6. Cấu trúc của luận văn
2.4.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy hoc toán
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim “Bài tập có vai trò giá mang lại hoạt động cho học sinh. Thông qua bài tập , học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiên định nghĩa, định lí, quy tắc hay phƣơng pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ đã cho thấy hoạt động của học sinh có liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung, phƣơng pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập đƣợc thể hiện trên 3 bình diện.
Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trƣờng phổ thông là giá mang những hoạt động mà thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phƣơng tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong phần lí thuyết.
Thứ ba: trên bình diện phƣơng pháp dạy học, là giá mang lại hoạt động để ngƣời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác”.
Theo chung tôi: Ở trƣờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh, việc giải toán có thể xem là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trƣờng phổ thông.
Bài tập là một phƣơng tiện có hiệu quả giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tƣ duy sáng tạo, hình thành kỹ năng kỹ xảo.
Bài tập có nhiều chức năng khác nhau:
- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
- Chức năng giáo dục: Bài tập nhằm hình thành cho học sinh thể giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất của con ngƣời lao động mới, vận dụng kiến thức vào đời sống.
- Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tƣ duy của học sinh, rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tƣ duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh.
Trên thực tế các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau. Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy đƣợc tiến hành tƣờng minh và công khai. Hiệu quả của việc dạy học toán ở trƣờng phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là thầy giáo chỉ đơn thuần cung cấp cho học sinh lời giải của bài toán, mà điều quan trọng hơn là làm thế nào để học sinh giải đƣợc bài toán đó. Trong môn toán của trƣờng phổ thông có rất nhiều bài toán chƣa có hoặc không có thuật toán để giải. Đối với những bài toán ấy có thể hƣớng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tới lời giải. Qua đó trang bị cho học sinh một số tri thức về phƣơng pháp giải toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán. Để tổ chức hoạt động của học sinh trong quá trình dạy giải bài tập toán, thầy giáo cần hình thành cho học sinh quy trình chung phƣơng pháp tìm tòi lời giải một bài toán,
Phƣơng pháp tìm tòi lời giải của G.Pôlya đƣợc tiến hành theo 4 bƣớc:
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
Để giải đƣợc một bài toán, trƣớc hết phải hiểu đƣợc bài toán và có những hứng thú với việc giải bài toán đó. Đồng thời phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể, tránh vội vàng đi ngay vào các chi tiết. Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho.
- Đâu là cái phải tìm? Đâu là cái đã cho? Có mỗi liên hệ nào giữa cái phải tìm và cái đã cho?
- Vẽ hình, sử dụng các ký hiệu thích hợp.
- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn tả các điều đó thành công thức đƣợc không?
Bƣớc 2: Xây dựng chƣơng tình giải:
Ở bƣớc này phải phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn, phải huy động kiến thức (định nghĩa, định lý, quy tắc…) có liên quan đến các khái niệm, những quan hệ trong đề toán, rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán, mò mẫm, dự đoán, thử xét một vài khả năng, kể cả trƣờng hợp đặc biệt, xét một bài toán tƣơng tự hoặc một bài toán khái quát của bài toán đã cho…
Bƣớc 3: Thực hiện chƣơng trình giải: Chú ý lựa chọn phƣơng án giải tối ƣu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Bƣớc 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải, xem lại các lập luận. - Xem xét các trƣờng hợp có thể xảy ra của bài toán
- Kiểm tra lại kết quả, nhìn lại toàn bộ quá trình giải, rút ra phƣơng pháp giải cho một dạng toán nào đó.
- Tìm thêm những cách giải khác.
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Đề xuất các bài toán mới: Bài toán tƣơng tự, bài toán đảo, bài toán đặc biệt, bài toán khái quát…
2.4.3. Vận dụng PPDH khám phá vào DH một số dạng toán điển hình trong chương Tổ hợp – Xác suất chương Tổ hợp – Xác suất
2.4.3.1. Các bài toán thành lập số từ các số cho trước
* Dạng 1: Tập hợp nền không chứa chữ số 0
Bài tập 1 : Cho tập hợp A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 }
a) Có bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau đƣợc lập từ tập A ? b) Có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn có 6 chữ số khác nhau từ tập A?
Hoạt động của GV Hoạt động của HS a)
GV: Hãy lập số có 5 chữ số.
GV: Năm chữ số này đƣợc lấy từ tập A , đôi một khác nhau và sắp xếp theo một thứ tự nhất định nên số các số n cần tìm là bao nhiêu? b) GV: Hãy lập số có 6 chữ số. GV: Có bao nhiêu cách chọn a6 và các a) HS: Lập số có 5 chữ số khác nhau. Gọi số cần tìm là : na1a2a3a4a5 + Mỗi số có 5 chữ số đƣợc lập từ tập A gọi là một chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử. Số chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử là: 2520 )! 5 7 ( ! 7 5 7 A số . HS: Đi lập số có 6 chữ số. Gọi số cần tìm là : na a a a a a1 2 3 4 5 6 trong đó : a1 a2 a3 a4 a5 a6 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
số còn lại?
GV: Có tất cả bao nhiêu số thỏa mãn yêu cầu của đề bài?
- Trả lời câu hỏi.
Số cần tìm là số chẵn nên a6 {2, 4 ,6}
a6 có 3 cách chọn. Chọn 5 chữ số còn lại có 5
6
A
Vậy theo quy tắc nhân có: 3.A65 2160 số thỏa mãn bài toán.
Bài tập 2 : Cho tập hợp A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }
a) Từ tập A có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ?
b) Từ tập A có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đầu và chữ số cuối đều chẵn ?
Gợi ý: Sử dụng định lí số chỉnh hợp chập k của n phần tử, quy tắc nhân
Bài tập 3 : Cho tập hợp A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }
a)Từ tập A có thể lập đƣợc bao nhiêu số lẻ gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau.
b) Từ tập A có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đầu lẻ , chữ số cuối chẵn ?
Gợi ý: Sử dụng định lí số chỉnh hợp chập k của n phần tử, quy tắc nhân
Bài tập 4 : Cho tập hợp A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
a) Từ tập A có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm có 5 chữ số khác nhau và không bắt đầu 345 ?
b) Từ tập A có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 luôn có mặt đúng một lần ?
Gợi ý: Phân chia các trƣờng hợp, sử dụng định lí số chỉnh hợp chập k của n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Bài tập 5.
Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn số đứng trƣớc.
Gợi ý:
Với bài tập trên GV hƣớng dẫn học sinh khám phá lời giải theo gợi ý sau:
Chữ số đầu tiên bên trái khác 0, và các chữ số phải theo thứ tự tăng nên 5 số a1,a2,a3,a4,a5 A=1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có duy nhất 1 cách xắp thứ tự.
Chú ý khi dạy dạng bài tập này:
+ Với những bài tập kiểu này ta thường sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, định lí về số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
+ Những số ở vị trí đặc biệt ta ưu tiên chọn trước số đứng đầu, đứng cuối, các số để cho số cần lập thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
* Dạng 2: Tập hợp nền có chứa chữ số 0. Bài tập 1.
Cho tập hợp A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }.Từ tập A có thể lập đƣợc : a) Bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau sao cho các số này đều chẵn ? b) Bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 ? c) Có 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 50000 ?
d) Có 5 chữ số khác nhau và chữ số 7 luôn có mặt một lần ?
e) Có 6 chữ số sao cho các số này luôn lẻ, chữ số đứng ở vị trí thứ 3 luôn chia hết cho 6 ?
Với bài tập này GV hướng dẫn học sinh khám phá lời giải theo cách sau.
Hoạt động 1. Tìm các số có 5 chữ số khác nhau là số chẵn.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV: Hãy thành lập số có 5 chữ khác nhau thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Học sinh lập số có 5 chữ số
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
GV: Ta phải xét những trƣờng hợp nào?
a1, a2 , a3 , a4, a5 A, a5 {0 ; 2 ; 4 ; 6 }, a1 0 - Trả lời câu hỏi.
+ TH1: a5 = 0 : Số cách chọn các chữ số còn lại là 4 7 A Số các số có dạng a1a2a3a40 là: 4 7 A + TH2: a5 0, a5 có 3 cách chọn a1 0 và a1 a5; a1 có 6 cách chọn, các số còn lại có số cách chọn là 3 6 A . Số các số có dạng trên là: 3.6. 3 6 A
Vậy theo quy tắc cộng số các số cần tìm là : 4
7
A + 3.6. 3 6
A = 3000 số.
Hoạt động 2. b) Tìm số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
b)
GV: Hãy lập số có 4 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
GV: Xét hai TH a4 = 0 hoặc a4 = 5. GV: TH 1: a4 = 0 số các chữ số còn lại có số cách chọn là bao nhiêu? GV: TH 2: a4 = 5 có bao nhiêu cách chọn a1 và các số còn lại? - Lập số có 4 chữ số khác nhau. + Gọi số cần tìm là: na1a2a3a4 . Với a1, a2, a3 A, a4 {0; 5}, a1 0 HS: Đi xét hai TH: a4 = 0 và a4 0. + TH 1: a4 = 0 : Số các chữ số còn lại có số cách chọn là 3 7 A cách Số các số có dạng trên là 3 7 A số . + TH 2: a4 = 5 : a1 0 và a1 a4; a1 có 6 cách chọn .Số các số còn lại có số cách chọn là 2 6 A cách Số các số có dạng trên là:1.6. 2 6 A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Vậy theo quy tắc cộng số các số cần tìm là: 3
7
A + 6. 2 6
A = 390 số.
Hoạt động 3. Tìm số có 5 chữ số khác nhau lớn hơn 5000.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
c)
GV: Hãy lập số có 5 chữ số.
GV: Có bao nhiêu cách chọn a1 và các số còn lại.
GV: Có bao nhiêu số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
HS: Lập số có 5 chữ số.
+ Gọi số cần tìm là : na1a2a3a4a5 - Trả lời câu hỏi
+ Số n > 50000 nên a1 {5 ; 6; 7 } nên a1 có 3 cách chọn. Chọn 4 chữ số còn lại có 4
7
A .
Vậy theo quy tắc nhân có: 3. 4
7
A = 2520 số .
Hoạt động 4. Tìm số có 5 chữ số khác nhau và chữ số 7 luôn có mặt đúng một lần.
Hoạt động của GV Hoạt động của học sinh
d)
GV: Hãy lập số có 5 chữ số khác nhau. GV: Trong phần này ta phải xét những TH nào?
GV: a1= 7 có bao nhiêu cách chọn các số còn lại?
GV: a1 7 có bao nhiêu cách chọn a1 và có bao nhiêu vị trí cho chữ số 7 và các số còn lại.
HS: Đi lập số có 5 chữ số khác nhau + Gọi số cần tìm là : na1a2a3a4a5 - Trả lời câu hỏi.
+ a1= 7 và a1 7 + TH 1: a1= 7 : Chọn 4 chữ số còn lại có 4 7 A cách Có 4 7 A số . + TH 2 : a1 7 : a1 có 6 cách chọn (a1 7 ; a1 0) . Có 4 vị trí cho chữ số 7 .Chọn 3 chữ số còn lại có 3 6 A cách.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
GV: Có bao nhiêu số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Theo quy tắc nhân có 6.7. 3 6 A = 2880 số . Vậy: Có tất cả: 4 7 A + 6.4. 3 6 A = 3720 số
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Hoạt động 5. Tìm số lẻ có 6 chữ số khác nhau và chữ đứng ở vị trí thứ 3 luôn chia hết cho 6.
Hoạt động của GV Hoạt động của học sinh
e)
GV: Hãy lập số có 6 chữ số.
GV: TH 1. a3 = 0 có bao nhiêu cách chọn a6, a1 và các số còn lại?
GV: a3 = 6 có bao nhiêu cách chọn a6, a1 và các số còn lại?
GV: Có bao nhiêu số thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
HS: Lập số có 6 chữ số khác nhau. + Gọi số cần tìm là: na1a2a3a4a5a6 Số n có tính chất : + Lẻ a6 {1; 3; 5; 7 } + a3 chia hết cho 6 a3 {0; 6} . TH 1: a3 = 0 : a6 có 4 cách, a1 có 6 cách . Chọn 3 chữ số còn lại có 3 5 A cách .