BÀI TẬP ÁP DỤNG CHO BÀI TOÁN VỊ TRÍ CÂN BẰNG CỦA C- 123docz.net

II.4. BÀI TẬP VỊ TRÍ CÂN BẰNG CỦA CON LẮC LÒ XO THAY ĐỔI

II.4.4. BÀI TẬP ÁP DỤNG CHO BÀI TOÁN VỊ TRÍ CÂN BẰNG CỦA CON LẮC THAY ĐỔI

Câu 1 : Hai vật A, B dán liền nhau mB = 2mA = 200g, treo vào một lò xo có độ cứng k = 50N/m, có chiều dài tự nhiên 30cm. Nâng vật theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo có

chiều dài tự nhiên rồi buông nhẹ. Vật dao động điều hòa đến vị trí lực đàn hồi của lò xo có

độ lớn lớn nhất, vật B bị tách ra. Tính chiều dài ngắn nhất của lò xo A. 26m c B. 24 cm C. 30 cm D. 22 cm

Giải: Độ giãn của lò xo khi 2 vật ở VTCB O : ∆l0 = A =

k m mA + B

g = 50 10 . 3 ,

0 = 0,06 m = 6cm Độ giãn của lò xo khi vật mA ở VTCB mới O’

• M• O’0

• O

• M mA

mB I O1

O1 2+

m m1 2

k g

+ m gk1

O 1 2 +

1 2

m m gsin k

+ α m g1

k sin α

∆l’0 = k mA

g = 50 10 . 1 ,

0 = 0,02 m = 2cm Do đó O’O = ∆l0 - ∆l’0 = 4cm

Khi 2 vật ở vị trí M (Fđh = Fđhmax): vật mA có tọa độ x0

x0 = A’ = ∆l0 + O’O = 10 cm

Chiều dài ngắn nhất của lò xo khi tọa độ của mA là x = - A’ = - 10 cm lmin = l0 + ∆l’0 – A’ = 22 cm. Đáp án D

Câu 2: Con lắc lò xo thẳng đứng, lò xo có độ cứng k = 100N/m, vật nặng có khối lượng m

= 1kg. Nâng vật lên cho lò xo có chiều dài tự nhiên rồi thả nhẹ để con lắc dao động. Bỏ qua mọi lực cản. Khi vật m tới vị trí thấp nhất thì nó tự động được gắn thêm vật m0 = 500g một cách nhẹ nhàng. Chọn gốc thế năng là vị trí cân bằng. Lấy g = 10m/s2. Hỏi năng lượng dao động của hệ thay đổi một lượng bằng bao nhiêu?

A. Giảm 0,375J B. Tăng 0,125J C. Giảm 0,25J D. Tăng 0,25J Giải:

Độ biến dạng của lò xo khi chỉ có m là l1 mg 0,1m 10cm A1

∆ = k = = =

Tại vị trí thấp nhất vận tốc của m1 bằng 0, vật đang ở biên A1

Vị trí gắn m0 cũng có vận tốc bằng 0 nên đây là vị trí biên lúc sau của hệ hai vật (m+ m0)

Độ biến dạng của hệ lúc sau 2 0

(m m g) 0,15

l m

∆ = + =

Từ hình vẽ, ta có: O O1 2 =5cm⇒A2 =5cm Độ biến thiên cơ năng:

2 2 2 2

2 1 2 1

1 1

W W ( ) .100.(0,05 0,1 ) 0,375

2k A A 2 J

− = − = − = −

Câu 3 : Một lò xo nhẹ có độ cứng 100N/m, đầu trên gắn cố định, đầu dưới treo quả cầu nhỏ

có khối lượng m = 1kg sao cho vật có thể dao động không ma sát theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Lúc đầu dùng bàn tay đỡ m để lò xo không biến dạng. Sau đó cho bàn tay chuyển động thẳng đứng xuống dưới nhanh dần đều với gia tốc 2m/s2. Bỏ qua mọi

∆l1

-A1

m1 O2 A

∆l2

P r Pr0

Frủh

• M

• O m

• M

ma sát. Lấy gia tốc trọng trường g = 10m/s2. Khi m rời khỏi tay nó dao động điều hòa. Biên độ dao động điều hòa là

A. 1,5 cm B. 2 cm C. 6 cm D. 1,2 cm

Giải:Các lực tác dụng lên vật khi vật chưa rời tay F Fr uur ur ur= dh+ +P N

ma = - k∆l + mg - N ( N là phản lực của tay tác dụng lên vật ) Vật bắt đầu rời khổi tay khi N = 0

N = - k∆l + mg – ma = 0 ⇒

độ biến dạng của lò xo khi vật rời tay ∆l = k

a g m( − )

= 0,08 m = 8 cm Độ giãn của lò xo khi vật ở VTCB ∆l0 =

mg = 0,1 m = 10 cm

⇒Vật rời khỏi tay khi có li độ x = - 2cm Tần số góc của con lắc lò xo: ω =

k = 10 rad/s

Vận tốc của vật khi rời tay: v = 2aS = 2a∆l = 2.2.0,08= 0,32 m/s Biên độ dao động của vật:

A2 = x2 + 22 ω

v = 0,022 + 100

32 ,

0 = 0,0036 ⇒ A = 0,06 m = 6 cm. Đáp án C

Câu 4 : Con lắc lò xo thẳng đứng, lò xo có độ cứng k = 100N/m, vật nặng có khối lượng m = 1kg. Nâng vật lên cho lò xo có chiều dài tự nhiên rồi thả nhẹ để con lắc dao động. Bỏ qua mọi lực cản. Khi vật m tới vị trí thấp nhất thì nó tự động được gắn thêm vật m0 = 500g một cách nhẹ nhàng. Chọn gốc thế năng là vị trí cân bằng. Lấy g = 10m/s2. Hỏi năng lượng dao động của hệ thay đổi một lượng bằng bao nhiêu?

A. Giảm 0,25J B. Tăng 0,25J C. Tăng 0,125J D. Giảm 0,375J Giải: Gọi O là VTCB lúc đầu. Biên độ dao động của vât m

A = ∆l = k

mg = 0,1m = 10cm

Năng lượng dao động ban đầu của hê bằng W0 = Wd + Wt =

2 kA2

+ 0 = 2 kA2

= 0,5J

• M’

• O

• O’

• M (m + m0)

Khi vật ở điểm thấp nhất M vật có vận tốc bằng 0 Sau khi thêm vật m0 VTCB mới tại O’

Độ biến dạng của hệ sau khi gắn thêm vật m0

∆l’ = k

g m

m )

( + 0

= 0,15m = 15 cm

Tại M vật tốc của (m + m0) bằng 0 nên đây cũng là vị trí biên độ của hệ mới A’ = MO’ = 15 – 10 = 5 cm

Năng lượng dao động của hê mới bằng cơ W = Wd + Wt =

2 '2

kA + 0 = 0,125J

Độ biến thiên năng lượng ∆W = W0 – W = 0,375 J

Năng lượng dao động của hệ giảm một lượng bằng 0,375J. Chọn đáp án D

Câu 5: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò

xo với biên độ 4cm. Biết lò xo nhẹ có độ cứng 100N/m và lấy gia tốc trọng trường g = 10m/s2. Khi vật đến vị trí cao nhất, ta đặt nhẹ nhàng lên nó một gia trọng ∆m= 150g thì cả

hai cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động sau khi đặt là

A. 2,5 cm B. 2 cm C. 5,5 cm D. 7 cm

Giải: Gọi O và O’ là VTCB lúc đầu và lúc sau. M là vị trí khi đặt thên gia trọng thì độ giãn của lò xo khi vật ở VTCB lúc đầu: ∆l =

k mg

Lúc sau ∆l’ = k

g m

m )

( +∆

OO’ = ∆l’ - ∆l = k

g m

m )

( +∆

- k mg =

∆mg

= 100 10 . 15 ,

0 0,015m = 1,5cm Biên độ dao động sau khi đặt là

A’ = A + OO’ = 5,5 cm, Chọn đáp án C

Câu 6: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng , gồm vật nặng khối lượng m = 1,0 kg và lò xo có độ cứng k = 100N/m. Ban đầu vật nặng được đặt trên giá đỡ nằm ngang sao cho lò xo không biến dạng. Cho giá đỡ chuyển động thẳng đứng hướng xuống không vận tốc đầu với gia tốc a = g / 5 = 2,0m/s2. Sau khi rời khỏi giá đỡ con lắc

• O

• O’

• M m M

P Fđh

N ∆l0

∆l x

dao động điều hòa với biên độ

A. 5 cm. B. 4 cm. C. 10cm. D. 6cm

GIẢI:

* ω = 10rad/s ; ∆l0 = mg/k = 0,1m = 10cm

* Khi vật còn tiếp xúc với giá đỡ, lực tác dụng lên vật có : P, Fđh, N Khi lò xo giãn ta có : P – Fđh – N = ma

* Vật rời giá đỡ thì : N = 0 => P – Fđh = ma => Fđh = P - ma = 8N => độ giãn lò xo khi đó : ∆l = Fđh/k = 0,08m = 8cm

=> x = ∆l0 - ∆l = 2 cm

Vận tốc khi đó : v = 2a.∆l = 0,4 2 m/s = 40 2 cm/s

* A2 = x2 + v2/ω2 => A = 6cm

Câu 7: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng m=1kg, lò xo nhẹ có độ cứng k=100N/m. Đặt giá B nằm ngang đỡ vật m để lò xo có chiều dài tự nhiên. Cho giá B chuyển động đi xuống với gia tốc a=2m/s2 không vận tốc đầu. Chọn trục tọa độ thẳng đứng, chiều dương trên xuống, gốc tọa độ ở VTCB của vật, gốc thời gian lúc vật rời giá B. Phương trình dao động của vật là:

A.x=4cos(10t−1,91)(cm). B. x=6cos(10t−2π/3)(cm).

C. x=6cos(10t−1,91)(cm). D. x=4cos(10t+2π /3)(cm).

Giải

Khi ở VTCB lò xo dãn: ∆l0=mg/k=0,1m. Tần số dao động:

= k

ω =10rad/s.

Lực tác dụng vào vật khi chưa rời giá đỡ: P→+N→+F→dh =m→a ⇒ mg-N-k∆l=ma.

Khi vật rời giá N=0, gia tốc của vật a=2m/s2 ⇒mg k l ma− ∆ = ⇒ độ biến dạng lò xo khi đó là

k a g l = m( − )

∆ = 0,08m

Trong khoảng thời gian đó vật đi được quảng đường chính bằng∆l

⇒quãng đường = ∆l = 2

at2 m(g a) k

= − ⇒t = 0,283(s).

Quãng đường vật đi được đến khi rời giá là: S=

2 at2

=0,08m.

Tọa độ ban đầu của vật là x0=0,08-0,1=-0,02m=-2cm.

Vận tốc của vật khi rời giá có giá trị: v0=at=40 2cm/s.

Biên độ dao động là:A= 2 22 ω

x + v =6cm.

Tại t = 0 ta có x = - 2(+)⇒ 6cosϕ=-2⇒ ϕ = −1,91rad Phương trình dao động :x=6cos(10t-1,91)(cm).

Câu 8: Con lắc lò xo có độ cứng k = 100N/m quả cầu khối lượng m dao động điều hoà với biên độ A=5cm .Khi quả cầu đến vị trí thấp nhất ta nhẹ nhàng gắn thêm vật M=300g. sau đó 2 vật cùng dao động điều hoà với biên độ là?

Giải:

Vị trí cân bằng cũ là O. Khi đó độ giãn của lò xo ∆l0 =

mg . Vật m ở vị trí thấp nhất tai N cách O là A = NO = 5 cm Khi gắn thêm vật M , VTCB mới O’. Khi đó độ giãn của lò xo

∆l = (m+kM)g = ∆l0 + k

Mg = ∆l0 + 3 (cm)

Khi đó tọa độ của hệ ở điểm N là: x0 = A – 3 = 2cm

Tại N các vật có vận tốc bằng 0 nên biên độ mới A’ = x0 = 2 cm

Câu 9: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có k = 50N/m, vật nặng có khối lượng m1 = 300g, dưới nó treo thêm vật nặng m2 = 200g bằng dây không dãn. Nâng hệ vật để lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ để hệ vật chuyển động. Khi hệ vật qua vị trí cân bằng thì đốt dây nối giữa hai vật. Tỷ số giữa lực đàn hồi của lò xo và trọng lực của vật m1 khi vật m1 xuống thấp nhất có giá trị xấp xỉ bằng

A. 2 B. 1,25 C. 2,67 D. 2,45 Giải

Độ giãn của lò xo khi hệ hai vật đang ở VTCB O1 2+

O O’

M N

01 2

l +

∆ =

k g m

m )

( 1 + 2

= 0,1 m = 10cm = biên độ ban đầu.

Vận tốc của hệ tại vị trí cân bằng = 1 2 1 2 1

.A 50.10 100cm / s v

+ + 0,5

ω = = =

Sau khi đốt dây nối hai vật thì m1 dao đông điều hòa quanh VTCB mới O khi đó độ giãn của lò xo ∆l1 =

k g mA

= 0,06 m = 6 cm.

OO1 2+ = ∆l01 2+ - ∆l1 = 0,04m = 4 cm = tọa độ x của vật m1 khi đứt dây

Tại vị trí dây nối đứt thì vận tốc của m1bằng 100cm/s, biên độ củam1lúc này là

2 2

2 1

v 100

A x 4 8,7cm

50 0,3

= + = + =

Tại vị trí thấp nhất tỉ số giữa lực đàn hồi và trọng lực của m1là P

Fdh

= 1

k( l A) m g

∆ + =

10 . 3 . 0

147 , 0 .

50 = 2,45. Chọn đáp án D

Câu 10: Một vật có khối lượng M =250g, đang cân bằng khi treo dưới một lò xo có độ cứng k=50 /N m. Người ta đặt nhẹ nhàng lên vật treo một vật có khối lượng m thì cả hai bắt đầu dao động điều hòa trên phương thẳng đứng và khi cách vị trí ban đầu 2cm

thì chúng có tốc độ 40 cm/s. Lấy g≈10 /m s2. Khối lượng m bằng :

A. 100g. B. 150g. C. 200g. D.

250g GIẢI:

Ban đầu vật ở vị trícân bằng ở O, lúc này lò xo giãn: m cm k

l = Mg =0,05 =5

∆ O’ là VTCB của hệ (M+m): ( )

k g m l = M +

∆ '

Khi đặt vật m nhẹ nhàng lên M, vật ở vị trí Ocách cân bằng OO'= biên độ dao động của hệ lúc này ( vì vận tốc tại đây bằng 0)

( ) m ( )m

A 0,05 5

50 10 . m l 0,25

l'-

O'=∆ ∆ = + − =

= .

Trong quá trình dao động, bảo toàn cơ năng cho hai vị trí O và M:

O1 2+

( ) 2 ( )2

2 M

O '

2 1 2

1 2

W 1

W = ⇔ kA = M +mvM + k O M (OM A OM m ( )m

5 1 ,

' = − = −0 )

( ) 2 2

5 1 , . 0 50 2. 4 1 , 0 25 , 2 0 1 . 5

50 2.

1 



 

 +  − +

 =



 



⇔  m

m m

g kg

m=0,25 =250

⇒ CHỌN ĐÁP ÁN D

Câu 11: Một vật dao động điều hòa với phương trình x=6cos(2π −t π)cm. Tại thời điểm pha của dao động bằng 16 lần độ biến thiên pha trong một chu kỳ, tốc độ của vật bằng

A. 6π cm/s. B. 12 3π cm/s. C. 6 3π cm/s. D. 12π cm/s. Giải: Độ biến thiên pha trong một chu kỳ bằng 2π

Khi pha 2πt – π = 2π/6 ⇒ t = 2/3 (s)

Vận tốc của vật v = x’ = - 12πsin(2πt – π) (cm/s)

Tốc độ của vật khi t = 2/3 (s) là 12πsin(π/3) = 6π 3 (cm/s). Chọn đáp án C

Câu 12: Trong thang máy treo một con lắc lò xo có độ cứng 25N/m, vật nặng có khối lượng 400 g. Khi thang máy đứng yên ta cho con lắc dao động điều hoà, chiều dài con lắc thay đổi từ 32cm đến 48cm. Tại thời điểm mà vật ở vị trí thấp nhất thì cho thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc a = g/10. Lấy g = π2 = 10 m/s2. Biên độ dao động của vật trong trường hợp này là

A. 17 cm. B. 19,2 cm. C. 8,5 cm. D. 9,6 cm.

Biên độ dao động con lắc A l l 8cm 2

32 48 2

min

max − = − =

Độ biến dạng ở VTCB m cm

l mg 0,16 16 25

10 . 4 ,

0 = =

∆

Chiều dài ban đầu lmax =l0 +∆l+A→l0 =lmax−A−∆l=48−8−16=24cm

Tại thời điểm mà vật ở vị trí thấp nhất thì cho thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc a = g/10 thì con lắc chịu tác dụng lực quán tính Fqt =ma=0,4.1=0,4N hướng lên. Lực này sẽ

gây ra biến dạng thêm cho vật đoạn m cm

x Fqt 0,016 1,6 25

4 ,

0 = =

Vậy sau đó vật dao động biên độ 8+1,6=9,6cm