XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 NHẮC LẠI VỀ ĐƯỜNG TRÒN

Định nghĩa 1.

Đường tròn tâmObán kínhR (vớiR>0) là hình gồm các điểm cách Omột khoảng bằngR.

O R M

Đường tròn như vậy được ký hiệu(O;R), trong trường hợp không cần chú ý đến bán kính có thể sử dụng ký hiệu(O).

Cho đường tròn(O;R)và điểmM, ta có

NếuOM<R⇔Mnằm trong đường tròn.

NếuOM=R⇔Mnằm trên đường tròn.

NếuOM>R⇔Mnằm ngoài đường tròn.

O R M

M M

2 CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN

Theo định nghĩa một đường tròn sẽ hoàn toàn được xác định khi biết tâm và bán kính, vậy với câu hỏi“Hãy xác định tâmOcủa đường tròn”,biết

1

Đường tròn đi qua điểm Avà có bán kính bằngR. Khi đó, O A=R⇔O∈(A;R)- Đường tròn tâm A, bán kínhR.

R

O

A O1 O2

2

Đường tròn đi qua hai điểm AvàB. Khi đó,

O A=OB⇔Othuộc đường trung trực của đoạnAB.

B

A

O O

3 Đường tròn đi qua ba điểmA,BvàCkhông thẳng hàng. Khi đó, O A=OB⇔Othuộc đường trung trực của đoạnAB.

O A=OC⇔Othuộc đường trung trực của đoạn AC.

OB=OC⇔Othuộc đường trung trực của đoạnBC.

Vậy tâmOlà giao điểm của ba đường trung trực của∆ABC.

A

O

B C

A

B O C

A

O

B C

4! Trường hợp đặc biệt: Nếu 4ABC vuông thì tâm của đường tròn ngoại tiếp 4ABC là trung điểm của cạnh huyền.

Hệ quả 1.

1 Một điểmOcho trước và một số thựcR>0cho trước xác định một đường tròn(O;R).

2 Một đoạn thẳngABcho trước xác định một đường tròn đường kính AB.

3 Ba điểm không thẳng hàng A,B,C xác định một và chỉ một đường tròn đi qua ba điểm đó, kí hiệu(ABC).

3 TÂM ĐỐI XỨNG - TRỤC ĐỐI XỨNG Ta có kết quả:

1 Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

2 Bất kỳ đường kính bào cũng là trục đối xứng của đường tròn.

B CÁC DẠNG TOÁN

1 CHỨNG MINH NHIỀU ĐIỂM CÙNG NẰM TRÊN MỘT ĐƯỜNG TRÒN

Phương pháp

Ta lựa chọn một trong hai cách sau

Cách1: Sử dụng định nghĩa, ta chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm.

Cách2: Sử dụng kết quả “NếuƒABC=90◦thìBthuộc đường tròn đường kính AC”.

Ví dụ 1. Cho4ABCvà điểmMlà trung điểm củaBC. HạMD,MEtheo thứ tự vuông góc với AB và AC. Trên tia BD và CE lần lượt lấy các điểm I,K sao cho D là trung điểm của BI, E là trung điểm củaCK. Chứng minh rằng bốn điểmB, I, K,Ccùng nằm trên một đường tròn.

-Lời giải.

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau Cách1: (Sử dụng định nghĩa) Ta có

Mlà trung điểmBCnênMB=MC=1

2BC. (1) MDlà trung trục cảuBInênM I=MB. (2) MElà trung trực củaCK nênMK=MC. (3) Từ(1),(2),(3)suy raMB=MC=M I=MK=1

2BC.

A

M

K E I

D

B C

Vậy bốn điểmB,I,K,Ccùng nằm trên đường tròn tâmM, bán kính 1 2BC.

Cách2: Ta có

MDlà trung trực củaBI nên:

M I=MB=1

2BC⇔∆BC I vuông tạiI.

⇔Ithuộc đường tròn đường kínhBC. (4) MElà trung trực củaCK nên:

MK=MC=1

2BC⇔∆BCK vuông tạiK.

⇔K thuộc đường tròn đường kínhBC. (5)

Vậy bốn điểmB,I,K,Ccựng nằm trờn đường trũn tõmM, đường kớnhBC. ọ Nhận xét. Trong lời giải trên, để chứng minh bốn điểmB, I,K,C cùng thuộc một đường tròn, ta có thể sử dụng cả hai cách và

Ở cách1, ta khẳng định điểmM(đã cho sẵn) cách đều bốn điểmB,I, K,Cdựa trên tính chất đường trung trực.

Ở cách2 ta khéo léo chứng minhBIC=ƒBK C=90◦ dựa trên kết quả “Trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nữa cạnh huyền và ngược lại”. Tuy nhiên cách 2 được đề xuất thông qua kết quả của cách1.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng qua ba điểm thẳng hàng không thể có một đường tròn.

-Lời giải.

Ta chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử tồn tại đường tròn(O)đi qua ba điểm thẳng hàng A,B,C.

Ta có

A,B∈(O)⇒O A=OB⇒Othuộc trung trựcExcủaAB.

B,C∈(O)⇒OB=OC⇒Othuộc trung trựcF ycủaBC.

suy raO=Ex∩F y. (*)

Mặt khác, vìA,B,Cthẳng hàng nên:

ExkF y, điều này mâu thuẫn với (*).

Vậy qua ba điểm thẳng hàng khụng thể cú một đường trũn. ọ

4! Chú ý: Từ kết quả “Ba điểm không thẳng hàng A,B,Cxác định một và chỉ một đường tròn đi qua ba điểm đó”, chúng ta có thể khai thác thêm như sau:

1. Nếu các điểm A, B,C, Dthuộc đường tròn(O)và A,B,C,E thuộc đường tròn(O0)thì(O)≡(O0), hay nói cách khác ” Năm điểm A, B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn ”.

2. Mở rộng hơn “Nếu ta cóA,B,C,D thuộc đường tròn(O1)và A, B, C, Ethuộc đường tròn(O2)và A, B,C,F thuộc đường tròn(O3)thì(O1)≡(O2)≡(O3)≡(O)và(O)là đường tròn ngoại tiếp4DEF”.

2 QUỸ TÍCH ĐIỂM LÀ MỘT ĐƯỜNG TRÒN

Phương pháp

Với yêu cầu “Tìm tập hợp các điểmMthỏa mãn tính chấtK”, ta cần trình bày lời giải gồm ba phần:

Phần thuận: Giả sử có điểmMthỏa mãn điều kiệnK, ta khéo léo suy ra rằngMthuộc một đường tròn (O), thí dụ:

Chứng minhOM=r- không đổi.

Chứng minhAMBƒ=90◦, vớiOlà trung điểmAB.

Phần đảo: LấyM∈(O)và đi chứng minhMcó tính chấtK. Kết luận.

Ví dụ 3. Cho đoạn thẳngAB, tìm tập hợp các điểmMsao cho AMBƒ=90◦. -Lời giải.

GọiOlà trung điểmAB, khi đó với điểmMthỏa mãn AMBƒ =90◦, ta được:

4ABM vuông tạiM⇒OM=1 2AB

⇔Mthuộc đường tròn à

O;1 2AB

ả

. A

O M

B

ọ

4! Chú ý

1. Cách trình bày trên chỉ có tính minh họa, còn để có được lời giải đúng của một bài toán quỹ tích cần thực hiện ba bước.

2. Từ nay, chúng ta được quyền sử dụng kết quả “Nếu AMBƒ =90◦ thì M thuộc đường tròn đường kính AB”.

Ví dụ 4. Cho đường tròn(O)đường kính AB=R. Clà một điểm chạy trên đường tròn đó. Trên tia BClấy một điểmMsao choClà trung điểm củaBM. Tìm quỹ tích của điểmM.

-Lời giải.

Phần thuận: Giả sử có điểmMsao choClà trung điểm củaBM.

VìCthuộc đường tròn đường kính AB

⇒ƒACB=90◦⇔AC⊥BM

⇒∆ABM cân vì có AC vừa là đường cao, vừa là trung tuyến. ⇒ AM = AB=R⇔M∈(A;R).

A O

C M

B

Phần đảo: Lấy một điểmMbất kỳ trên đường trò(A;R),BMcắt(O)tạiC. Ta phải chứng minhClà trung điểm củaBM.

Thậy vậy,

AM=AB=R⇒ 4ABM cân tạiA. C∈(O)⇒ƒACB=90◦⇔AC⊥BM.

suy raAClà đường cao ứng với cạnh đáy nên đồng thời là trung tuyến.

VậyClà trung điểm củaBM.

Kết luận: Quỹ tớch của điểmMlà đường trũn(A;R). ọ

Nhận xét. Trong lời giải trên, để tìm tập hợp điểm Mchúng ta đã tuân thủ đúng lượt đồ của bài toán quỹ tích, cụ thể:

Phần thuận: Ta giả sử có điểmMsao choC là trung điểm củaBM, từ đó suy ra đượcM∈(A;R). Phần đảo: Ta lấy điểmM∈(A;R)và đi chứng minhMthỏa mãn điều kiệnClà trung điểm củaBM. Kết luận.

Ví dụ 5. Trên đường tròn (O) lấy hai điểmB, C cố định. Điểm A di chuyển trên đường tròn, D là trung điểm củaBC. GọiMlà hình chiếu củaBtrên đường thẳng AD.

1 Tìm tập hợp điểmMkhi Adi chuyển trên(O).

2 Tìm vị trí của điểmAtrên(O)đểBMcó độ dài ngắn nhất.

-Lời giải.

1

Hướng dẫn:

BM⊥D M⇔BMDƒ=90◦

⇔Mdi chuyển trên đường tròn đường kínhBDtrừ điểmB.

A

O

B D

M

C

2 Ta có, trong đường tròn có đường kínhBDthìBM≤BD(đường kính là dây cung lớn nhất).

Do đó,BMcó độ dài lớn nhất bằngBD, đạt được khi M≡D⇔AD⊥BC⇔ 4ABCcân tại A.

⇔Alà giao điểm của đường tròn tâmOvới đường trung trực củaBC.

ọ

Nhận xét. Trong lời giảib), để chỉ ra được vị trí cần tìm của điểmAsao choBM lớn nhất chúng ta đã bắt đầu bằng bất đẳng thức

BM≤BD, trong đóBDlà độ dài không đổi.

⇒BMmax=BD, đạt được khiM≡D⇒vị trí của A.

Nhu vậy, lập luận đó dựa trên tính chất “Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn”, tuy nhiên, nếu muốn, chúng ta có thể lập luận theo cách khác như sau:

BD2=BM2+D M2⇒BMmaxkhiD Mmin. Từ đó, suy raBMmax=BDđạt được khiD Mmin=0⇔M≡D.

3 DỰNG ĐƯỜNG TRÒN

Phương pháp

Để dựng một đường tròn ta cần biết tâm và bán kính và hãy nhớ lại “Tâm của đường tròn đi qua hai điểm AvàBcho trước nằm trên đường trung trực của đoạn AB”.

để trình bày lời giải của một bài toán đựng hình, ta làm như sau

Phân tích: Giả sử đã dựng được đường tròn(O), từ đây suy ra vị trí tâm và độ dài bán kính của nó.

Cách dựng: Dựa vào kết quả của bước phân tích chúng ta suy ra phép dựng hình.

Chứng minh: Chứng minh đường tròn được đựng ở bước dựng hình thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Biện luận: Số đường tròn thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Ví dụ 6. 1 Hãy dựng một đoạn thẳng AB=6cm và ba đường tròn phân biệt nhận ABlàm một dây cung.

2 Trong tất cả các đường tròn nhận ABlàm dây cung thì đường tròn nào có đường kính nhỏ nhất?

Giải thích tại sao?

-Lời giải.

1

Ta lần lượt thực hiện:

Dựng đoạn thẳngAB=6cm.

Dựng trung trựcdcủa AB. Trênd lấy bốn điểm(O1),(O2),(O3), I(I là trung điểmAB).

Dựng bốn đường tròn ung trực d của AB. Trên d lấy bốn điểm (O1;O1A),(O2;O2A),(O3;O3A)và(I;I A).

B

A I

2 Gọi(O)là một đường tròn nhậnABlàm một dây cung.

Vẽ đường kínhAC, ta có:

AC≥ABvới ABlà hằng số Do đó,ACmin=AB, đạt được khiC≡B.

Vậy đường tròn có đường kính nhỏ nhất là đường tròn đường kínhAB.

ọ Ví dụ 7. Dựng một đường tròn(O)có bán kínhRcho trước và đi qua hai điểm AvàBcho trước.

-Lời giải.

Phân tích: Giả sử đã dựng được đường tròn(O)thỏa mãn điều kiện bài toán, ta có:

A∈(O;R)⇒O A=R⇒O∈(A;R).

B∈(O;R)⇒OB=R⇒O∈(B;R).

Vậy tâmOlà giao điểm của hai đường tròn(A;R)và(B;R). O O

0

A B

R R

Cách dựng: Ta lần lượt:

Dựng các đường tròn(A;R)và(B;R)và gọiOlà giao điểm của hai đường tròn đó.

Dựng đường tròn(O;R).

Chứng minh: Theo cách dựng ta có:O A=OB=R⇒A,B∈(O;R).

Biện luận: Số nghiệm hình của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm của hai đường tròn(A;R)và(B;R), ta có:

Nếu2R>ABthì bài toán có hai nghiệm hình.

Nếu2R=ABthì bài toán có một nghiệm hình.

Nếu2R<ABthì bài toán không có nghiệm hình.

ọ

Nếu2R>AB Nếu2R=AB Nếu2R<AB

O

O0

A B

R R

A R OR B A R R B

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho 4ABC đều. Gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,BC,C A. Chứng minh rằng các điểmB,M,P,Cthuộc một đường tròn.

-Lời giải.

Ta có thể lựa chọn một trong ba cách trình bày sau:

Cách 1:Vì4ABC đều nên trung tuyến sẽ là đường cao, do đó:

CM ⊥ AB⇔ BMCƒ =90◦ ⇒ M thuộc đường tròn đường kínhBC.

BP⊥AC⇔BPC =90◦⇒P thuộc đường tròn đường kính BC.

Vậy bốn điểmB,M,P,Cthuộc đường tròn đường kínhBC.

A

N P M

B C

Cách 2:Ta có:

4BMDvuông tại Mvà cóM N là trung tuyến nênM N=NB=NC (1). 4BPCvuông tạiP và cóP Nlà trung tuyến nênP N=NB=NC (2). Từ(1)và(2)suy ra NB=NC=N M=N P⇔B,C,M,P thuộc đường tròn(N;NB). Cách 3:Với4ABCđều có cạnha, ta có:

NB=NC=a 2 (3).

M N là đường trung bình nênM N=1

2AC=a 2 (4). P Nlà đường trung bình nênP N=1

2AB=a 2 (5). Từ(3), (4), (5)suy ra NB=NC=N M=N P=a

2⇔B,C,M,P thuộc đường tròn³N;a 2

´

. ọ

Bài 2. Cho 4ABC cân tại A, đường cao AH=1 cm, BC=4 cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AHởD.

a) Chứng minh rằng các điểmB,Cthuộc đường tròn đường kính AD. b) Tính độ dài AD.

-Lời giải.

a)

Xét hai tam giác4ADCvà4ADB, ta có:

ADchung.

Ac1=Ac2, vì4ABC cân nên AHlà phân giác.

AC=AB, vì4ABC cân tại A.

Do đó4ADC= 4ADB⇒ƒABD=ƒACD=90◦. VậyB,Cthuộc đường tròn đường kính AD.

2 1

A

B C

D b) Trong tam giácABD vuông tạiD, ta có:

AHãAD=AB2=AH2+BH2⇔AD=

AH2+BC2 4

AH =5cm.

Vậy ta đượcAD=5cm.

ọ Bài 3. Cho tứ giác ABCDcóCb+Db=90◦. GọiM,N,P,Qtheo thứ tự là trung điểm của AB,BD,DC,C A. Chứng minh rằng bốn điểmM,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn.

-Lời giải.

Giả sử AD cắt BC tại E. Khi đó từ giả thiết Cb+Db =90◦, suy ra Eb=180◦−¡

Cb+Db¢

=90◦. Ta lần lượt có:







M N∥AD∥PQ

MQ∥BC∥P N do đó, dựa trên tính chất của góc có cạnh tương ứng song song ta đượcàN MQ=N PQƒ=Eb=90◦.

Vậy bốn điểmM,N,P,Qcùng nằm trên đường tròn đường kínhNQ. D A

C B

Q E

M N

P

ọ Bài 4. Cho tứ giácABCDcó hai đường chéoACvàBDvuông góc với nhau. GọiM,N,P,Qtheo thứ tự là trung điểm củaAB,BC,CD,D A. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,Qcùng nằm trên một đường tròn.

-Lời giải.

Vì M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm của AB,BC,CD,D A nên theo tính chất của đường trung bình ta có







M N∥AC∥PQ MQ∥BD∥P N.

Mặt khác, theo giả thiết AC và BD vuông góc với nhau nênàN MQ=N PQƒ=90◦.

Vậy ốn điểm M,N,P,Q cùng nằm trên đường tròn đường kínhNQ.

M B

N

Q

D

P E

A

C

ọ Bài 5. Cho tứ giácABCD cóBb=Db=90◦.

a) Chứng minh rằng bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh rằngBD≤AC. Tứ giácABCD có thêm điều kiện gì đểBD=AC. -Lời giải.

a) A,B,C,Dthuộc đường tròn đường kínhAC.

b) Ta luôn cóBD≤ACvì dây cung nhỏ hơn đường kính.

Để cóBD=AC⇔BDlà đường kính⇔Ab=Cb=90◦⇔ABCD là hình chữ nhật.

D

A C

B

ọ

Bài 6. Cho đường tròn(O;R), điểmAcố định trên đường tròn, điểmBdi chuyển trên đường tròn. Tìm quỹ tích trung điểmMcủaAB.

-Lời giải.

Phần thuận:Giả sử có Mlà trung điểm của AB. Xét4O AB, ta có:O A=OB=R⇔ 4O ABcân tạiO. Suy raOMvừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.

Do đó AMOƒ=90◦⇔Mthuộc đường tròn đường kínhO A. A

B

O M

Phần đảo:Lấy một điểm M bất kỳ trên đường tròn(O A), AM cắtOtại B. Ta phải chứng minh M là trung điểm củaAB.

Thật vậy,M∈(O A)⇔AMOƒ =90◦⇔OM⊥AB.

Khi đó, trong4O AB cân tạiOta có ngayOMlà trung tuyến⇔M A=MB.

Kết luận:Quỹ tớch của điểmMlà đường trũn(O A). ọ

Bài 7. Cho đường tròn(O;R). Hai điểm A,Bdi chuyển trên đường tròn sao cho độ dài AB=2`không đổi (`<R). Tìm quỹ tích trung điểmMcủa đoạn AB.

-Lời giải.

Phần thuận:Giả sử có Mlà trung điểm của AB.

Xét 4OM A vuông tại M, ta có OM2=O A2−M A2=R2−`2⇔OM= pR2−`2.

VậyMthuộc đường tròn

³ O,p

R2−`2´

. A

B

O M

Phần đảo:Lấy một điểmM bất kỳ thuộc đường tròn³O,p

R2−`2´

, đường thẳng quaMvuông góc với OMcắt(O;R)tạiAvàB. Ta phải chứng minh Mlà trung điểmABvà AB=2`.

Thật vậy, ta thấy ngayMlà trung điểm AB, ngoài ra

AB=2AM=2p

O A2−OM2=2ằ R2−¡

R2−`2¢

=2`

Kết luận:Quỹ tích của điểmMlà đường tròn³O,p

R2−`2´

. ọ

Bài 8. Cho hình bình hành ABCDcó cạnh ABcố định, đường chéo AC=2cm. Tìm quỹ tích điểmD. -Lời giải.

GọiOlà giao điểm của ACvàBD.

Phần thuận:Giả sử có điểmDsao choABCDlà hình bình hành.

Ta cóO A=1

2AC=1cm. Do đóO∈(A, 1).

Giả sử (A, 1) cắt đường thẳng AB tại O1 và O2 (cố định).

GọiB1 và B2 theo thứ tự là điểm đối xứng với Bqua O1vàO2.

Ta có ngay:











Oá1OO2=90◦,góc chắn nửa đường tròn DB1∥OO1,tính chất đường trung bình DB2∥OO1,tính chất đường trung bình. Suy ra, Bá1DB2 =90◦ ⇔ D thuộc đường tròn đường kínhB1B2.

A O1

O2 B1

B2 B

C

D O

Phần đảo:Lấy một điểm Dbất kỳ trên đường tròn(B1B2), BDcắt(A, 1) tạiO, lấyC đối xứng với A quaO. Ta phải chứng minh ABCDlà hình bình hành và AC=2cm.

Thật vậy, ta có ngayAC=2AO=2cm.

Mặt khác, dựa trên hình vẽ cùng với nhận xét







Oá1OO2=90◦ Bá1DB2=90◦

nênDB1∥OO1.

Trong4BB1D, ta có:







BO1=B1O1 DB1∥OO1

nênOO1 là đường trung bình⇒OB=OD.

Khi đó, tứ giác ABCDcó hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Kết luận:Quỹ tớch của điểmDlà đường trũn(B1B2). ọ

Bài 9. Cho đường tròn(O;R)đường kínhBC. ĐiểmAdi động trên(O), gọiP,Qtheo thứ tự là trung điểm củaABvà AC.

a) Chứng minh rằngPQcó độ dài không đổi khi Adi động trên(O). b) Tìm quỹ tích trung điểmMcủaPQ.

-Lời giải.

a) Trong 4ABC có PQ là đường trung bình, do đó PQ =1 2BC= 1

2ã2R=R (khụng đổi).

b) Từ kết quả trên suy raA,M,Othẳng hàng vàMlà trung điểmO A. Do đóOM=1

2O A=R

2 ⇔Mthuộc đường tròn à

O,R 2

ả

. O

M A

B P

C Q

ọ Bài 10. Cho4ABCcó ba góc nhọn, đường caoAD. Dựng điểmMthuộc đường thẳngADsao choBMCƒ= 90◦.

-Lời giải.

Phân tích:Giả sử đã dựng được điểm Mthỏa mãn điều kiện đầu bài.

Ta có,BMCƒ=90◦⇒M∈(BC).

VậyMlà giao điểm của đường thẳngAD với đường tròn(BC). Cách dựng:Ta lần lượt

Dựng(BC).

Đường thẳng ADcắt đường tròn(BC)tại M. Khi đó,Mlà điểm cần dựng.

A

M1

B D C

M2 Chứng minh:Ta thấy ngayBMCƒ=90◦.

Biện luận: Vì đường thẳng AD cắt đường tròn (BC)tại hai điểm M1 và M2 nên bài toán có hai nghiệm

hỡnh, đú làM1và M2. ọ

Bài 11. Cho đường thẳngd và một điểm Acách đường thẳngdla1cm. Dựng đường tròn(O)có bán kính 1,5cm đi qua điểm Avà có tâm nằm trênd.

-Lời giải.

Phân tích:Giả sử đã dựng được đường tròn(O)thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ta có,O A=1,5cm⇒O∈(A; 1,5cm).

Vậy, tâm O là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn (A; 1,5cm).

Cách dựng:Ta lần lượt

Dựng đường tròn(A; 1,5cm). d cắt đường tròn(A; 1,5cm)tạiO. Dựng đường tròn(O; 1,5cm).

A

O1

O2

d

Chứng minh:Ta thấy ngay(O; 1,5cm)thỏa mãn điều kiện đề bài.

Biện luận:Vì đường thẳngdcắt đường tròn(A; 1,5cm)tại hai điểmO1vàO2 nên bài toán có hai nghiệm

hỡnh, đú là hai đường trũn(O1; 1,5cm)và(O2; 1,5cm). ọ

Bài 12. Dựng một đường tròn(O)đi qua hai điểm A và B cho trước và có tâm ở trên đường thẳngd cho trước (A,Bkhông thuộc d).

-Lời giải.

Phân tích:Giả sử đã dựng được đường tròn(O)thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ta có:A,B∈(O)⇒Onằm trên đường trung trựcacủaAB. Vậy tâmOlà giao điểm củaavà d.

Cách dựng:Ta lần lượt

Dựng đường trung trựcacủa AB. d cắtatạiO.

Dựng đường tròn(O,O A).

A B

O

d a

Chứng minh:Ta thấy ngay(O,O A)thỏa mãn điều kiện đề bài.