A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Với hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm, ta có kết quả “Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm của đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến”.
Như vậy:
ABvàAB0là hai tiếp tuyến của(O)
⇒
(AB=AB0
O AB=O AB0.
A
B0
O
B 1 ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC
Định nghĩa 1. Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác.
Khi đó,
1 Tam giác đó gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.
2 Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác (trong thực tế ta chỉ cần lấy giao điểm của hai đường phân giác bởi trong một tam giác ba đường phân giác đồng quy).
A
B
O
C
2 ĐƯỜNG TRÒN BÀNG TIẾP TAM GIÁC
Định nghĩa 2. Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
Như vậy, với4ABCtồn tại ba đường tròn bàng tiếp và tâm của một đường tròn bàng tiếp là giao điểm của một đường phân giác trong với hai phân giác
ngoài. O2 A
O3
O1
B C
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Ví dụ 1. Cho4ABC, biết BC=6. Lấy E, F theo thứ tự thuộc AB, ACsao choEF song song với BCvà tiếp xúc với đường tròn nội tiếp4ABC. Tính chu vi4ABC, biếtEF=2cm.
-Lời giải.
Ta có hai4AEFvà4ABCđồng dạng, do đó:EF BC= AE
AB. (1)
Ta có:
ẵc=AB=AM+MB=AM+NB.
b=AC=AP+PC=AM+NC.
⇒ b+c=2AM+BC=2AM+6.
⇔ AM=AP=1
2(b+c−a)=p−a. (2)
ẵAM=AE+EM=AE+EQ.
AM=AP=AF+F P=AF+FQ.
⇒ 2AM=AE+AF+EF.
⇔ AM=AP=p4AEF. (3)
A
B M
E
O
C P F Q
N
Thay(2),(3)vào(1), ta được:2
6= p−6
p ⇔p=9cm.
Vậy chu vi của4ABCbằng18cm. ọ
Ví dụ 2. Cho4ABC có độ dài ba cạnha,b,cvà diện tích bằng S. Đường tròn nội tiếp4ABC tiếp xúc với các cạnhBC,C A,ABtheo thứ tự tại A1, B1,C1. Giả sử4A1B1C1 có độ dài ba cạnh tương ứng làa1, b1, c1. Chứng minh rằng
a1 a +b1
b =2 à
sinA
2 +sinB 2
ả . sinC
2.
-Lời giải.
Trong4A1B1C1ta có:
a1=B1C1=2r. sinA1=2r. sinBà1IC1
2 =2r. sinπ−A
2 =2r. cosA 2.
Tương tự ta đượcb1=2r. cosB 2. Trong4BIC, ta có:
a=BC=B A1+C A1=r. cotB
2 +r. cotC 2 =r.
sinB+C 2 sinB
2. sinC 2
=
r. cosA 2 sinB
2. sinC 2 .
Tương tự ta được
b=
cosB 2 sinA
2. sinC 2 .
Từ đó:
a1 a +b1
b =2 sinB 2. sinC
2+2 sinA
2+sinC 2 =2
à sinA
2 +sinB 2
ả . sinC
2.
A
B C1
C B1 I
A1
ọ Ví dụ 3. Cho đường tròn(O), cònBlà điểm di động trên(O). Các tiếp tuyến của(O)tại Avà Bcắt nhau tạiC. Tìm tập hợp tâm đường tròn nội tiếp4ABC.
-Lời giải.
GọiIlà giao điểm củaOCvới(C), ta có ngay A I là phân giác gócA, từ đó suy raIlà tâm đường tròn nội tiếp4ABC.
Vậy tập hợp tâm I thuộc đường tròn (C) ngoại trừ ba điểm A,A1,A2, trong đó A1A2là đường kính vuông góc vớiO A.
A
O I C
B
ọ C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho4ABC đều.
1 Hãy nêu cách dựng tiếp tuyếnacủa đường tròn ngoại tiếp4ABC, biết tiếp tuyến đi qua điểm A.
2 Khẳng địnhd∥BCđúng hay sai?
3 Hãy nêu cách dựng các tiếp tuyếnb, ccủa đường tròn ngoại tiếp4ABC, biết rằng các tiếp tuyến này theo thứ tự đi qua điểmB,C. Giả sửbcắtctạiD.
4 Khẳng định4BCDđều là đúng hay sai?
Bài 2. Cho4ABC vuông tại A, AB=6cm, AC=8cm. Đường tròn(I)nội tiếp4ABC tiếp xúc với AB, ACtheo thứ tự ởD, E.
1 TínhBIC.
2 Tính diện tích tứ giácAD I E.
Bài 3. Cho4ABCcân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp,K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A, O là trung điểm của I K.
1 Khẳng định bốn điểmB, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâmOlà đúng hay sai?
2 Khẳng định AClà tiếp tuyến của đường tròn(O)là đúng hay sai?
Bài 4. Cho(O;R). Tìm quỹ tích của điểm Amà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới(O;R).
Bài 5. Cho đường thẳngd và một điểmA ở trên đường thẳng đó. Tìm tập hợp tâm các đường tròn tiếp xúc với đường thẳng(d)tại điểm A.
Bài 6. Cho đường thẳng(d). Tìm tập hợp tâm các đường tròn có bán kính bằng R và tiếp xúc với đường thẳng(d).
Bài 7. Cho hai đường thẳng cắt nhauavàb. Tìm tập hợp các đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng đó.
Bài 8. Cho đường tròn(O;R)và điểm A cố định trên đường tròn đó. Qua A, kẻ tiếp tuyến x y. Từ điểmM trênx y vẽ tiếp tuyến MBvới đường tròn(O). hai đường cao AD VÀBEcủa tam giác M ABcắt nhau tại H.
1 Khẳng định ba điểmM,H,Othẳng hàng là đúng hay sai?
2 Xác định dạng của tứ giácAOBH.
3 Tìm quỹ tích của điểmH khiMchạy trênx y. D HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ