3.2. Phaõn tớch tieõn nghieọm
3.2.6. Phaân tích chi tieát
Câu 1 được xây dựng với mục đích tìm câu trả lời cho câu hỏi: Trong tình huống tính gần đúng nghiệm của phương trình với sự hỗ trợ của MTBT, chiến lược nào giúp việc tính giá trị hàm số tại các giá trị khác nhau của biến số được nhanh chóng? Cụ thể, chúng tôi muốn tìm chiến lược có số lần bấm phím ít nhất để tính đúng f(2,7) trên MTBT Casio fx 500 MS. Kết quả tính đúng: f(2,7) = 580,38907.
Các chiến lược dự kiến và những câu trả lời có thể quan sát đặc trưng cho các chiến lược
* Nhóm các chiến lược không dùng phím nhớ của MTBT • S1a Chiến lược “tính trực tiếp”
Câu trả lời đặc trưng cho chiến lược S1a:
(18 laàn)
• S1b Chiến lược “đặt nhân tử chung”
Chiến lược này có hai câu trả lời đặc trưng:
Câu trả lời 1:
(17 laàn) Câu trả lời 2:
(16 laàn)
(bỏ bớt dấu ngoặc thứ hai) * Nhóm các chiến lược có dùng phím nhớ của MTBT
Phân tích mối quan hệ thể chế với MTBT ở mục 2.2 cho thấy các phím Ans, STO và ALPHA trên MTBT Casio fx 500 MS được sử dụng khi tính giá trị của một biểu thức. Điều này cho phép chúng tôi dự đoán các chiến lược sau đây có theồ xuaỏt hieọn.
• S1c Chiến lược “phím nhớ Ans”
Chiến lược này có hai câu trả lời đặc trưng:
Câu trả lời 1: (16 lần)
Câu trả lời 2:
(17 laàn)
• S1d Chiến lược “phím nhớ A, B, C”
Câu trả lời đặc trưng cho chiến lược S1d:
(19 laàn)
Bảng tóm tắt số lần bấm phím ứng với mỗi câu trả lời
Chiến lược S1a S1b S1c S1d
Soá laàn baám phím
ứng với mỗi câu trả lời 18 16-17 16-17 19
- =
2.7 ^ 5 + 257 X 2.7 257
- =
2.7 ^ 5 + 257 ( 2.7 1 )
- =
2.7 ^ 5 + 257 ( 2.7 1
2.7 = ^ 5 + 257 Ans - 257 =
2.7 SHIFT STO A ^ 5 + 257
257
A - =
ALPHA
2.7 =
=
+ Ans -
^ 5 257
257 Ans
Các biến didactique, các giá trị được chọn và giải thích sự lựa chọn Với f x( )=x5+257x−257, giả sử cần tính f(α).
• V1a “Số ký tự biểu diễn α”
Các giá trị của V1a là 1, 2, 3… Ví dụ: α = 7 thì V1a = 1; α = 2,7 thì V1a = 3.
V1a ≤ 2: không có sự phân biệt rõ ràng về khả năng xuất hiện của 2 nhóm chiến lược.
V1a ≥3: tạo thuận lợi cho chiến lược “phím nhớ Ans” S1c.
Trong tình huống tính gần đúng nghiệm của phương trình, α thường là số thập phân hoặc phân số (V1a ≥3) nên chúng tôi chọn giá trị V1a = 3.
* Giải thích việc chọn α = 2,7
Chúng tôi yêu cầu tính f(α) với α = 2,7. Vì α ∉ (0;2) nên có thể tránh được
việc chọn x1 = α ở câu 3 (khi đó sẽ không thuận lợi cho chiến lược “chia đôi”).
• V1b “Yeâu caàu veà soá laàn baám phím”
Hai giá trị của V1b: yêu cầu số lần bấm phím là ít nhất và không yêu cầu về số laàn baám phím.
Yêu cầu số lần bấm phím là ít nhất tạo thuận lợi cho chiến lược “phím nhớ Ans” S1c.
• V1c “Sự tồn tại nhân tử chung”
Hai giá trị của của V1c: tồn tại nhân tử chung và không tồn tại nhân tử chung.
Giá trị tồn tại nhân tử chung tạo thuận lợi chiến lược “đặt nhân tử chung” S1b.
Sự tồn tại nhân tử chung trong công thức của f(x) có nguồn gốc từ việc lựa chọn hàm số f(x) mà chúng tôi đã trình bày ở mục 3.2.2.
Bảng thống kê các giá trị được chọn của các biến didactique trong câu 1 Biến didactique Giá trị được chọn của biến didactique
V1a 3
V1b Yêu cầu số lần bấm phím là ít nhất V1c Tồn tại nhân tử chung
Với những sự lựa chọn nêu trong bảng thống kê, chúng tôi dự đoán chiến lược
“phím nhớ Ans” S1c xuất hiện nhiều hơn các chiến lược khác.
Môi trường chi phối hoạt động của học sinh ở câu 1: MTBT, yêu cầu về số lần bấm phím, kiến thức về MTBT.
3.2.6.2. Phaân tích caâu 2
Chúng tôi xây dựng câu 2 với mục đích hợp thức hóa tình huống tính gần đúng nghieọm.
Phaân tích caâu 2a)
Với kiểu nhiệm vụ quen thuộc “Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình”, chúng tôi dự đoán hai câu trả lời sau đây có thể xuất hiện:
• L2a: f(x) liên tục trên [0;2] và f(0).f(2) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm x0 thuộc khoảng (0;2).
• L2b: f(0).f(2) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm x0 thuộc khoảng (0;2).
So với L2a, câu trả lời L2b không có điều kiện “f(x) liên tục trên đoạn [0;2]”.
Phaân tích caâu 2b)
♦♦♦♦ Các chiến lược dự kiến và những câu trả lời có thể quan sát đặc trưng cho các chiến lược
• S2a Chiến lược “MTBT”
Có hai câu trả lời đặc trưng cho chiến lược này:
L2a1: Không giải được bằng MTBT.
L2a2: Có thể giải được bằng MTBT.
• S2b Chiến lược “nhẩm nghiệm”: Không giải được vì nhẩm nghiệm không ra.
• S2c Chiến lược “phân tích thành nhân tử”: Không giải được vì không thể phân tích f(x) thành nhân tử.
♦♦♦♦ Biến didactique, giá trị được chọn và giải thích sự lựa chọn V2a “Bậc của f(x)”
V2a ≤ 3: tạo thuận lợi cho chiến lược “MTBT” S2a.
V2a ≥ 4: tạo thuận lợi cho chiến lược “nhẩm nghiệm” S2b và chiến lược
“phân tích thành nhân tử” S2c.
* Với V2a = 5, khả năng xuất hiện câu trả lời L2a2 là rất thấp vì chỉ có MTBT Casio fx 500 MS được sử dụng và phương pháp lặp không được đưa vào SGK thí điểm (trong phần đọc thêm cũng không có). Với hàm số f(x) được chọn (V2a = 5), chúng tôi dự đoán câu trả lời “Không giải được” sẽ xuất hiện.
Môi trường chi phối hoạt động của học sinh ở câu 2: định lý 3 (hệ quả của định lý giá trị trung gian), kiến thức về phương trình (kỹ thuật giải phương trình), MTBT, kiến thức về MTBT.
3.2.6.3. Phân tích câu 3, câu 4 và câu 5
Chúng tôi xây dựng câu 3, câu 4 và câu 5 với mục đích kiểm tra tính thỏa đáng của giả thuyết nghiên cứu: Trong tình huống tính gần đúng nghiệm của phương trình, việc lựa chọn các giá trị của biến didactique làm tăng khả năng xuất hiện TTCĐ. Câu 3 và câu 4 là các mẫu của kiểu nhiệm vụ “Tìm khoảng mới chứa nghiệm và nằm trong khoảng chứa nghiệm trước đó”. Để tiện việc trình bày, chúng tôi ký hiệu khoảng chứa nghiệm là (a;b).
Các chiến lược dự kiến và những cái có thể quan sát đặc trưng cho các chiến lược ở câu 3 và câu 4
• S3a Chiến lược “chọn số nguyên”.
• S3b Chiến lược “chia đôi”.
• S3c Chiến lược “nửa của đơn vị”: chọn xi = a + 2
k với i, k = 1, 2,…
• S3d Chiến lược “chia mười”: chọn xi = a + 10k
l với i, l, k = 1, 2,…
• S3e Chiến lược “chọn ngẫu nhiên”.
• S3f Chiến lược “bất đẳng thức Cauchy”: áp dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm m sao cho m > x0 hoặc m < x0 rồi chọn xi = m với i =1, 2… (nếu m thuộc (a;b)).
Các biến didactique, các giá trị được chọn và giải thích sự lựa chọn (câu 3 và câu 4)
• V3a “Đặc trưng của khoảng chứa nghiệm”
Các giá trị của V3a:
Giá trị 1: Giữa a và b có số nguyên. Giá trị này của V3a tạo thuận lợi cho chiến lược “chọn số nguyên” S3a. Giá trị này cũng tạo thuận lợi cho chiến lược
“chia đôi” S3b nếu số nguyên ở giữa a và b là 2 a b+ .
Giá trị 2: a, b là hai số nguyên liên tiếp. Giá trị này của V3a tạo thuận lợi cho chiến lược “chia đôi” S3b.
Giá trị 3: a, b là hai số thập phân hữu hạn (không nguyên), giữa a và b không có số nguyên. Giá trị này của V3a tạo thuận lợi cho chiến lược “chia mười” S3d.
• V3b “Daáu cuûa f(x)”
Các giá trị của V3b:
Giá trị 1: f(a).f(a + 2
k ) < 0 với k = 1, 2,... Giá trị này của V3b tạo thuận lợi cho chiến lược “nửa của đơn vị” S3c.
Giá trị 2: f(a).f(a + 2
k ) > 0 với k = 1, 2,... Giá trị này của V3b tạo thuận lợi cho chiến lược “chia mười” S3d.
• V3c “Daáu cuûa x0”
Hai giá trị của V3c: x0 > 0 và x0 < 0.
Giá trị x0 > 0 tạo thuận lợi cho chiến lược “bất đẳng thức Cauchy” S1f.
Bảng thống kê các giá trị được chọn của các biến didactique trong câu 3 và caâu 4
Biến didactique Giá trị được chọn của biến didactique V3a (0;2), có thể dẫn đến (0;1)
V3b f(a).f(a +
2
k) < 0 với a = 0; k = 2, 3.
f(a).f(a + 2
k) > 0 với a = 0; k = 1.
V3c x0 > 0
Với những sự lựa chọn nêu trong bảng thống kê, chúng tôi dự đoán chiến lược
“chia đôi” S3b sẽ xuất hiện nhiều hơn các chiến lược khác (đề nghị x1 = 1,
2 =0, 5
x ). Sau khi đề nghị xi, do gợi ý “từ việc tính f(xi)” và sự có mặt của câu 2a), chúng tôi dự đoán việc so sánh dấu của f(xi) với dấu của f(a) và f(b) sẽ được thực hiện để tìm ra khoảng mới (i = 1, 2).
Các công thức có thể xuất hiện ở câu 5
• Cáccông thức gắn với chiến lược “chia đôi” S3b: 1 1 2
n n
n
a b
x = − + − ,
2
n n
n
a b x = + . • Công thức đúng khi n = 1 và n = 2: xn =1
n . • Các công thức được đề nghị ngẫu nhiên.
Với những sự lựa chọn nêu trong bảng thống kê khi phân tích câu 3 và câu 4, chúng tôi dự đoán các công thức gắn với chiến lược “chia đôi” S3b xuất hiện nhiều hơn những công thức khác.
* Bảng kết quả khi sử dụng chiến lược “chia đôi”
Số đề nghị Kết quả tính Khoảng chứa nghiệm xo
x1 = 1 f(x1) là:
(a1; b1)= (0; 1) x2 = 0,5 f(x2) là:
(a2; b2)= (0,5; 1) x3 = 0,75 f(x3) là:
(a3; b3)= (0,75; 1) x4 = 0,875 f(x4) là:
(a4; b4)= (0,875; 1) x5 = 0,9375 f(x5) là:
(a5; b5)= (0,9375; 1) x6 = 0,96875 f(x6) là: (a6; b6)= (0,96875; 1) x7 = 0,984375 f(x7) là:
(a7; b7)= (0,984375; 1) x8 = 0,9921875 f(x8) là:
(a8; b8)= (0,9921875; 1) x9 = 0,99609375 f(x9) là:
(a9; b9)= (0,99609375; 1) x10 = 0,998046875 f(x10) là: (a10; b10)=
(0,99609375; 0,998046875) x11 = 0,9970703125 f(x11) là: (a11; b11)=
(0,99609375; 0,9970703125) Để cho gọn, sau này chúng tôi gọi bảng này là bảng kết quả.
Môi trường chi phối hoạt động của học sinh ở câu 3, câu 4 và câu 5:
khoảng đã cho, yêu cầu về khoảng cần tìm, định lý 3 (hệ quả của định lý giá trị trung gian), MTBT, kiến thức về MTBT, chiến lược đã sử dụng khi đề nghị x1, x2, các số đã đề nghị.
3.2.6.4. Phaân tích caâu 6
Chúng tôi đưa vào thực nghiệm câu 6 khi tính thỏa đáng của giả thuyết nghiên cứu đã được khẳng định. Câu 6 được xây dựng với mục đích hoàn chỉnh việc đưa vào dạy học TTCĐ. MTBT với vai trò hỗ trợ không thể vắng mặt và
1 -128,46875
-31,61209106 -15,33830357 -7,178034812 -64,01269531
-3,091346444 -1,046269398 -0,023285507 0,488319323 0,232507455
chiến lược tính có số lần bấm phím ít nhất ở câu 1 có thể được sử dụng trong hoạt động này.
Phaân tích caâu 6a)
Với tính thỏa đáng của giả thuyết nghiên cứu, chúng tôi dự đoán các câu trả lời sau đây có thể xuất hiện.
• Số đề nghị, kết quả tính và khoảng chứa nghiệm xo: xem bảng kết quả.
• Chọn một số gần đúng của x0
Các phân tích ở chương 1 và chương 2 cho thấy số gần đúng của x0 có thể là một trong ba số an, bn và
2
n
n b
a + . Ngoài ra, số gần đúng của x0 có thể là một số thuộc khoảng (an;bn) (n = 3, 4, 5).
• Đánh giá sai số tuyệt đối: ∆ < bn – an(n = 3, 4, 5).
Phaân tích caâu 6b)
Từ các phân tích ở chương 1, chương 2 và từ việc xây dựng thực nghiệm (với f(x) là hàm số cụ thể), chúng tôi dự đoán các kết luận sau đây có thể xuất hiện:
• Các kết luận về số đề nghị: số đề nghị càng gần x0, nếu có số xn mà ( n)=0
f x thì xn là nghiệm, số đề nghị tiến đến 1 (xn tiến đến 1).
• Các kết luận về dãy số (f(xn)): f(xn) càng gần 0, f(xn) ngày càng lớn.
• Các kết luận về khoảng chứa nghiệm: các khoảng chứa nghiệm ngày càng hẹp, (an; bn) ⊂… ⊂ (a4; b4) ⊂ (a3; b3), hiệu hai đầu mút của khoảng chứa nghiệm giảm đi một nửa, khoảng cách giữa x0 và hai đầu mút của khoảng chứa nghiệm ngày càng hẹp.
• Các kết luận về số gần đúng: số gần đúng là đầu mút trái, đầu mút phải hoặc trung điểm của khoảng chứa nghiệm; các số gần đúng càng gần x0.
• Các kết luận về sai số tuyệt đối: ∆ ngày càng bé, ∆ < bn – an.
• Các kết luận khác.
Môi trường chi phối hoạt động của học sinh ở câu 6: công thức xác định xn
ở câu 5, MTBT, kiến thức về MTBT, chiến lược tính ở câu 1, định lý 3 (hệ quả của định lý giá trị trung gian), kiến thức về số gần đúng và sai số tuyệt đối, bảng ở câu 6a) (sau khi điền).
Bài tập về nhà:
Hãy chỉ ra một số gần đúng của x0 sao cho sai số tuyệt đối ∆ < 0,01.
3.3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori)
Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm đồ án này tại lớp 11A2 của trường THPT Lê Qúy Đôn, quận 3. Lớp học gồm 35 học sinh và được chia thành 7 nhóm. Các học sinh này đang học theo SGK thí điểm bộ 2 và đã học xong bài “Hàm số liên tuùc”.
Sản phẩm thu được qua thực nghiệm bao gồm: Lời giải của 7 nhóm được trình bày trên phiếu 1, phiếu 2 (giấy A4) và phiếu 3 (giấy A1)20; Protocole (pro.) của 3 pha tranh luận; Tất cả giấy nháp của học sinh.
Để hiểu rõ những ứng xử của học sinh, chúng tôi sẽ phân tích các sản phẩm này trong sự liên kết với nhau. Trên cơ sở thống kê các câu trả lời của các nhóm, chúng tôi xem xét những lựa chọn thật sự của học sinh trong những điều kiện như nhau, giải thích những gì đã được dự kiến nhưng lại không xảy ra và những gì đã xảy ra nhưng lại không được dự kiến.