Công cụ nghiên cứu

Chương 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU

3.3. Công cụ nghiên cứu

Trong nghiên cứu này, chúng tôi đã sử dụng bảng hỏi dành cho GV và phiếu học tập dành cho HS.

3.3.1. Nội dung bảng hỏi dành cho giáo viên

Chúng tôi chọn cách phát bảng hỏi thăm dò GV trước khi tiến hành thực nghiệm trên HS. Kết quả thu được đem lại cho chúng tôi một vài thông tin sơ bộ về tình hình dạy và học đang diễn ra tại trường, để từ đây có thể dự liệu trước những khó khăn khi làm việc với HS, cũng như đưa ra những cách xử lí thích hợp. Hơn nữa, những thông tin này cũng là cơ sở giúp chúng tôi trong việc lí giải kết quả bài làm của HS.

3.3.2. Nội dung các phiếu học tập dành cho học sinh Phiếu học tập số 1.

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của cạnh BC. Tìm công thức liên hệ giữa độ dài trung tuyến AM với độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Phân tích tiên nghiệm: Đây là bài toán mà HS đã được học vào đầu học kì 2 của lớp 10. Mục đích của nhiệm vụ này không chỉ thăm dò HS giải quyết bài toán như thế nào, mà chúng tôi còn khuyến khích HS có thể huy động kiến thức theo nhiều hướng khác nhau để thực hiện nhiệm vụ. HS có thể thực hiện nhiệm vụ này theo các cách sau:

 Sử dụng các phép biến đổi véc tơ, các tính chất về tích vô hướng để giải.

Cách 1 (theo gợi ý của sách giáo khoa).

Ta có: AB AMMBAB2AM2MB22AM MB. . AC AMMCAC2 AM2MC22AM MC. .

Từ đó suy ra: 2 2 2 2 2 2 1( 2 2) 2

2 2 4

BC BC

AB AC  AM  AM  AB AC  . Cách 2 (sử dụng biểu thức véc tơ về trung điểm đoạn thẳng).

Sử dụng biểu thức véc tơ của trung điểm đoạn thẳng 2AM ABAC. Bình phương vô hướng ta được: 4AM2  AB2AC22AB AC. .

M A

B C

50

Cuối cùng sử dụng tính chất của tích vô hướng . 1( 2 2 2)

AB AC2 AB AC BC ta sẽ tìm được công thức như trên.

Cách 3 (phân tích véc tơ AM theo các véc tơ thích hợp).

Phân tích 1 1 1

2 2 2

AM  ABBM  AB BC AB AC, bình phương vô hướng và sử dụng tính chất . 1( 2 2 2)

AB AC2 AB AC BC sẽ cho ta công thức.

Cách giải này có thể sử dụng khi mở rộng bài toán ở các phiếu học tập số 4 và số 6. Ngoài những cách trên còn có một số cách phân tích véc tơ khác cũng tìm được công thức như trên

 Sử dụng định lí hàm số cosin để giải.

Cách 4 (sử dụng định lí hàm số cosin trong tam giác).

Áp dụng định lí cosin cho ∆ABM ta có: AM2 = AB2 + BM2 – 2AB.BM.cosB

Thay 1

BM 2BC và

2 2 2

cos 2. .

AB BC AC

B AB BC

 

 , tính toán rút gọn ta sẽ có công thức cần tìm.

 Sử dụng một tính chất của hình bình hành đã học ở trung học cơ sở: “Trong một hình bình hành, tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương bốn cạnh của nó” để giải bài toán trên.

Cách 5 (sử dụng tính chất của hình bình hành).

Ta có: BC2 + (2AM)2 = 2(AB2 + AC2), từ đó rút ra công thức.

Khi thực hiện nhiệm vụ này, học sinh sẽ có xu hướng sử dụng gợi ý ở sách giáo khoa để giải. Tuy nhiên học sinh có thể gặp một số khó khăn trong việc huy động kiến thức để giải bài toán theo những cách khác.

Phiếu học tập số 2.

1) Hãy tìm một khái niệm trong hình học phẳng mà theo em là tương tự với khái niệm tứ diện trong không gian? Tại sao em lại nghĩ như vậy?

2) Theo em khái niệm trọng tâm của tam giác tương tự với khái niệm nào mà em đã từng học? Tại sao em lại nghĩ như vậy?

D M A

B C

51

Phân tích tiên nghiệm: Mục đích của nhiệm vụ này nhằm giúp HS kết nối giữa một số đối tượng trong hình học phẳng tương thích với một số đối tượng trong HHKG. Từ đó giúp HS có thể mở rộng bài toán hình học phẳng ở phiếu học tập số 1 thành bài toán tương tự trong HHKG ở nhiệm vụ 4.

Phiếu học tập số 3.

Sau khi thảo luận, chúng ta đã biết được rằng có một số khái niệm trong hình học không gian là tương tự với một số khái niệm trong hình học phẳng. Cụ thể ở đây là: khái niệm tứ diện tương tự với khái niệm tam giác, khái niệm trọng tâm tam giác tương tự với khái niệm trọng tâm của tứ diện và khái niệm trung điểm đoạn thẳng… Do đó, một số tính chất trong hình học không gian cũng được phát biểu tương tự với một số tính chất trong hình học phẳng.

Từ đó, em hãy thử đưa ra một bài toán trong hình học không gian mà theo em là tương tự với bài toán hình học phẳng trong phiếu học tập số 1?

Phân tích tiên nghiệm: Mục đích của nhiệm vụ này là nghiên cứu khả năng đặt vấn đề của HS. Xem xét khả năng tự đặt vấn đề bằng việc hình thành bài toán mới của HS trên cơ sở của một bài toán gốc. Với loại nhiệm vụ này có thể HS sẽ gặp rất nhiều khó khăn, bởi lẽ theo chúng tôi đây là loại nhiệm vụ không quen thuộc đối với HS trong việc học tập Hình học ở trường phổ thông. Khó khăn này có thể do các nguyên nhân như:

 Không chuyển được đối tượng tam giác trong hình học phẳng sang đối tượng tứ diện trong HHKG.

 Không chuyển được đối tượng đường trung tuyến của tam giác sang đối tượng đường trọng tuyến của tứ diện.

Phiếu học tập số 4. (phát triển nhiệm vụ 1 trong HHKG)

Cho tứ diện ABCD và A1 là trọng tâm của tam giác BCD.

1) Em hãy dự đoán công thức tính độ dài đoạn AA1 theo các cạnh của tứ diện?

Giải thích tại sao mà em nghĩ dự đoán của mình là đúng?

2) Hãy tìm cách thuyết phục cả lớp rằng dự đoán của em đưa ra là đúng?

A1

M B

D

C A

52

Phân tích tiên nghiệm: Mục đích của nhiệm vụ 4.1 là nghiên cứu khả năng dự đoán kết quả của bài toán thông qua phép tương tự. Mặt khác chúng tôi nghiên cứu khả năng huy động kiến thức để GQVĐ theo nhiều cách khác nhau ở nhiệm vụ 4.2 của nhiệm vụ này.

Nhiệm vụ 4.1. Theo chúng tôi, nhiệm vụ 4.1 là loại nhiệm vụ không quen thuộc với HS. Mặc dù dự đoán có vai trò quan trọng trong việc phát triển NL toán học cho HS, tuy nhiên loại nhiệm vụ được HS thực hiện trong việc học hình học ở trường phổ thông chủ yếu là chứng minh một kết quả đã cho sẵn. Điều này sẽ hạn chế rất lớn trong việc phát triển NL dự đoán của HS. Một vài kết quả HS có thể đưa ra là:

+ Phần lớn HS không dự đoán được kết quả của nhiệm vụ 4.1.

+ Một số HS đưa ra được dự đoán đúng nhưng không đưa ra được lời giải thích hoặc lời giải thích thiếu chính xác.

2 2 2 2 2 2

1

1 1

( ) (BC BD CD )

3 9

AA  AB AC AD   

+ Số ít HS đưa ra được dự đoán đúng và lời giải thích hợp lí. Lời giải thích có thể là: Từ công thức “bình phương độ dài trung tuyến bằng (tổng bình phương các cạnh bên / số cạnh bên) – (bình phương cạnh đáy / bình phương số cạnh bên)”

bằng phép tương tự ta có công thức tính độ dài đường trọng tuyến.

Nhiệm vụ 4.2. Ở nhiệm vụ 4.2, HS có thể gặp khó khăn khi yêu cầu của nhiệm vụ này không tương thích với công thức ở nhiệm vụ ở phiếu học tập số 1. HS có thể thực hiện nhiệm vụ theo các cách sau đây:

Cách 1 (áp dụng trực tiếp công thức trung tuyến của tam giác).

Gọi I là trung điểm của BA1. Áp dụng công thức trung tuyến cho các tam giác ∆AIM, ∆ABA1, ∆BCD,

∆ACD. Ta có:

2

2 2 2

1

1( )

2 4

AA  AI AM IM

2 2

2 2 1 2

1

1 1 1

= . ( )

2 2 4 2 4

BA IM

AB AA AM

    

 

 

2 2 2 2

1

3 1 1 1

4AA 4 AB 2AM 6BM

   

A1

I

M

B D

C A

53

2 2

2 2 2 2 2 2

1

1 2 1 2 1

( ) (B )

3 3 2 4 9 2 4

CD CD

AA AB  AC AD   C BD 

          

   

Từ đó rút ra công thức tính độ dài đường trọng tuyến AA1. Cách 2 (sử dụng biểu thức véc tơ về trọng tâm tam giác).

Ta có: 3AA1 ABACAD. Bình phương vô hướng ta được:

9AA12  AB2AC2AD22.AB AC. 2.AC AD. 2.AB AD. Từ đây áp dụng tính chất . 1( 2 2 2)

AB AC 2 AB AC BC cho các tích vô hướng . , . , .

AB AC AC AD AB AD, tính toán và rút gọn ta tìm được công thức.

Cách 3 (phân tích véc tơ AA1 theo các véc tơ thích hợp).

Phân tích 1 1 2 1( )

3 3

AA  ABBA  AB BM AB BCBD = 1( ) 1( ) 1 1 1

3 3 3 3 3

AB ACAB  ADAB  AB AC AD. Từ đây, bình phương vô hướng và áp dụng . 1( 2 2 2)

AB AC 2 AB AC BC cho các tích vô hướng AB AC AC AD AB AD. , . , . ta tìm được công thức.

Cách giải 2 và cách giải 3 của nhiệm vụ này có sự tương tự về phương pháp giải với cách 2 và cách 3 của nhiệm vụ 1. Ngoài ba phương án giải được nêu ở trên, HS có thể sử dụng những cách phân tích véc tơ khác cũng sẽ tìm được công thức.

Phiếu học tập số 5.

Em hãy thay đổi một hoặc một số giả thiết của bài toán trong phiếu học tập số 4 để mở rộng bài toán mà theo em là sẽ có cách giải tương tự.

Phân tích tiên nghiệm: Tương tự với nhiệm vụ 3, mục đích của nhiệm vụ này là nghiên cứu khả năng tự phát hiện vấn đề của HS thông qua việc mở rộng bài toán ở nhiệm vụ 4, sau khi các em đã có một chút kinh nghiệm về vấn đề này ở nhiệm vụ 3. HS có thể mở rộng bài toán ở nhiệm vụ 4 theo các hướng sau:

+ Khảo sát một vị trí cụ thể của điểm A1 hoặc điểm M để tạo ra bài toán mới.

+ Khảo sát một vị trí bất kỳ của điểm A1 hoặc điểm M để tạo ra bài toán mới.

54

+ Khảo sát vị trí bất kỳ của cả hai điểm A1 và điểm M để tạo ra bài toán tổng quát nhất.

Phiếu học tập số 6. (khái quát hóa bài toán trong phiếu học tập số 4) Cho tứ diện ABCD có M là một điểm trên đoạn CD

và A1 là một điểm trên đoạn BM sao cho CM = k.CD, BA1

= l.BM (0 < k, l ≤ 1). Tìm mối liên hệ giữa độ dài đoạn AA1 với độ dài các cạnh của tứ diện và các số k, l.

Phân tích tiên nghiệm: Mục đích của nhiệm vụ này là xem xét khả năng xác định mâu thuẫn và khả năng huy động kiến thức để giải bài toán. HS có thể sử dụng các phương án giải sau đây:

+ HS có thể phát hiện ra nhiệm vụ này sử dụng bài toán mở rộng của nhiệm vụ 1 trong hình học phẳng: Cho ∆ABC và điểm M thuộc đoạn BC sao cho BM = k.BC. Tìm công thức tính độ dài đoạn AM theo độ dài các cạnh của ∆ABC.

Ta có: AM  (1 k AB) k AC

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

(1 ) 2 (1 ). .

= (1 ) (1 )( )

= (1 ) (1 ) BC

AM k AB k AC k k AB AC

k AB k AC k k AB AC BC k AB kAC k k

     

     

   

Áp dụng công thức này cho các tam giác ∆ABM, ∆ACD để tính AA1 và AM.

Từ đó tìm được công thức tính AA1 theo các cạnh của tứ diện ABCD. Cụ thể ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

1 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 )

AA  l AB l k AC lkAD l l k BC lk l BD l k k CD + Có thể HS không phát hiện ra nhiệm vụ này sử dụng bài toán mở rộng của nhiệm vụ 1 nêu ở trên, nhưng trong quá trình giải đã sử dụng cách làm trên. Với cách làm này, HS sẽ trình bày dài hơn và có thể dẫn đến những tính toán nhầm lẫn.