6. Cấu trúc của luận văn
2.4.3.Vận dụng PPDH khám phá vào DH một số dạng toán điển hình trong
chương Tổ hợp – Xác suất
2.4.3.1. Các bài toán thành lập số từ các số cho trước
* Dạng 1: Tập hợp nền không chứa chữ số 0
Bài tập 1 : Cho tập hợp A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 }
a) Có bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau đƣợc lập từ tập A ? b) Có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn có 6 chữ số khác nhau từ tập A?
Hoạt động của GV Hoạt động của HS a)
GV: Hãy lập số có 5 chữ số.
GV: Năm chữ số này đƣợc lấy từ tập A , đôi một khác nhau và sắp xếp theo một thứ tự nhất định nên số các số n cần tìm là bao nhiêu? b) GV: Hãy lập số có 6 chữ số. GV: Có bao nhiêu cách chọn a6 và các a) HS: Lập số có 5 chữ số khác nhau. Gọi số cần tìm là : na1a2a3a4a5 + Mỗi số có 5 chữ số đƣợc lập từ tập A gọi là một chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử. Số chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử là: 2520 )! 5 7 ( ! 7 5 7 A số . HS: Đi lập số có 6 chữ số. Gọi số cần tìm là : na a a a a a1 2 3 4 5 6 trong đó : a1 a2 a3 a4 a5 a6 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
số còn lại?
GV: Có tất cả bao nhiêu số thỏa mãn yêu cầu của đề bài?
- Trả lời câu hỏi.
Số cần tìm là số chẵn nên a6 {2, 4 ,6}
a6 có 3 cách chọn. Chọn 5 chữ số còn lại có 5
6
A
Vậy theo quy tắc nhân có: 3.A65 2160 số thỏa mãn bài toán.
Bài tập 2 : Cho tập hợp A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }
a) Từ tập A có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ?
b) Từ tập A có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đầu và chữ số cuối đều chẵn ?
Gợi ý: Sử dụng định lí số chỉnh hợp chập k của n phần tử, quy tắc nhân
Bài tập 3 : Cho tập hợp A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }
a)Từ tập A có thể lập đƣợc bao nhiêu số lẻ gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau.
b) Từ tập A có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đầu lẻ , chữ số cuối chẵn ?
Gợi ý: Sử dụng định lí số chỉnh hợp chập k của n phần tử, quy tắc nhân
Bài tập 4 : Cho tập hợp A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
a) Từ tập A có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm có 5 chữ số khác nhau và không bắt đầu 345 ?
b) Từ tập A có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 luôn có mặt đúng một lần ?
Gợi ý: Phân chia các trƣờng hợp, sử dụng định lí số chỉnh hợp chập k của n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Bài tập 5. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn số đứng trƣớc.
Gợi ý:
Với bài tập trên GV hƣớng dẫn học sinh khám phá lời giải theo gợi ý sau:
Chữ số đầu tiên bên trái khác 0, và các chữ số phải theo thứ tự tăng nên 5 số a1,a2,a3,a4,a5 A=1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có duy nhất 1 cách xắp thứ tự.
Chú ý khi dạy dạng bài tập này:
+ Với những bài tập kiểu này ta thường sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, định lí về số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
+ Những số ở vị trí đặc biệt ta ưu tiên chọn trước số đứng đầu, đứng cuối, các số để cho số cần lập thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
* Dạng 2: Tập hợp nền có chứa chữ số 0. Bài tập 1.
Cho tập hợp A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }.Từ tập A có thể lập đƣợc : a) Bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau sao cho các số này đều chẵn ? b) Bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 ? c) Có 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 50000 ?
d) Có 5 chữ số khác nhau và chữ số 7 luôn có mặt một lần ?
e) Có 6 chữ số sao cho các số này luôn lẻ, chữ số đứng ở vị trí thứ 3 luôn chia hết cho 6 ?
Với bài tập này GV hướng dẫn học sinh khám phá lời giải theo cách sau.
Hoạt động 1. Tìm các số có 5 chữ số khác nhau là số chẵn.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV: Hãy thành lập số có 5 chữ khác nhau thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Học sinh lập số có 5 chữ số
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
GV: Ta phải xét những trƣờng hợp nào?
a1, a2 , a3 , a4, a5 A, a5 {0 ; 2 ; 4 ; 6 }, a1 0 - Trả lời câu hỏi.
+ TH1: a5 = 0 : Số cách chọn các chữ số còn lại là 4 7 A Số các số có dạng a1a2a3a40 là: 4 7 A + TH2: a5 0, a5 có 3 cách chọn a1 0 và a1 a5; a1 có 6 cách chọn, các số còn lại có số cách chọn là 3 6 A . Số các số có dạng trên là: 3.6. 3 6 A
Vậy theo quy tắc cộng số các số cần tìm là : 4
7
A + 3.6. 3 6
A = 3000 số.
Hoạt động 2. b) Tìm số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
b)
GV: Hãy lập số có 4 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
GV: Xét hai TH a4 = 0 hoặc a4 = 5. GV: TH 1: a4 = 0 số các chữ số còn lại có số cách chọn là bao nhiêu? GV: TH 2: a4 = 5 có bao nhiêu cách chọn a1 và các số còn lại? - Lập số có 4 chữ số khác nhau. + Gọi số cần tìm là: na1a2a3a4 . Với a1, a2, a3 A, a4 {0; 5}, a1 0 HS: Đi xét hai TH: a4 = 0 và a4 0. + TH 1: a4 = 0 : Số các chữ số còn lại có số cách chọn là 3 7 A cách Số các số có dạng trên là 3 7 A số . + TH 2: a4 = 5 : a1 0 và a1 a4; a1 có 6 cách chọn .Số các số còn lại có số cách chọn là 2 6 A cách Số các số có dạng trên là:1.6. 2 6 A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vậy theo quy tắc cộng số các số cần tìm là: 3
7
A + 6. 2 6
A = 390 số.
Hoạt động 3. Tìm số có 5 chữ số khác nhau lớn hơn 5000.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
c)
GV: Hãy lập số có 5 chữ số.
GV: Có bao nhiêu cách chọn a1 và các số còn lại.
GV: Có bao nhiêu số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
HS: Lập số có 5 chữ số.
+ Gọi số cần tìm là : na1a2a3a4a5 - Trả lời câu hỏi
+ Số n > 50000 nên a1 {5 ; 6; 7 } nên a1 có 3 cách chọn. Chọn 4 chữ số còn lại có 4
7
A .
Vậy theo quy tắc nhân có: 3. 4
7
A = 2520 số .
Hoạt động 4. Tìm số có 5 chữ số khác nhau và chữ số 7 luôn có mặt đúng một lần.
Hoạt động của GV Hoạt động của học sinh
d)
GV: Hãy lập số có 5 chữ số khác nhau. GV: Trong phần này ta phải xét những TH nào?
GV: a1= 7 có bao nhiêu cách chọn các số còn lại?
GV: a1 7 có bao nhiêu cách chọn a1 và có bao nhiêu vị trí cho chữ số 7 và các số còn lại.
HS: Đi lập số có 5 chữ số khác nhau + Gọi số cần tìm là : na1a2a3a4a5 - Trả lời câu hỏi.
+ a1= 7 và a1 7 + TH 1: a1= 7 : Chọn 4 chữ số còn lại có 4 7 A cách Có 4 7 A số . + TH 2 : a1 7 : a1 có 6 cách chọn (a1 7 ; a1 0) . Có 4 vị trí cho chữ số 7 .Chọn 3 chữ số còn lại có 3 6 A cách.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
GV: Có bao nhiêu số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Theo quy tắc nhân có 6.7. 3 6 A = 2880 số . Vậy: Có tất cả: 4 7 A + 6.4. 3 6 A = 3720 số (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Hoạt động 5. Tìm số lẻ có 6 chữ số khác nhau và chữ đứng ở vị trí thứ 3 luôn chia hết cho 6.
Hoạt động của GV Hoạt động của học sinh
e)
GV: Hãy lập số có 6 chữ số.
GV: TH 1. a3 = 0 có bao nhiêu cách chọn a6, a1 và các số còn lại?
GV: a3 = 6 có bao nhiêu cách chọn a6, a1 và các số còn lại?
GV: Có bao nhiêu số thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
HS: Lập số có 6 chữ số khác nhau. + Gọi số cần tìm là: na1a2a3a4a5a6 Số n có tính chất : + Lẻ a6 {1; 3; 5; 7 } + a3 chia hết cho 6 a3 {0; 6} . TH 1: a3 = 0 : a6 có 4 cách, a1 có 6 cách . Chọn 3 chữ số còn lại có 3 5 A cách . Có: 4.6. 3 5 A = 1440 số . TH 2 : a3 = 6, a6 có 4 cách chọn . a1 có 5 cách (a1 0 ; a1 a3 ; a1 a6) Chọn 3 chữ số còn lại có 3 5 A cách Có: 4.5. 3 5 A = 1200 số . HS: Vậy có: 4.6. 3 5 A + 4.5. 3 5 A = 2640 số. Bài tập 2.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đƣợc lập từ năm số 5, 6, 7, 8, 9. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên nói trên.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV: Mỗi số có 5 chữ số chính là một hoán vị của năm phần tử 5, 6, 7, 8, 9. GV: Có bao nhiêu số thỏa mãn yêu cầu bài toán?
HS: Trả lời câu hỏi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
GV: Số lần xuất hiện của các số 5, 6, 7, 8, 9 ở hàng đơn vị (hàng chục, trăm,..) có giống nhau không?
GV: Tổng các chữ số của hàng đơn vị là bao nhiêu? Và tổng các chữ số ở các hàng khác là bao nhiêu?
GV: Tổng của tất cả các số thỏa mãn bài toán là bao nhiêu?
P5=5.4.3.2.1=120 số - Trả lời câu hỏi.
+ Sự xuất hiện của các chữ số 5, 6, 7, 8, 9 hàng đơn vị, trục, trăm, ngìn, hàng trục ngìn là nhƣ nhau.
HS: Trả lời câu hỏi
+ Nên tổng của các chữ số ở hàng đơn vị và của các hàng khác của 120 số là: (5 + 6 + 7 + 8 + 9).1 5 = 840 Tổng của 120 số là: S = 840.(104 + 103 + 102 + 101 + 100) = 840.11111 = 9333240.
- Những chú ý khi làm dạng toán này:
Do tập hợp nền có chứa chữ số 0 nên khi chọn số đầu tiên ta luôn phải loại bỏ chữ số 0 và các số đặc biệt đã được chọn.
Ưu tiên chọn các số đặc biệt trước (đứng đầu, đứng cuối, số làm cho số phải tìm thỏa mãn tính chất nào đó (lẻ, chẵn, chia hết cho số nào đó, ...)
Dạng toán này thường sử dụng đến quy tắc cộng, quy tắc nhân, định lí về số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
* Dạng 3:các chữ số có thể trùng nhau. Bài tập 1. [16]
Có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 8 chữ số từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt hai lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần.
* Với bài tập trên GV hướng dẫn học sinh khám phá cách giải theo hướng gợi ý sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Hoạt động của GV Hoạt động của HS (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
GV: Gọi hai chữ số 1 và 6 có mặt trong cùng một số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1a, 1b và 6a, 6b khi ta hoán vị hai chữ số 1a, 1b và 6a, 6b thì đƣợc cùng một số.
GV: Khi đó mỗi số cần tìm là hoán vị của 8 kí tự nào?
GV: Khi ta hoán vị hai chữ số 1a, 1b và 6a, 6b thì số chứa các kí tự này có thay đổi không?
GV: Có bao nhiêu số thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
HS: Trả lời câu hỏi.
+ Khi đó mỗi số cần tìm là hoán vị của 8 kí tự 1a, 1b, 2, 3, 4, 5, 6a, 6b.
HS:
+ Tuy nhiên khi ta hoán vị hai chữ số 1a, 1b và 6a, 6b thì đƣợc cùng một số.
HS: Trả lời câu hỏi
+ Bởi vậy số các chữ số phải tìm là: 8!
10080 2!.2! số.
Bài tập 2. [16].
Từ các số thuộc tập A=0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 9 chữ số trong đó chữ số 6 có mặt 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng một lần.
GV đưa ra gợi ý:
+ Chữ số 6 được yêu cầu đặc biệt nên có thể ưu tiên xếp trước hoặc xếp cuối. Chữ số 0 đứng ở đầu vô nghĩa nên phải xét riêng.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV: Em hãy lập số có 9 chữ số GV: Gọi 3 số 6 có mặt trong n là : 6a, 6b, 6c. HS: Lập số có 9 chữ số + Gọi số có 9 chữ số là: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 na a a a a a a a a
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn GV: - Xét TH1: a1 là số 6, thì có bao nhiêu số thỏa mãn? - Xét TH 2: GV: a1 6 có bao nhiêu cách chọn a1 và các số khác?
HS: Trả lời câu hỏi.
+ TH 1. a1 = 6 thì cách sắp xếp các số còn lại là 8!. Nhƣng khi hoán vị hai số 6 ở các vị trí này ta đƣợc cùng một số. Vậy TH 1 có: 8!
2 = 20160 số.
+ TH 2. a1 6
a1 6, a1 0 nên có 5 cách chọn a1. Các số còn lại là hoán vị của 8 kí tự nhƣng có 3 số 6 khi hoán vị cho nhau thì số đó không thay đổi. Nên có:5.8! 3360
3! số. Vậy có: 20160 + 33600 = 53760 số có 9 chữ số thỏa mãn.
Bài tập 3.
Có bao nhiêu số khác nhau gồm bảy chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn.
Với bài tập này GV hướng dẫn học sinh khám phá lời giải của bài tập theo gợi ý sau:
Số có bảy chữ số cần tìm có tính chất gì?
Chữ số đầu tiên bên trái phải khác 0, các chữ số trong cùng một số không nhất thiết phải khác nhau, tổng các chữ số trong một số phải là số chẵn.
GV: Yêu cầu học sinh giải bài toán trong 8 phút sau đó gọi 1 học sinh lên bảng trình bày, các học sinh khác nhận xét. Sau đó GV đƣa ra lời giải chuẩn. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Lời giải.
Gọi số có bảy chữ số phải tìm là na a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 , do a1 0 nên có 9 cách chọn, từ a2 đến a6 có105 cách chọn, nếu tổng của 6 số đầu tiên chẵn thì có 5 cách chọn a7, nếu tổng của 6 số đầu lẻ có 5 cách chọn a7.
Vậy theo quy tắc nhân có: 9.105
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Bài tập 4.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng ba lần.
GV: Gợi ý: