3.2. Phaõn tớch tieõn nghieọm
3.3.3. Tính thỏa đáng của giả thuyết nghiên cứu
Chúng tôi phân tích sản phẩm của từng nhóm khi giải quyết các câu 3, 4 và 5 để kiểm tra tính thỏa đáng của giả thuyết nghiên cứu: Trong tình huống tính gần đúng nghiệm của phương trình, việc lựa chọn các giá trị của biến didactique làm tăng khả năng xuất hiện TTCĐ.
Bảng thống kê các câu trả lời của các nhóm
Nhóm Số đề nghị Công thức đề nghị
Nhóm 1 x1 = 1 x2 = 0,5 xn = ±(an−1−bn−1) Nhóm 2 x1 = 1 x2 = 1
2 xn = 1
n Nhóm 3 x1 = 1 x2 = 1
2 xn = n 1
n
−
Nhóm 4 x1 = 1 x2 = 0,5 1 1
2
n n
n
a b
x = − + − Nhóm 5 x1 = 1 x2 = 0,001 Để trống ô xn Nhóm 6 x1 = 1 x2 = 1
2
1 1
2
n n
n
a b
x = − + −
Nhóm 7 x1 = 1 x2 = 0,5 1 1
2
n n
n
a b
x = − + −
• Xét nhóm 4, 6 và 7
Như chúng tôi dự kiến, công thức 1 1 2
n n
n
a b
x = − + − được đề nghị nhiều nhất (3/7 nhóm). Đó là các nhóm 4, 6 và 7. Dưới đây, chúng tôi trích dẫn lời giải thích của nhóm 4 và nhóm 6:
Nhóm 4:
“Từ 0 và 2 ta lấy x1 = 1. Vì f(0).f(1) < 0 nên có (0; 1). Từ 0 và 1 ta có 0 1 0, 5
2+ = ; suy ra (0,5; 1) chứa x0 do f(0,5).f(1) < 0. Ta lấy
3
0, 5 1 0, 75
2+ = =x ; suy ra (0,75; 1) do f(0,75).f(1) < 0. Suy ra
1 1
2
n n
n
a b
x = − + − .” (phát biểu 25 của pro.).
Nhóm 6:
“Từ khoảng cho trước (0; 2), ta lấy trung điểm là x1 = 0 2 1
+ =2 . Ta có (1) 1
f = , f(1) > 0, f(0).f(1) < 0 nên suy ra x0 thuộc (0; 1), ( ; )a b1 1 =(0;1). Vì
1 1
2 2
a b
x = + = 0 1 2
+ = 1 2, f(1
2) = -128,46875; f(1
2) < 0 nên có (1
2;1).” (phát bieồu 29 cuỷa pro.).
Như vậy, nhóm 4 và nhóm 6 đã sử dụng chiến lược “chia đôi” S3b. Nhóm 7 cũng sử dụng chiến lược “chia đôi” như nhóm 4 và nhóm 6 (phát biểu 43 và 44 cuûa pro.).
• Xét nhóm 3
Nhóm 3 đề nghị công thức xn = n 1 n
− . Sau đây là lời giải thích của nhóm 3:
“Trong (0; 2), ta chọn x1 = 1, f(1) = 1; suy ra khoảng mới là (0;1) do (0) 257
f = − , f(0).f(1) < 0. Ta chọn x2 = 1 2, f(1
2) = 4111
− 32 , suy ra (1 2; 1) như hồi nãy… Ta tiếp tục tính x3 = 2
3. Để có khoảng con, tức là khoảng nhỏ hơn, hướng của nhóm em là càng gần về 1 (đề nghị xn càng gần về 1). Ta có x < 1 thì f(x) < 0.” (phát biểu 35-37 của pro.).
Như vậy, không như chúng tôi dự kiến, nhóm 3 đề nghị xn càng gần về 1 và khẳng định f(x) < 0 nếu x < 1. Học sinh A đã chỉ ra một phản ví dụ là f(0,998046875) > 0 (phát biểu 39 của pro.). Theo bảng kết quả, 0, 998046875=x10. Vậy học sinh A đã chia đôi đến lần thứ 10, mặc dù chúng tôi
không yêu cầu điều này ở câu 5. Công thức của nhóm 3 không được cả lớp đồng ý (phát biểu 41 và 42 của pro.).
Công thức của nhóm 3 có chỗ không hợp lý. Thật vậy, nhóm 3 đã đề nghị
1=1
x . Trong khi đó, nếu theo công thức xn = n 1 n
− thì x1 = 0. Tuy nhiên, điều này đã không được học sinh phát hiện trong pha tranh luận.
Nhóm 3 đã sử dụng chiến lược nào khi đề nghị x1 = 1 và x2 = 1
2? Theo chuùng tôi, có thể nhóm 3 đã sử dụng chiến lược “chia đôi” S3b nhưng không xác định
được 1 1
2
n n
n
a b
x = − + − ; nhưng cũng có thể nhóm 3 đã sử dụng chiến lược “chọn số nguyên” S3a, chiến lược “nửa của đơn vị” S3c hoặc chiến lược “chọn ngẫu nhieân” S3d.
• Xét nhóm 2
Nhóm 2 đề nghị công thức xn = 1
n. Dưới đây là lời giải thích của nhóm 2:
“Nhóm em đề nghị x1 = 1, suy ra khoảng (0; 1); x2 = 1
2, suy ra khoảng (1
2; 1). Tương tự x3 = 1
3, suy ra khoảng (1
3; 1); có x4,…, tới xn 1
= n, suy ra khoảng (1
n; 1).” (phát biểu 46 của pro.).
Như vậy, nhóm 2 đề nghị công thức xn = 1
n từ việc đề nghị x1 = 1, x2 = 1 2,
3
1
=3
x ,… Học sinh B đã chỉ ra chỗ không hợp lý của công thức xn = 1
n: “Bắt buộc tập hợp về sau phải là tập con của tập hợp ban đầu. Cách làm của nhóm 2 không thỏa luật đó. Chẳng hạn như với 3 1
x =3, ta có khoảng (1
3; 1) không chứa trong khoảng (1
2; 1)” (phát biểu 48 của pro.). Có thể xem cách làm của nhóm 2 là một kiểu kiểm chứng tương tự như kiểm chứng “chủ nghĩa kinh nghiệm thơ ngây”
hay “thí nghiệm quyết đoán” theo nghĩa của N. Balacheff (1988). Công thức của nhóm 2 không được cả lớp đồng ý (phát biểu 49 và 50 của pro.).
Việc xác định chiến lược mà nhóm 2 đã sử dụng khi đề nghị x1 = 1 và 2 1
= 2 x có thể được giải thích như khi xét nhóm 3.
• Xét nhóm 1
Nhóm 1 đề nghị công thức xn = ±(an−1−bn−1). Nhóm 1 giải thích: “Đề cho khoảng (0; 2); ví dụ nghiệm nằm gần 2, an-1 – bn-1 càng gần 2” (phát biểu 56 của pro.). Chúng tôi đã yêu cầu nhóm 1 nói rõ hơn nhưng nhóm 1 không giải thích gì thêm (phát biểu 58 và 59 của pro.). Dường như nhóm 1 chưa hiểu đề. Phải chăng nhóm 1 đề nghị xn là số gần đúng của nghiệm? Công thức của nhóm 1 không được cả lớp đồng ý (phát biểu 60 của pro.).
Công thức của nhóm 1 có chỗ không hợp lý. Thật vậy, nhóm 1 đã đề nghị
2 0, 5
x = và ghi (a1;b1) = (0,5;1). Trong khi đó, nếu theo công thức
1 1
( )
n n n
x = ± a − −b− thì x2 = ±0, 5. Tuy nhiên, điều này đã không được học sinh phát hiện trong pha tranh luận.
Việc xác định chiến lược mà nhóm 1 đã sử dụng khi đề nghị x1 = 1 và x2 =0, 5 có thể được giải thích như khi xét nhóm 3.
• Xét nhóm 5
Nhóm 5 đề nghị x1 = 1, x2 = 0,001 và để trống ô xn. Trong GIẤY NHÁP 2, nhóm 5 có ghi các số 1, 1
10, 1 100, 1
1000 và xn = 10
x . Như vậy, nhóm 5 đã sử dụng một dạng biến thể của chiến lược ”chia mười” khi đề nghị x2 = 0,001.
Về lý do để trống ô xn, nhóm 5 giải thích: ”Nhóm em tìm quy luật của f(x)”
(phát biểu 52 của pro.). Sau khi cả lớp khẳng định ”Đề bài không yêu cầu”, nhóm 5 thừa nhận ”Nhóm em đã hiểu sai đề” (phát biểu 54 và 55 của pro.).
Một chiến lược vắng mặt
Chiến lược “bất đẳng thức Cauchy” S3f không xuất hiện trong GIẤY NHÁP 2 của các nhóm. Theo chúng tôi, sự vắng mặt này có thể có hai lý do:
1) Đề bài yêu cầu tìm khoảng mới từ việc tính f(xi) (i =1, 2).
2) Hạn chế về thời gian.
Tóm lại, công thức 1 1 2
n n
n
a b
x = − + − xuất hiện nhiều nhất và được cả lớp đồng ý (phát biểu 61-63 của pro.). Nói cách khác, tính thỏa đáng của giả thuyết nghiên cứu đã được khẳng định. Bên cạnh đó, một số nhóm dường như chưa hiểu đề.