Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI TTCĐ VÀ MÁY TÍNH BỎ TÚI (MTBT)
2.1. Mối quan hệ thể chế với TTCĐ
2.1.1. Tình huống đưa vào TTCĐ
Xét chương trình, SGV, SGK, sách bài tập Đại số và Giải tích 11, bộ 2 SGK Đại số và Giải tích 11 (bộ 2) gồm 5 chương. Chương 4 có tên “Giới hạn”
gồm 3 bài:
§1. Giới hạn của dãy số §2. Giới hạn của hàm số §3. Hàm số liên tục.
Phần III của bài “Hàm số liên tục” có tên là “Một số định lý cơ bản”. Ở phần này, SGK trình bày Định lý 3 ở trang 162 như sau: “Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0”.
Sau khi minh họa bằng đồ thị định lý này, SGK nêu Áp dụng ở trang 162-163 nhử sau:
“Áp dụng: Chứng minh phương trình có nghiệm trong một khoảng.
Có thể phát biểu Định lý 3 ở trên dưới dạng khác như sau:
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a;b).
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình x3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghieọm.
Giải. Xét hàm số f(x) = x3 + 2x – 5.
Ta có f(0) = -5 và f(2) = 7. Do đó, f(0).f(2) < 0 (1) Mặt khác, vì f(x) là hàm số đa thức nên liên tục trên ℜ, do đó nó liên tục trên đoạn [0;2]. (2) Từ (1) và (2) suy ra, phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0∈ (0;2).
Chú ý. Nếu nhận xét thêm rằng f(1).f(2) = -14 < 0 thì có thể kết luận rằng phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (1;2) ⊂ (0;2).”
Nhận xét
Chúng tôi thấy xuất hiện trong đoạn trích trên kiểu nhiệm vụ T1 “Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình”. Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này được sách bài tập nêu ở trang 184: “Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm, cần tìm hai số a và b thỏa mãn f(a).f(b) < 0 và hàm số f(x) liên tục trên [a;b]” (τ1). Kỹ thuật τ1 được giải thích bởi yếu tố công nghệ là định lý 3.
Bài tập 13 ở trang 167 của SGK yêu cầu: “Chứng minh phương trình
5 4
3 5 2 0
x − x + x− = có ít nhất 3 nghiệm nằm trong khoảng (-2;5)”. Như vậy, với kiểu nhiệm vụ T1 “Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình”, SGK đề cập hai trường hợp: chứng minh phương trình có nghiệm và chứng minh phương trình có nghiệm trong khoảng (a;b).
Ngay sau mục Áp dụng, SGK nêu Hoạt động 3 như sau: “Hãy tìm hai số a, b thỏa mãn 1 < a < b < 2, sao cho phương trình trong ví dụ 3 ở trên có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).” (tr.163). Chúng tôi thấy xuất hiện ngầm ẩn trong hoạt động 3 kiểu nhiệm vụ T2 “Tìm khoảng mới chứa nghiệm của phương trình và nằm trong khoảng chứa nghiệm trước đó”. Trong những phân tích về sau, chúng tôi quan tâm đến việc tìm kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này.
Ngay sau Hoạt động 3, SGK trình bày bài đọc thêm ở trang 163-164 như sau:
“TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI
Trong ví dụ 3 ở phần III, §3, ta đã chứng minh được rằng phương trình
3 2 5 0
x + x− = có ít nhất một nghiệm x0 thuộc khoảng (0;2). Giả sử nghiệm đó là duy nhất.
Bằng cách áp dụng liên tiếp Định lý 3, ta có thể tìm được các giá trị gần đúng của nghiệm x0. Ta làm như sau:
- Bước 1: Lấy điểm giữa của đoạn [0;2], đó là 1. Ta có f(1) = -2. So sánh dấu của f(1) và dấu của giá trị hàm số tại hai đầu mút là f(0) và f(2), ta thấy: f(1).f(2) = -2.7 < 0. Do đó phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (1;2). Như vậy, x0∈ (1;2).
- Bước 2: Lấy điểm giữa của đoạn [1;2], đó là 1 2 2
+ = 1,5. Ta có (1, 5) 1, 375
f = và f(1).f(1,5) = -2.1,375 < 0. Do đó f(x) = 0 có nghiệm thuộc (1;1,5). Như vậy, x0∈ (1;1,5).
- Bước 3: Lấy điểm giữa của đoạn [1;1,5], đó là 1 1, 5 2
+ = 1,25. Ta có (1, 25) 0, 546875
f = − và f(1,25).f(1,5) < 0. Do đó f(x) = 0 có nghiệm thuộc (1,25;1,5). Như vậy, x0∈ (1,25;1,5).
Bảng sau đây trình bày kết quả tính lần lượt của các bước 4, 5, 6, 7.
a b
2
a b+ f(a) f(b) f(
2
a b+ ) Nghieọm x
0
1,25 1,5 1,375 -0,546875 1,375 0,349609375 1,25 < x0 < 1,375 1,25 1,375 1,3125 -0,546875 0,349609375 -0,114013671875 1,3125 < x0 < 1,375 1,3125 1,375 1,34375 -0,114013671875 0,349609375 0,113861083984375 1,3125 < x0 < 1,34375 1,3125 1,34375 1,328125 -0,114013671875 0,113861083984375 -0,001049041748046875 1,328125< x0 < 1,34375
Nếu dừng lại ở bước 4, ta có 1,25 < x0 < 1,375. Như vậy, có thể có được các giá trị gần đúng của nghiệm x0. Chẳng hạn 1, 25 1, 375
2
+ là một giá trị gần đúng của x0 với sai số tuyệt đối ∆ < |1,375 – 1,25| = 0,125.
Khi dừng ở bước 7, ta có 1,328125 < x0 < 1,34375. Có thể lấy
0 1, 3359375
x ≈ với sai số tuyệt đối ∆ < |1,34375 – 1,328125| = 0,015625.
Nếu tiếp tục quy trình trên, ta tìm được những giá trị gần đúng của x0 với sai số ngày càng bé.
CHYÙ YÙ
Trong quá trình tính toán, nếu có số 2
a b+ nào đó mà f(
2
a b+ ) = 0 thì kết luận nghiệm là x0 =
2 a b+ .
Việc tìm giá trị gần đúng của nghiệm như trên sẽ dễ dàng hơn nếu sử dụng MTBT. Đặc biệt, MTBT có chức năng lập trình hay máy vi tính có thể cho phép tính một cách tự động và nhanh chóng giá trị gần đúng của nghiệm với sai số ∆ rất bé.”
Nhận xét
1) Trong bài đọc thêm, tác giả không dùng thuật ngữ “thuật toán” mà dùng thuật ngữ “phương pháp”, “quy trình”. Số bước trong bài đọc thêm không có điều kiện dừng (tác giả không nêu trước sai số). Chính vì không thỏa mãn đặc trưng hữu hạn nên TTCĐ trong bài đọc thêm lấy nghĩa là phương pháp, quy trình.
2) Mỗi bước trong bài đọc thêm là một mẫu ngầm ẩn của kiểu nhiệm vụ T2
“Tìm khoảng mới chứa nghiệm của phương trình và nằm trong khoảng chứa nghiệm trước đó” (T2 xuất hiện ngầm ẩn trong hoạt động 3). Xét phương trình có dạng f(x) = 0, ký hiệu khoảng chứa nghiệm của phương trình là (a;b). Theo cách trình bày của SGK, ta có thể mô tả kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T2 như sau:
τ2: Chọn c = 2
a b+ , tính f(c); so sánh dấu của f(c) với dấu của f(a) và f(b) rồi kết luận.
Yếu tố công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ2 là định lý 3.
3) Chúng tôi thấy xuất hiện ở bài đọc thêm kiểu nhiệm vụ T3 “Tính gần đúng nghiệm của phương trình”. Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này là TTCĐ (τ3).
Các kiểu nhiệm vụ con của T3 là T2. Yếu tố công nghệ giải thích cho TTCĐ là ủũnh lyự 3.
4) Kiểu nhiệm vụ T3 được xác định rõ ràng trong bài đọc thêm. Lý do xuất hiện T3 có thể là mục tiêu của chương trình môn toán: “Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học đại học, cao đẳng, […].” (Chương trình (thí điểm) trung học phổ thông môn toán, tr.2). Chúng tôi không tìm thấy bài tập yêu cầu tính gần đúng nghiệm của phương trình bằng TTCĐ. Có thể do TTCĐ được đưa vào bài đọc thêm nên không có bài tập áp dụng.
5) Trong ví dụ 3 và bài đọc thêm, SGK xét cùng một phương trình đa thức là
3 2 5 0
x + x− = . Đa thức đã cho có bậc 3, hệ số nguyên, có nghiệm trên khoảng (0;2) và không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy, TTCĐ chỉ tìm được giá trị gần đúng của nghiệm. Dùng MTBT Casio fx-570 MS để tìm giá trị gần đúng của nghiệm, chúng tôi tìm được nghiệm x0 ≈ 1,328268856. Phương trình x3+2x− =5 0 có một và chỉ một nghiệm trên ℜ.
6) Trong bài thêm, tác giả nêu tường minh số nghiệm của phương trình trên khoảng (0;2): “Giả sử nghiệm đó là duy nhất”. Ngoài ra, thuật ngữ “nghiệm”
luôn được dùng để chỉ “nghiệm đúng”. Tác giả dùng thuật ngữ “giá trị gần đúng của nghiệm” để chỉ “nghiệm gần đúng”.
7) Để tính giá trị hàm số tại các giá trị khác nhau của biến số trong bài đọc thêm, có thể tác giả đã sử dụng MTBT hoặc MVT. Thật vậy, trong bảng kết quả ở trang 164, ứng với giá trị
2
a+b = 1,328125 (có 6 chữ số ở phần thập phân), SGK cho giá trị f(
2
a+b) tương ứng là -0,001049041748046875 (có 18 chữ số ở phần thập phân). Nếu không dùng MTBT hoặc MVT thì làm sao tác giả tính
được kết quả là số có 18 chữ số ở phần thập phân? Như vậy, TTCĐ có quan hệ dinh dưỡng với máy tính. Cuối bài đọc thêm, tác giả nói đến MTBT có chức năng lập trình và MVT.
8) Tác giả lấy giá trị gần đúng của nghiệm là trung điểm của khoảng chứa nghiệm cuối cùng. Tác giả không nêu trước sai số. SGK chọn x0 ≈1, 3359375 và khẳng định sai số tuyệt đối ∆ <0, 015626. Thực ra, ta có thể khẳng định sai số tuyệt đối ∆ < 10-2. Thật vậy, khi dừng ở bước 7, ta có 1, 328125<x0 <1, 34375 và
1, 328125 1, 34375 1, 3359375
2
= + . Duứng phieỏm Ans treõn MTBT Casio fx-570 MS chúng tôi có f(1,3359375) ≈ 0,056161403. Như vậy f(1,3359375) ≠ 0. Do đó, nếu lấy 1,3359375 làm giá trị gần đúng của x0 như SGK thì sai số tuyệt đối
1, 328125 1, 34375 2
∆ < − hay ∆ < 0,0078125 < 10-2 .
Xem xét các nội dung có liên quan đến sai số tuyệt đối ở SGK Đại số 10 (bộ 2), chúng tôi thấy SGK này chỉ trình bày các kết quả dưới dạng số thập phân. Có thể đây là lý do mà tác giả bài đọc thêm không viết sai số tuyệt đối ∆ < 10-2. 9) Tác giả nêu chú ý: “Trong quá trình tính toán, nếu có số
2
a b+ nào đó mà f( 2
a b+ ) = 0 thì kết luận nghiệm là x0 = 2
a b+ ”. Như vậy, “Tính gần đúng nghiệm của phương trình” là tìm “nghiệm đúng” hoặc giá trị gần đúng của nghiệm.
10) Trong bảng kết quả ở trang 164, tác giả đã ngầm ẩn sử dụng phép gán trong tin học. Thật vậy, tác giả đã dùng a và b như các biến để gán những giá trị khác nhau. Chú ý cuối bài đọc thêm (“Việc tìm giá trị gần đúng…”) thể hiện ý tưởng nối khớp giữa toán học và tin học thông qua TTCĐ.
• Các nhận xét 2) và 3) trên đây cho phép khẳng định vai trò “cầu nối” giữa phần bắt buộc và bài đọc thêm của hoạt động 3.
• Phân tích phần III của bài “Hàm số liên tục” và bài đọc thêm trên đây cho thấy sự tồn tại của một TCTH địa phương xoay quanh vấn đề nghiệm của phương trình. Nó gồm 3 kiểu nhiệm vụ: T1 “Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình”, T2 “Tìm khoảng mới chứa nghiệm của phương trình và nằm trong khoảng chứa nghiệm trước đó” và T3 “Tính gần đúng nghiệm của phương trình”.
TCTH địa phương này có yếu tố công nghệ-lý thuyết là định lý 3. Ta sẽ gặp lại TCTH này ở mục 2.1.2.
Trong bài đọc thêm, việc tính gần đúng nghiệm bắt đầu từ khoảng chứa nghiệm (0;2). Phải chăng việc chọn khoảng chứa nghiệm đầu tiên này tạo thuận lợi cho việc “lấy trung điểm” - chiến lược “chia đôi”? Điều này dẫn chúng tôi đến giả thuyết nghiên cứu sau đây về TTCĐ:
Trong tình huống tính gần đúng nghiệm của phương trình, việc lựa chọn các giá trị của biến didactique làm tăng khả năng xuất hiện TTCĐ.
Xét SGK bộ 1
• Trong bài “Hàm số liên tục”, SGK Đại số và Giải tích 11, bộ 1 trình bày Định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục như sau: “Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu f(a) ≠ f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = M.” (tr.190). SGK Đại số và Giải tích 11, bộ 2 không trình bày định lý này. Sau khi trình bày định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, SGK Đại số và Giải tích 11, bộ 1 trình bày Hệ quả như sau: “Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈( ; )a b sao cho f(c) = 0.” (tr.190). Hệ quả này chính là định lý 3 trong bài
“Hàm số liên tục” của SGK Đại số và Giải tích 11, bộ 2. Sau khi minh họa ý nghĩa hình học của hệ quả, SGK Đại số và Giải tích 11, bộ 1 đưa ra ví dụ: “Cho hàm số P(x) = x3 + x –1. Áp dụng hệ quả, chứng minh rằng phương trình P(x) = 0 có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.” (tr.191). Ví dụ này là một mẫu của kiểu nhiệm vụ “Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình”.
• Sau phần “Câu hỏi và bài tập” của bài “Hàm số liên tục”, SGK Đại số và Giải tích 11, bộ 1 trình bày bài đọc thêm “Tìm giá trị gần đúng nghiệm của phương trình” ở trang 192-195. Sau đây, chúng tôi sẽ phân tích bài đọc thêm này trong sự so sánh với bài đọc thêm của SGK Đại số và Giải tích 11, bộ 2.
Phần đầu của bài đọc thêm được viết như sau:
“Ta sẽ đưa ra một kỹ thuật tìm giá trị gần đúng nghiệm của một phương trình nhờ áp dụng Hệ quả của Định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tuùc.
Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a;b] và f(a), f(b) trái dấu. Khi đó, khoảng (a;b) chứa ít nhất một nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Gọi m là trung điểm của đoạn [a;b], tức là
2 m= a b+ . 1. Nếu f(m) = 0 thì m là một nghiệm của phương trình.
2. Nếu f(m) ≠ 0 thì f(m) trái dấu với f(a) hoặc trái dấu với f(b).
a) Nếu f(m) trái dấu với f(a) thì nghiệm nằm trong khoảng (a;m).
b) Nếu f(m) trái dấu với f(b) thì nghiệm nằm trong khoảng (m;b).
Giả sử xảy ra trường hợp a). Gọi m1 là trung điểm của đoạn [a;m], tức là
1 2
= a+m
m . Ta lại xét giá trị f(m1) như ban đầu.
Tiếp tục quá trình đó, sau một số hữu hạn bước, hoặc tìm được nghiệm của phương trình hoặc giá trị gần đúng của nghiệm với độ chính xác mong muốn vì đoạn chứa nghiệm ngày càng thắt lại.”
Nhận xét
1) Trong bài đọc thêm, SGK Đại số và Giải tích 11, bộ 1 không dùng thuật ngữ “thuật toán” mà dùng thuật ngữ “kỹ thuật”: “Ta sẽ đưa ra một kỹ thuật…”.
TTCĐ trong quyển sách này lấy nghĩa là kỹ thuật.
2) Trong hai bài đọc thêm, thuật ngữ “nghiệm” luôn được dùng để chỉ
“nghiệm đúng”; thuật ngữ “giá trị gần đúng của nghiệm” được dùng để chỉ
“nghiệm gần đúng”.
3) SGK Đại số và Giải tích 11, bộ 1 không đưa ra hoạt động để làm “cầu nối”
đến bài đọc thêm như SGK Đại số và Giải tích 11, bộ 2.
Ở phần sau của bài đọc thêm, SGK Đại số và Giải tích 11, bộ 1 trình bày hai ví dụ. Hai ví dụ này đều xét đến phương trình đa thức. Tuy nhiên, khác với SGK Đại số và Giải tích 11, bộ 2, hai khoảng chứa nghiệm ban đầu trong hai ví dụ này đều có độ dài bằng 1 (khoảng (-2;-1) và khoảng (1;2)).
• Trong bài đọc thêm “Tìm giá trị gần đúng nghiệm của phương trình bằng phương pháp kẹp dần” ở trang 61-62, SGK Giải tích 12, bộ 1 giới thiệu thuật toán chia 10 để tìm giá trị gần đúng của nghiệm lớn nhất của phương trình f(x) = 0 với f(x) = x3 –3x – 1. Sau khi chỉ ra nghiệm lớn nhất của phương trình f(x) = 0 là x=c với c ∈ (1;2) và mô tả thuật toán chia 10 để tìm giá trị gần đúng của c, tác giả viết: “Tuy nhiên, trong thực hành để nhận được một khoảng có độ dài 1
10 chứa c, người ta thường không tính chín giá trị liên tiếp f(1,1), f(1,2),…, f(1,9), mà tính f(1,5) để xem c ∈ (1;1,5) hay c∈(1, 5; 2).” (tr.62). Như vậy, theo cách trình bày của SGK, TTCĐ là có liên quan đến thuật toán chia 10. Chúng tôi không tìm thấy thuật toán chia 10 ở SGK bộ 2.