử của không gian mẫu
Bước 2. Tính số phần tử của tập hợp biến cố đang xét
Bước 3. Lấy kết quả của bước 2 chia cho kết quả của bước 1.
2.4.3.5. Các bài tập về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
a) Các bài tập về phương trình.
Bài tập 1. Gải các phƣơng trình
a) 1 1
7 7 7
2Cn Cn Cn
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV: Tìm điều kiện của n để phƣơng trình có nghĩa?
GV: Dùng công thức tổ hợp biến đổi, rút gọn để đƣợc phƣơng trình quen thuộc.
HS: Chỉ ra điều kiện của n để phƣơng trình có nghĩa.
+ 1 n 6.nN.
HS: Hoạt động biến đổi phƣơng trình đƣa về dạng quen thuộc.
+ 1 1 7 7 7 2Cn Cn Cn 2.7! 7! 7! !.(7 )! ( 1)!.(8 )! ( 1)!.(6 )! n n n n n n 2( 1)(8 ) ( 1) (8 )(7 ) ( 1)!(8 )! ( 1)!(8 )! ( 1)!(8 )! n n n n n n n n n n n n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 5 7 10 0 2 n n n n
Vậy có hai nghiệm thỏa mãn phƣơng trình là n = 2 hoặc n = 5.
b. 6 5 4
n n n
A A A
Hoạt động của GV Hoạt động của học sinh
GV: Hãy tìm điều kiện của n để phƣơng trình có nghĩa.
GV: Hãy áp dụng công thức biến đổi phƣơng trình về dạng quen thuộc và giải phƣơng trình tìm nghiệm của nó.
HS: Tìm điều kiện của n để cho phƣơng trình có nghĩa.
+ Điều kiện: n ≥ 6. nN.
HS: Hoạt động đi giải phƣơng trình. + 6 5 4 n n n A A A ! ! ! ( 6)! ( 5)! ( 4)! n n n n n n (n 4)(n 5) n 4 1 2 8 15 0 n n 3 5 n n
Kết hợp với điều kiện thì phƣơng trình đã cho vô nghiệm.
GV: Các phần dƣới đây ta làm tƣơng tự. c. 1 2 3 7 2 n n n C C C n d. 2 2 2 2Ax 50Ax e. 5 3 1 360 5 ! 2Px Ax x
Những lƣ ý khi dạy dạng bài tập này:
+ Trước khi giải phải đi tìm tập xác định của phương trình. Nghiệm của phương trình là các giá trị nguyên dương.
+ Học sinh nắm chắc và vận dụng thành thạo các định lí và tính chất về số hoán vị của n phần tử, số chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử.
+ Các phương trình dạng này sau khi biến đổi, rút gọn thường sẽ đưa về được phương trình giải được.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn b) Bài tập về hệ phương trình.
Bài tập 2. Giải các hệ phƣơng trình sau: a. 2 5 90 5 2 80 y y x x y y x x A C A C
- Hoạt động 1. Giải hệ phƣơng trình a.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV: Tìm điều kiện để hệ phƣơng trình có nghĩa. Từ hệ phƣơng trình đã cho hãy tìm y; y
x x
C A .
GV: Hãy tìm x, y từ hệ phƣơng (*).
HS; Hoạt động tìm điều kiện để hệ phƣơng trình có nghĩa, tìm Cxy;Axy. + Điều kiện 0 y x. (x,y N)
+ 20 10 y x y x A C (*).
HS: Hoạt động đi giải hệ phƣơng trình (*) tìm x, y từ hệ này. (*) ! 20 ( )! ! 2 2 ! 10 !( )! x x y y y x y x y
Thay y = 2 vào phƣơng trình thứ (2) của hệ ta có: ! 20 ( 1) 20 ( 2)! x x x x x = 5 (thỏa mãn); x= - 4 (loại)
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (5;4) b) Tìm x;y thỏa mãn: 1 1 1 6 5 2 y y y x x x C C C (I)
- Hoạt động 2. Tìm x, y thỏa mãn (I)
GV: Gợi ý: Dùng công thức tổ hợp biến đổi hệ phƣơng trình về phƣơng trình bậc nhất hai ẩn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn c. 3 2 5 5 2 3 5 5 7 4 7 y y x x y y x x A A C C
* Những chú ý khi giải loại bài tập này.
+ Trước khi giải cần đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa.
+ Dùng công thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp biến đổi đưa hệ về dạng quen thuộc. c) Bài tập về bất phương trình.
Bài tập 3. Giải bất phƣơng trình: 13 4 3 1 1 14 n n n P C A (1)
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV: Tìm điều kiện của n để phƣơng trình có nghĩa:
GV: Dùng công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị đƣa bất phƣơng trình về dạng