A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐY =A X VỚI A6=0
Đồ thị của hàm số y=ax(a6=0)là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểmA(1;a). Như vậy, để vẽ đồ thị hàm số y=ax(a6=0), ta thực hiện:
Xác định vị trí điểm A(1;a).
NốiOvới Ata được đồ thị hàm số y=ax.
Ta có minh họa: O x
a y
A
1
y=ax
Đường thẳng y=ax(a>0) nằm trong góc phần tư (I) và phần tư (III)
O x
a y
A 1
y=ax
Đường thẳng y=ax(a<0) nằm trong góc phần tư (II)
và phần tư (IV)
4! Ta có một số chú ý sau:
Đồ thị hàm số y=xchính là đường phân giác của góc phần tư thứ I, III.
Đồ thị hàm số y= −xchính là đường phân giác của góc phần tư thứ II, IV.
2 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐY =A X+B, A6=0
Đồ thị của hàm số y=ax+b,a6=0là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằngb. Đường thẳng này:
Song song với đường thẳngy=axnếub6=0.
Trùng với đường thẳngy=axnếub=0.
Từ kết quả trên ta thấy: Nếu đã có đồ thị hàm số y=axthì đồ thị hàm số y=ax+b,b6=0được suy ra bằng cách:
Xác định vị trí điểmM(0;b).
Đường thẳng đi quaMsong song với đường thẳng y=axchính là đồ thị hàm sốy=ax+b.
3 CÁCH VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT
Vì đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng nên muốn vẽ ta chỉ cần xác định hai điểm phân biệt bất kỳ trên đường thẳng đó.
4! Khi vẽ đồ thị hàm số y=ax+b,a6=0: Ta nên chọn hai điểm có tọa độ chẵn.
Thông thường ta chọn hai điểm A(0;b) và B à
−b a; 0
ả
theo thứ tự là giao điểm của đồ thị với trụcO yvàOxnếu hai điểm đó không nằm quá xa gốc tọa độ (thí dụ y=x+2005) hoặc tọa độ của chúng không quá phức tạp trong tính toán (thí dụ y=p3
2x+p 89).
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Ví dụ 1. Cho hàm số: y= −x+3.
1 Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành. Vẽ đồ thị hàm số.
2 GọiAvà Btheo thứ tự là hai giao điểm nói trên. Tính diện tích4O AB (Olà gốc tọa độ).
3 Gọiαlà góc nhọn tạo bởi đồ thị hàm số với trụcOx. Tínhtanα, suy ra số đo gócα.
4 Bằng đồ thị, tìmxđể y>0, y≤0. -Lời giải.
1 Đồ thị cắt trụcO ytạiAcó:
x=0⇒y= −0+3=3⇒A(0; 3) Đồ thị cắt trụcOxtạiBcó:
y=0⇒0= −x+3⇔x=3⇒B(3; 0) .
2 Ta có:
S∆O AB=1
2O A.OB=1
2.3.3=9 2 .
3 Trong4O AB, ta cóAOBˆ =α, suy ra:
tanα=O A OB =3
3 =1⇒α=45o
O
B
3 x
A 3 y
y= −x+3
d) Từ đồ thị suy ra:
y>0⇔x<3, ứng với phần đồ thị nằm phía trên trụcOx.
y≤0⇔x≥3, ứng với phần đồ thị phía dưới trụcOx.
ọ Ví dụ 2. Cho hàm số: y=ax−3a
1 Xác định giá trị củaa để đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4). Vẽ đồ thị hàm số với avừa tìm được.
2 Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng tìm được tronga). -Lời giải.
1 Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4)khi và chỉ khi:
4=a.0−3a⇔3a= −4⇔a= −4 3. Vậy hàm số có dạngy= −4
3x+4.
Để vẽ đồ thị hàm số ta lấy thêm điểmB(3; 0).
2 GọiHlà hình chiếu vuông góc củaOlên đường thẳng.
Trong tam giác4O ABvuông tạiO, ta có:
1
OH2= 1
O A2+ 1 OB2
⇔OH= O A.OB
pO A2+OB2 = 4.3
p42+32=12 5 .
O
B
3 x
A 4 y
H
ọ Ví dụ 3. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độOx yđồ thị của các hàm số y=3xvà y= −3x. Có nhận xét gì về đồ thị của hai hàm số này?
-Lời giải.
Để vẽ đồ thị hàm số y=3x, ta thực hiện:
Xác định thêm một điểmA(1; 3).
NốiOvới Ata được đồ thị hàm số y=3x.
Để vẽ đồ thị hàm số y= −3x, ta thực hiện:
Xác định thêm một điểmB(−1; 3).
NốiOvớiBta được đồ thị hàm sốy=3x.
Nhận xét rằng, đồ thị của hai hàm số này đối xứng với nhau quaO y.
O x
y
−1 B
1 A
ọ4! Ta cú một số nhận xột sau:
1 Ta biết rằng:|3x| =
3x khi x≥0
−3x khi x<0 Do đó, nếu lấy hai phần đồ thị là:
Phần đồ thị của hàm sốy=3xtrong góc phần tư thứ I.
Phần đồ thị của hàm sốy= −3xtrong góc phần tư thứ II.
ta nhận được đồ thị của hàm số y= |3x|.
2 Từ đó, để vẽ đồ thị hàm số y= |ax|ta thực hiện như sau:
Vẽ tiaO A, với A(xA,aãxA),xA>0.
Vẽ tiaOB, vớiB(−xA,aãxA).
Hoặc chỉ cần vẽ tiaO Asau đó lấy đối xứngO AquaO y.
Ví dụ 4. Cho hai hàm số: y=2xvà y= −1 2.
1 Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độOx yđồ thị của các hàm số. Có nhận xét gì về đồ thị của hai hàm số này?
2 Xác định tọa độ điểmBthuộc đồ thị hàm số y= −1
2xsao choxB=4yB+2. -Lời giải.
1 Để vẽ đồ thị hàm sốy=2xta thực hiện:
Xác định thêm một điểmA(1; 2).
NốiOvớiAta được đồ thị hàm sốy=2x.
Nhận xét rằng đồ thị của hai hàm số này vuông góc với nhau.
2 Bthuộc đồ thị hàm số y= −1
2x, suy ra yB= −1
2xB (*). ThayxB= 4yB+2vào (*), ta được:
yB= −1
2(4yB+2)⇔yB= −1 3
⇒xB=4(−1
3)+2= −1 3 Vậy, điểmB
à
−1 3;−1
3
ả
là điểm cần tìm.
O x
y
−1
−2 1 2
2 1 B
A
ọ Ví dụ 5. Cho các hàm số:
y=f(x)=2x,y=g(x)=2x−1,y=h(x)=2x+2.
1 Vớix= −2; 0; 1; 2; 3hãy tính các giá trị tương ứng của f(x),g(x),h(x).
2 Có nhận xét gì về giá trị của các hàm số f(x),g(x),h(x)ứng với cùng một giá trị của biến sốx, từ đó đưa ra kết luận về đồ thị các hàm số y=g(x)và y=h(x).
-Lời giải.
1 Ta lập bảng:
x −2 0 1 2 3 f(x) −4 0 2 4 6 g(x) −5 −1 1 3 5 h(x) −2 2 4 6 8
b) Từ bảng, ta nhận thấy với bất kỳ hoành độ nào thì
Tung độ tương ứng của điểm trên đồ thị hàm số y=2x−1 cũng nhỏ hơn tung độ tương ứng của điểm trên đường thẳng y=2xlà1đơn vị.
Tung độ tương ứng của điểm trên đồ thị hàm số y=2x+2 cũng lớn hơn tung độ tương ứng của điểm trên đường thẳng y=2xlà2đơn vị.
Vậy ta thấy:
Đồ thị hàm số y=2x−1 là một đường thẳng song song với đường thẳng y=2xvà cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng−1.
Đồ thị hàm số y=2x+2 là một đường thẳng song song với đường thẳng y=2xvà cắt trục tung tại điểm có tung độ bẳng2.
O x
y
−1 1
2 A
y=2x+2
y=2xy=2x−1
ọ
Ví dụ 6. Cho các hàm số:
y=2x−1,y=2−x,y=3−2x.
1 Vẽ đồ thị của ba đường thẳng đó trên cùng một hệ trục tọa độ.
2 Có nhận xét gì về đồ thị của ba hàm số này?
-Lời giải.
1 Ta lần lượt vẽ:
Với đồ thịy=2x−1lấy hai điểmA(0;−1)vàA0 à1
2; 0
ả . NốiAvàA0được đồ thị cần dựng.
Với đồ thị y=2−xlấy hai điểmB(0; 2)vàB0(2; 0). Nối BvàB0được đồ thị cần dựng.
Với đồ thị y=3−2x lấy hai điểmC(0; 3)và C0 à3
2; 0
ả . NốiCvàC0được đồ thị cần dựng.
2 Đồ thị của các hàm số này đồng quy tại điểmI(1; 1).
O
x y
−1 A 1 1
2 B 3 C
I
y=3−2x y=2x−1
ọ
Ví dụ 7. Vẽ đồ thị các hàm số sau:
y= |x|.
1 2 y= |x−2|. 3 |x−1| +2.
-Lời giải.
1 Ta biến đổi
y= |x| =
ẵ x nếu x≥0
−x nếu x≤0
Do đó đồ thị hàm số là hai tiaO A với A(1; 1) và OBvớiB(−1; 1).
b) Ta biến đổi
y= |x−2| =
ẵ 2−x nếu x≥2 x−2 nếu x≤2
Do đó đồ thị hàm số là hai tia I A với I(2; 0) và A(4; 2)vàIBvớiB(0; 2).
O
x y
−1 1
1 A
B
y= |x|
y=x y= −x
O
x y
2 I
4
2 B A y= |x−2|
y=x−2 y=2−x
c) Ta biến đổi
y= |x−1| +2=
ẵ x+1 nếu x≥1 3−x nếu x≤1
Do đó đồ thị hàm số là hai tia I A với I(1; 2) và
A(2; 3)vàIBvớiB(0; 3). O
x y
1 2
2 3 B
I A
y= |x−1| +2
y=x+1
y=3−x
ọ C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Vẽ đồ thị các hàm số:
y=4x.
1 2 y=x+3.
y= −x+6.
3 4 y= −3x−3.
y= −1 2x+1.
5
-Lời giải.
1 Xác định hai điểmO(0; 0)và A(1; 4). Đường thẳng đi qua hai điểmO,Alà đồ thị hàm số cần vẽ.
2 Xác định hai điểmA(0; 3)và B(−3; 0). Đường thẳng đi qua hai điểmA,Blà đồ thị hàm số cần vẽ.
3 Xác định hai điểmA(0; 6)và B(6; 0). Đường thẳng đi qua hai điểmA,Blà đồ thị hàm số cần vẽ.
4 Xác định hai điểmA(0;−3)vàB(−1; 0). Đường thẳng đi qua hai điểmA,Blà đồ thị hàm số cần vẽ.
5 Xác định hai điểmA(0; 1)và B(2; 0). Đường thẳng đi qua hai điểmA,Blà đồ thị hàm số cần vẽ.
Học sinh tự vẽ hỡnh. ọ Bài 2. Cho hàm số y=ax. Hãy xác định hệ sốa, biết:
1 Đồ thị hàm số đi qua điểmA(1; 8).
2 Đồ thị hàm só đi qua điểmB à3
4;−3
ả .
3 Đồ thị hàm số là đường phân giác của góc phần tư thứ I, III.
Vẽ đồ thị hàm số trong mỗi trường hợp.
-Lời giải.
1 Vì điểmA(1; 8)thuộc đồ thị hàm số nên8.a=1⇔a=8. Vậy hàm số có dạng y=8x.
2 Vì điểmB à3
4;−3
ả
thuộc đồ thị hàm số nên−3=a.3
4⇔a= −4. Vậy hàm số có dạng y= −4x.
3 Đồ thị hàm số là đường phân giác của góc phần tư thứ I, III, ta có ngaya=1.
Học sinh tự vẽ hỡnh. ọ
Bài 3. Cho hàm số y=(2a−3)x. Hãy xác địnha, để:
Hàm số luôn đồng biến? Nghịch biến?
1 2 Đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 3).
Đồ thị hàm số đi qua điểmB(5 4;−1
2).
3 Đồ thị hàm số là đường phân giác góc phần tư
thứ II, IV.
4
Vẽ đồ thị hàm số trong mỗi trường hợp 2, 3, 4. -Lời giải.
1 Hàm số luôn đồng biến khi và chỉ khi2a−3>0⇔a>3 2. Hàm số luôn nghịch biến khi và chỉ khi2a−3<0⇔a<3
2.
2 Vì điểmA(2; 3)thuộc đồ thị hàm số nên3=(2a−3)2⇔4a=9⇔a=9 4. Vậy hàm số có dạng y=9
4x.
3 Vì điểmB à5
4;−1 2
ả
thuộc đồ thị hàm số nên:
−1
2=(2a−3)5
4⇔10a=13⇔a=13 10. Vậy hàm số có dạng y= −2
5x.
4 Đồ thị hàm số là đường phân giác góc phần tư thứ II, IV, ta có:
2a−3= −1⇔2a=2⇔a=1.
Vậy hàm số có dạng y= −x.
Học sinh tự vẽ hỡnh. ọ Bài 4. Cho hàm số y=2ax−3a.
1 Xác địnhabiết rằng đồ thị hàm số trên đi qua điểmM(2; 3).
2 Vẽ đồ thị hàm số tìm được tronga).
3 Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng tìm được tronga). -Lời giải.
1 Vì điểmM(2; 3)thuộc đồ thị hàm số nên:3=2.a.2−3a⇔a=3. Do đó hàm số có dạng y=6x−9.
2 Ta lấy hai điểm A(0;−9)và B à3
2; 0
ả .
Đường thẳng nối hai điểmA,Blà đồ thị cần vẽ. Học sinh tự vẽ hình.
3 GọiHlà hình chiếu vuông góc củaOlên đường thẳng.
Trong tam giácO ABvuông tạiOta có:
1
OH2 = 1
O A2+ 1
OB2⇔OH= O AãOB pO A2+OB2 =
9ã3 2
92+ à3
2
ả2 = 9 p37.
Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng bằngp9 37.
ọ Bài 5. Cho hàm số y=ax+b.
1 Xác địnhavà b biết rằng đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng−4và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng1.
2 Vẽ đồ thị hàm số tìm được tronga).
3 Tính diện tích tam giác được tạo bởi đồ thị hàm số tronga)và các trục tọa độ.
-Lời giải.
1 Giao điểm của đồ thị với trục tung làA(0,−4), với trục hoành làB(1, 0). Ta có:
aã0+b= −4 aã1+b=0 ⇔
a=4 b= −4
.
2 Xác định các điểm A(0,−4) và B(1, 0). Đường thẳng đi qua hai điểm A,B là đồ thị hàm số cần vẽ.
Học sinh tự vẽ hình.
3 Tam giác tạo bởi đồ thị hàm số và các trục tọa độ là4O ABvuông tạiO. VậyS=1
2O AãOB=2(đvdt).
ọ Bài 6. Cho hàm số y= |a−1|x. Hãy xác địnhabiết:
Đồ thị hàm số đi qua điểmA(1; 3).
1 Đồ thị hàm số đi qua điểmB
à
−1 2; 8
ả .
2
Vẽ đồ thị của hàm số trong mỗi trường hợp.
-Lời giải.
1 Vì điểmA(1; 3)thuộc đồ thị hàm số nên3= |a−1| ⇔
"
a−1=3 a−1= −3 ⇔
"
a=4 a= −2 Vậy hàm số có dạng y=3x.
2 Vì điểmB(−1
2; 8)thuộc đồ thị hàm số nờn:8= |a−1| ã à
−1 2
ả
vô nghiệm. Vậy không tồn tạia.
Học sinh tự vẽ đồ thị hàm số y=3x, là đường thẳng đi quaO(0; 0)và A(1; 3). ọ Bài 7. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
y= |x|.
1 2 y=2|x| −1.
y= |x| +2.
3 y=
¯
¯
¯
¯ 3 4x+1
4
¯
¯
¯
¯ .
4
y=
¯
¯¯−x 2+2¯
¯
¯.
5
-Lời giải.
Học sinh tham khảo vớ dụ 7 ọ
Bài 8. Tìm tập hợp các điểmM(x;y)sao cho:
y<x+2.
1 2 y≤ −x+1.
y≥ −2x+2.
3
y≤x y≤ −2x+4 y≥ −x+1 4
-Lời giải.
Học sinh tự vẽ hình.
1 Thực hiện vẽ đồ thị hàm sốy=x+2.
Khi đó tập hợp các điểmM(x;y)thỏa mãn y<x+2nằm phía dưới đồ thị hàm số.
2 Thực hiện vẽ đồ thị hàm sốy= −x+1.
Khi đó, tập hợp các điểmM(x;y)thỏa mãn y≤ −x+1nằm phía dưới đồ thị hàm số kể cả đồ thị hàm số.
3 Thực hiện vẽ đồ thị hàm sốy= −2x+2.
Khi đó, tập hợp các điểmM(x;y)thỏa mãn y≥ −2x+2nằm phía trên đồ thị hàm số kể cả đồ thị hàm số.
4 Thực hiện vẽ các đồ thị hàm sốy=x,y= −2x+4,y= −x+1.
Khi đó, tập hợp các điểmM(x;y)thỏa mãn hệ thuộc phần mặt phẳng giới hạn bởi ba đồ thị trên.
ọ