TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa 1. Một đường thẳng được gọi là một tiếp tuyến của đường tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đường tròn đó.

Nhận xét. Như vậy, ta có:(d)là tiếp tuyến của(O)⇔(d)∩(O)={H}, khi đó ta nói “đường thẳng (d)là tiếp tuyến của đường tròn(O)tạiH”.

1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾN

Tính chất 1. Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Tính chất 2. Nếu đường thẳng vuông góc với bán kính tại mút nằm trên đường tròn thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn.

Nhận xét.

Như vậy, ta có:(d)là tiếp tuyến của(O)tạiH⇔(d)⊥OH. hoặc viết







NếuH∈(O)vàH∈(d)

(d)⊥OH ⇔(d)là tiếp tuyến của(O)tạiH.

O R H

(d)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1 DỰNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Phương pháp

Các yêu cầu dựng tiếp tuyến của đường tròn(O)cho trước thường gặp phải giải quyết một trong ba dạng sau

Dạng 1. Dựng tiếp tuyến đi qua điểmAcho trước.

Dạng 2. Dựng tiếp tuyến song song với đường thẳngacho trước.

Dạng 3. Dựng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳngacho trước.

Phương pháp thực hiện các dạng toán trên được trình bày trong ba dạng toán sau Dạng 1. Từ một điểm Acho trước, hãy dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) cho trước, biết

1 Điểm Anằm trên đường tròn.

2 Điểm Anằm ngoài đường tròn.

O R A

(d)

Phương pháp dựng

1 VìAnằm trên đường tròn nên tiếp tuyến là đương thẳng qua Avà vuông góc vớiO A.

2 Ta thực hiện bốn phần

Phân tích: Giả sử đã dựng được tiếp tuyến quaAvới đường tròn(O)và có tiếp điểmB, ta có ƒABO=90◦⇒Bthuộc đường tròn đường kínhO A.

A O

B

Cách dựng: Ta thực hiện

Dựng đường tròn đường kính AO, kí hiệu(AO), đường tròn này cắt (O)tạiBvàB0.

Dựng đường thẳng ABvà AB0, đó chính là các tiếp tuyến cần dựng.

A O

B

B0

I

Chứng minh: Trong đường tròn(AO)ta có ngay

ƒABO=90◦⇒ABlà tiếp tuyến của đường tròn(O). ABƒ0O=90◦⇒AB0là tiếp tuyến của đường tròn(O).

Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình (tức là, qua Aluôn kẻ được hai tiếp tuyến tới(O)).

4! Nếu điểm A nằm bên trong đường tròn (O) thì qua A không thể kẻ được tiếp tuyến tới đường tròn(O).

Ví dụ 1. Cho4ABC vuông tạiA. Hãy nêu cách dựng tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp4ABC, biết tiếp tuyến đi qua

1 điểmA.

2 điểmB.

-Lời giải.

Vì4ABCvuông tại Anên đường tròn ngoại tiếp4ABCcó tâmOlà trung điểm của BC.

1 Tiếp tuyến quaAlà đường thẳng(a)quaAvà vuông góc vớiO A.

2 Tiếp tuyến quaBlà đường thẳng(b)quaBvà vuông góc vớiOB.

B C

A

O

(a)

(b)

ọ

Dạng 2. Cho đường tròn(O)và một đường thẳng(d). Dựng tiếp tuyến của đường tròn sao cho tiếp tuyến này song song với đường thẳng(d).

Phương pháp dựng

Phân tích: Giả sử đã dựng được tiếp tuyến(t)của đường tròn(O)và tiếp tuyến song song với(d), gọiHlà tiếp điểm, ta cóOH⊥(t)⇔OH⊥(d).

Vậy, với điểmHlà giao điểm của đường tròn(O)với đường thẳng quaOvuông góc với(d).

(t) (d)

H

O

Cách dựng: Ta thực hiện

Dựng đường thẳngxO y⊥(d)và cắt(O)tạiH.

Dựng đường thẳng(t)quaHvà vuông góc vớiOH, đó chính là tiếp tuyến cần dựng.

Chứng minh: Ta có ngay:(t)⊥OHvà(d)⊥OH⇒(t)∥(d)⇒(t)là tiếp tuyến cần dựng.

Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình.

(t1) (d)

H1

H2 (t2)

O

Ví dụ 2. Cho đường tròn đường kính AB. Hãy nêu các dựng tiếp tuyến với đường tròn, biếp tiếp tuyến song song vớiAB.

-Lời giải.

GọiOlà trung điểmAB, ta thực hiện

Dựng đường thẳng(d)qua(O)và vuông góc với AB. Dựng đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểmH1vàH2.

Dựng hai đường thẳng(a), (b)theo thứ tự đi qua hai điểm H1,H2và song song vớiAB.

Khi đó(a), (b)là hai tiếp tuyến cần dựng.

(a)

(b)

H1

H2

A B

ọ Dạng 3. Cho đường tròn(O)và một đường thẳng(d). Dựng tiếp tuyến của đường tròn sao cho tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng(d).

Phương pháp dựng

Phân tích: Giả sử đã dựng được tiếp tuyến(t)của đường tròn(O)và tiếp tuyến vuông góc với(d), gọiHlà tiếp điểm, ta cóOH⊥(t)⇔OH∥(d).

Vậy, với điểm H là giao điểm của đường tròn(O)với đường thẳng quaO song song với (d).

(d)

(t)

O H

Cách dựng: Ta thực hiện

Dựng đường thẳngxO y∥(d)và cắt(O)tạiH.

Dựng đường thẳng(t)qua Hvà vuông góc với OH, đó chính là tiếp tuyến cần dựng.

Chứng minh: Ta có ngay:(t)⊥OHvà(d)∥OH⇒(t)∥(d)⇒(t)là tiếp tuyến cần dựng.

Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình.

(t1)

(t2)

H1

H2 (d)

O

2 GIẢI BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH VÀ ĐỊNH LƯỢNG

Phương pháp

1 Với bài toán cho trước đường thẳng(d)là tiếp tuyến của đường tròn(O)tạiH, ta sẽ nhận được ngay các kết quả(d)⊥OHvàOH=R.

2 Với bài toán cho trước AMvà AN là hai tiếp tuyến của đường tròn(O), ta sẽ nhận ngay được các kết quả

+AM⊥OMvàAN⊥ON, +AM=ANvàM AOƒ =N AOƒ.

Dựa và các kết quả trên ta thực hiện các yêu cầu của bài toán.

Ví dụ 3. Cho đường tròn(O;R)và dây AB=2a. Vẽ một tiếp tuyến song song vớiAB, nó cắt các tia O AvàOBtheo thứ tự tạiMvà N. Tính diện tích4MON.

-Lời giải.

GọiHlà tiếp điểm vàOHcắt ABtạiI, ta cóOH⊥M N vàOH⊥AB.

Trong4O A I, ta cóI A= AB

2 =a.OI2=O A2−I A2=R2−a2

⇒OI=p

R2−a2. Vì4O A Iv4OMHnên

I A

H M = OI

OH ⇒H M= I AãOH

OI = aãR

pR2−a2 ⇒M N=2H M= 2aãR pR2−a2. Ta cóS4MON=1

2OHãM N=1

2Rã 2aãR

pR2−a2 = aãR2 pR2−a2.

I

B A

O H

M

N ọ Nhận xét: Trong lời giải trên chúng ta đã lựa chọn phương pháp trình bày ngược sau suy nghĩ theo kiểu phát sinh yêu cầu, cụ thể ta nghĩ:

Để tínhS4MON=1

2OHãM Ncần xỏc địnhM N, tức là cần xỏc địnhH M(vỡM N=2H M).

H M được xác định thông qua sự đồng dạng của4O A Ivà4OMH, từ đó cần xác địnhI AvàOI. A I=1

2ABcònOI được xác định thông qua4OI A.

Ví dụ 4. Cho nửa đường tròn(O)với đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Axvà B y. Qua một điểmM thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyếnAxvà B ylần lượt ởC vàD. Các đường thẳng ADvàBCcắt nhau ởN. Chứng minh rằng

M N∥AC

1 2 CMãDB=CDãM N

-Lời giải.

D

x y

M C

O

A B

N

1 Theo tính chất tiếp tuyến ta có ngay4DBO= 4D MO(ch−c gv)⇒DB=D M. Tương tự ta cóAC=MC.

Mặt khác, vìAx∥B ynên hai tam giác4ANCvà4D NBđồng dạng, suy ra N D

N A =DB

AC=D M

CM ⇒M N∥AC(định lí Ta-lét đảo). 2 Từ kết quả câu trên suy raM N∥BD⇒ CM

CD =M N

BD ⇔CMãDB=CDãM N(đpcm).

ọ Nhận xét. Trong lời giải trên

1 Ở ý đầu, để chứng minhM N∥AC, ta suy nghĩ theo điều kiện tương đương, tức là giả sử có M N∥AC⇔ N D

N A =MD MC

MD=DB MC=AC=

DB AC luôn đúng vìAx∥B y.

Do vậy khi trình bày lời giải chúng ta xuất phát từ kết quảDB=D M, C A=CM cùng với giả thiết Ax∥B y.

2 Ở ý thứ hai, vẫn với suy nghĩ như trong ý đầu tiên, ta giả sử có CMãDB=CDãM N⇔ CM

CD =M N

BD ⇔M N∥BD∥AC

Do vậy, khi trình bày lời giải chúng ta xuất phát từ giả thiết Ax∥B ycùng kết quả vừa thu được ở ý thứ nhất để có nhận xétM N∥BD.

3 CHỨNG MINH MỘT ĐƯỜNG THẲNG LÀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Để chứng minh đường thẳngdlà tiếp tuyến của đường tròn(O;R)ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1: Nếu biết một giao điểm Acủadvà(O)thì ta chứng minhO A⊥d.

Cách 2: HạO Avuông góc vớid, ta đi chứng minhO A=R.

Ví dụ 1. Cho4ABCcân tại Anội tiếp đường tròn tâmO. Vẽ hình bình hành ABCD. Tiếp tuyến tại Ccủa đường tròn cắt đường thẳng ADtạiN. Chứng minh rằng

1 Đường thẳng ADlà tiếp tuyến của đường tròn(O).

2 Ba đường thẳngAC,BDvàON cùng đi qua một điểm.

-Lời giải.

C I

N D

B

O A

1 Vì4ABCcân tạiAnênO A⊥BC.

VìABCDlà hình bình hành nên AD∥BC⇒AD⊥O A.

Điều này chứng tỏADlà tiếp tuyến của đường tròn(O).

2 GọiIlà giao điểm củaACvàBD, suy raI là trung điểmAC⇒OI⊥AC.

Mặt khác,4AON= 4CON⇒O A=OCvàN A=NC.

Do đóNOlà trung trực AC⇒ON⊥AC.

Vậy nênI∈ON, suy raAC,BD,ONcùng đi qua điểmI.

ọ Nhận xét. 1 Như vậy, trong ví dụ trên để chứng minh ADlà tiếp tuyến của đường tròn(O), ta chỉ cần

chứng minhAD⊥O Abởi A∈(O).

2 Với yêu cầu ngược lại “Tìm điều kiện để đường thẳngd là tiếp tuyến của đường tròn(O;R)” ta cần cód(O,d)=R.

Ví dụ 2. Cho đường tròn(O), đường kính AB. VẽCD vuông góc vớiO Atại trung điểm IcủaO A. Các tiếp tuyến với đường tròn tạiCvà tạiDcắt nhau ởM.

1 Chứng minh rằng ba điểmM, A,Bthẳng hàng.

2 Tứ giácOC ADlà hình gì?

3 TínhCMDƒ.

4 Chứng minh rằng đường thẳngMClà tiếp tuyến của đường tròn(B;BI). -Lời giải.

A

C C M

K D

B O

I

1 Ta cóABlà đường kính vuông góc vớiCDnênABlà đường trung trực củaCD.

Ta lại cóMC=MD(do4MDO= 4MCO) nênMthuộc trung trực củaCD, tức làM∈AB.

Do đóM,A,Bthẳng hàng.

2 Tứ giácOC ADcó hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nênOC ADlà hình thoi.

3 Trong4AOCta cóO A=OC=C A⇔ 4O AC là tam giác đều.

Do đóƒAOC=60◦⇒CMOƒ=30◦⇒CMDƒ =60◦.

4 HạBK vuông góc vớiMC, ta cóMC Aƒ =DC Aƒ=30◦⇒C Alà phân giác của gócMCD.ƒ Ta lại cóAC⊥BCnênCBlà phân giác gócK CDƒ⇒BI=BK.

Do đóMClà tiếp tuyến của đường tròn(B;BI).

Nhận xét. 1 Ở câu a), để chứng minh M, A, Bthẳng hàng chúng ta xác định vị trí của chúng đối với CDvà cụ thể chúng nằm trên đường trung trực củaCDdo đó xuất phát từ nhận xét ABlà trung trực củaCDchúng ta chỉ cần chứng minhMcũng thuộc trung trực củaCD, điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khiMC=MD.

2 Ở câu b), chúng ta sử dụng kết quả “Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường”.

3 Ở câu c), chúng ta sử dụng kết quả câu b) và tính chất của tiếp tuyến đường tròn.

4 Ở câu d) chúng ta sử dụng kết quả về vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn để đưa ra kết luận cho tiếp tuyếnMCvà dễ thấyMD cũng là tiếp tuyến của(B;BI).

5 Các kết quả ở câu a) và câu d) vẫn đúng nếu thay điều kiện “trung điểmIcủaO A” bới “I nằm giữa O và A”. Trong trường hợp này ta chứng minh MC Aƒ =ƒACD bằng nhận xét MC Aƒ phụ với ƒACO,

ƒACDphụ vớiƒC AO, màƒACO=C AOƒ.

ọ 4 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TIẾP TUYẾN ĐỂ TÌM QUỸ TÍCH

Việc sử dụng tính chất của tiếp tuyến để tìm quỹ tích điểm Mđược hiểu là việc khai thác các tính chất đó để chỉ ra tính chất của điểmMtrong phần thuận của bài toán quỹ tích.

Ví dụ 1. Cho đường tròn(O; 2cm)và một điểm A chạy trên đường tròn đó. Từ Avẽ tiếp tuyến x y. Trên tia Axlấy điểm M, trên tia A y lấy điểm N sao cho AM=AN =2p

3cm. Tìm quỹ tích các điểmMvà N.

-Lời giải.

O

A N

M

Phần thuận:Với hai điểmM,NđiểmAthỏa mãn điều kiện đầu bài.

Trong4OM Nta cóO Alà đường cao và trung tuyến nên4OM Ncân tạiO. Suy raOM=ON.

Trong4O AMvuông tạiA, ta cóOM=p

O A2+M A2=4cm. Do đóM,Ncùng thuộc đường tròn(O; 4cm).

Phần đảo:Lấy điểmAbất kì trên(O; 2cm).

TừAvẽ tiếp tuyếnx yvới đường tròn(O; 2cm)cắt đường tròn(O; 4cm)tạiMvàN.

Chứng minhAM=AN=2p

3cm. Thật vậy,O A⊥M N nên AM=AN=p

OM2−O A2=2p 3cm.

Kết luận:Quỹ tớch của cỏc điểmM,Nlà đường trũn(O; 4cm). ọ Ví dụ 2. Cho đường tròn(O;R). Tìm quỹ tích của điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC đến(O;R)sao choƒB AC=60◦.

-Lời giải.

A O

B

C

Phần thuận:Giả sử tồn tại điểmAthỏa mãn điều kiện đầu bài.

Trong4O ABta cóB AOƒ=1

2ƒB AC=30◦(do4O AB= 4O AC).

Do đóOB=1

2O A⇒O A=2OB=2R. Vậy nênAthuộc đường tròn(O; 2R).

Phần đảo:Lấy điểmAbất kì trên đường tròn(O; 2R).

TừAvẽ hai tiếp tuyếnAB, ACvới đường tròn(O;R). Ta cần chứng minhƒB AC=60◦. Trong4O AB, ta cóOB=1

2O A⇒B AOƒ=30◦⇒ƒB AC=2ƒB AO=60◦.

Kết luận:Quỹ tớch của điểmAlà đường trũn(O; 2R). ọ

Nhận xét. 1 Trong lời giải trên, dựa vào dạng đặc biệt của4O ABvuông tạiB, chúng ta tính được độ dài đoạnO Abằng cách sử dụng hệ thức lượng giác cho gócB AOƒ.

2 Chúng ta sẽ đi giải bài toán tổng quát là

“Cho đường tròn(O;R). Tìm quỹ tích của điểmAmà từ đó kẻ được hai tiếp tuyếnAB, ACđến(O;R) sao choƒB AC=2α”.

Ta sẽ lần lượt thực hiện:

Phần thuận:Giả sử tồn tại điểm Athỏa mãn điều kiện đầu bài.

Trong4O ABta cóƒB AO=1

2ƒB AC=α(do4O AB= 4O AC). Do đóOB=O Asinα⇒O A= R sinα. Vậy nênAthuộc đường tròn

à O; R

sinα

ả . Phần đảo:Lấy điểm A bất kì trên đường tròn

à O; R

sinα

ả

. Từ A vẽ hai tiếp tuyếnAB, ACvới đường tròn(O;R). Ta cần chứng minhƒB AC=2α.

Trong4O AB, ta cósinƒB AO= OB O A= R

R sinα

=sinα⇒B AOƒ=α⇒ƒB AC=2α.

Kết luận:Quỹ tích của điểm Alà đường tròn à

O; R sinα

ả . C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho 4ABC cân tại A. Hãy nêu cách dựng tiếp tuyến a của đường tròn ngoại tiếp 4ABC tại A. Chứng minh rằnga∥BC.

-Lời giải.

B H C a

A

O

Cách dựng:Dựng đường thẳng qua Avà vuông góc vớiO A.

Vì4ABCcân tại Anên tâmOcủa đường tròn ngoại tiếp4ABC thuộc đường caoAH. Do đó AO⊥BC.

Mặt khỏc,a⊥O Anờna∥BC. ọ

Bài 2. Cho4ABC vuông cân tạiA.

1 Hãy nêu cách dựng tiếp tuyếnacủa đường tròn ngoại tiếp4ABC tạiA. Chứng minh rằnga∥BC.

2 Hãy nêu cách dựng các tiếp tuyếnb,ccủa đường tròn ngoại tiếp4ABCtạiBvàC. Chứng minh rằng b∥c.

-Lời giải.

A a

O C

c B

b

1 Cách dựng:Dựng đường thẳng qua Avà vuông góc vớiO A.

Vì 4ABC vuông cân tại A nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp 4ABC là trung điểm BC và AO⊥BC.

Mặt khác,a⊥O Anêna∥BC.

2 Cách dựng:Dựng đường thẳng bquaBvà vuông góc vớiOB. Dựng đường thẳng cquaCvà vuông góc vớiOC.

Ta cóbquaBvà vuông góc vớiBCvà cquaC và vuông gócBC. Do đób∥c.

ọ Bài 3. Cho4ABC đều.

1 Hãy nêu cách dựng tiếp tuyếnacủa đường tròn ngoại tiếp4ABC tạiA. Chứng minh rằnga∥BC.

2 Hãy nêu cách dựng các tiếp tuyếnb, ccủa đường tròn ngoại tiếp4ABCtạiBvàC. Giả sửbvà ccắt nhau tạiD. Chứng minh rằng4BCDđều.

-Lời giải.

O B

A

C a

D

1 Cách dựng:Dựng đường thẳng qua Avà vuông góc vớiO A.

Vì4ABCđều nên tâmOcủa đường tròn ngoại tiếp4ABCthuộc đường cao AH. Do đó AO⊥BC.

Mặt khác,a⊥O Anêna∥BC.

2 Cách dựng:Dựng đường thẳng bquaBvà vuông góc vớiOB. Dựng đường thẳng cquaCvà vuông góc vớiOC.

Xét4BCD, ta có

BD=DC(do4OBD= 4OCD)

vàƒCBD=OBDƒ−ƒOBC=90◦−30◦=60◦. Do đó4BCDđều.

ọ Bài 4. Từ một điểm Anằm ngoài đường tròn (O;R), vẽ hai tiếp tuyến AB, ACvới đường tròn. Trên cung nhỏBClấy điểm D. Tiếp tuyến tạiD của đường tròn cắt ABtại M, cắt AC tạiN. Cho biết hình tính của 4ABCvà tính chu vi của4AM N trong các trường hợp sau:

O A=2R.

1 O A=Rp

2.

2

-Lời giải.

C N

A

D

O B

M

Ta cóAB=AC(do4O AB= 4O AC) nên4ABCcân tại A.

Ta lại cóMD=MB(do4OMD= 4OMB) và N D=NC (do4ON D= 4ONC).

Chu vi4AM N là

P = AM+AN+M N

= AM+AN+MD+N D

= AM+AN+MB+NC

= AB+AC

= 2AB Ngoài rasinO ABƒ= OB

O A.

1 VớiO A=2R ta cósinƒO AB= R 2R =1

2⇒ƒO AB=30◦⇒ƒC AB=60◦ nên4ABC đều.

Khi đóP=2AB=2p

O A2−OB2=2p

4R2−R2=2Rp 3.

2 VớiO A=Rp

2ta cósinƒO AB= Rp 2 2R =

p2

2 ⇒ƒO AB=45◦⇒ƒC AB=90◦ nên4ABC vuông cân tạiA.

Khi đóP=2AB=2p

O A2−OB2=2p

2R2−R2=2R.

ọ Bài 5. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn(O), kẻ hay tiếp tuyến ABvà AC với đường tròn. Từ một điểmMtrên cung nhỏBCkẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tạiP vàQ. Khẳng định khi điểm M di động trên cungBCthì chu vi4APQ có giá trị không đổi là đúng hay sai?

-Lời giải.

C Q

A

M

O B

P

Ta cóAB=AC(do4O AB= 4O AC).

Ta lại cóP M=PB(do4OP M= 4OPB) vàQ M=QC (do4OQ M= 4OQC).

Chu vi4APQlà

AP+AQ+PQ = AP+AQ+MP+MQ

= AP+AQ+PB+QC

= AB+AC

= 2ABlà không đổi.

ọ

Bài 6. Cho nửa đường tròn tâmOđường kínhAB. Từ một điểm Mtrên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyếnx y. Vẽ ADvàBCvuông góc với x y.

1 Khẳng địnhMC=MD là đúng hay sai?

2 Khẳng định AD+BCcó giá trị không đổi khiMchuyển động trên đường tròn là đúng hay sai?

3 Khẳng định đường tròn đường kínhCDtiếp xúc với ba đường thẳngAD,BCvà ABlà đúng hay sai?

4 Xác định vị trí của điểmMtrên nửa đường tròn(O)để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.

-Lời giải.

M C

D

O

A H B

1 Xét tứ giác ABCD cóAD∥BC(do cùng vuông góc với x y)

⇒ABCDlà hình thang vuông.

Mặt khác, ta lại có







O A=OB

OM∥AD ⇔OMlà đường trung bình.

Do đóMC=MD.

2 Theo câu trên ta có AD+BC=2OM=2R không đổi.

3 HạMHvuông góc với AB, ta có ngayMH=MC.

Vậy đường tròn đường kínhCDtiếp xúc với ba đường thẳng AD,BCvà AB.

4 Ta cóSABCD=1

2(AD+BC)ãCD=RãCD. Do đóSABCD lớn nhất khi và chỉ khiCDlớn nhất.

Trong hình thang vuôngABCD, ta có nhận xétCD≤AB=2R⇒CDmax=2Rđạt được khi ABCD là hình chữ nhật.

Điều này chỉ xảy ra khiMlà điểm chính giữa của cung tròn đường kính AB.

ọ Bài 7. Cho4ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi Olà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Các tiếp tuyến của đường tròn tạiBvà Ccắtdtheo thứ tự ởDvàE.

1 TínhDOEƒ.

2 Khẳng địnhDE=BD+CElà đúng hay sai?

3 Khẳng địnhBDãCE=R2là đỳng hay sai? (R là bỏn kớnh đường trũn(O))

4 Khẳng địnhBClà tiếp tuyến của đường tròn đường kínhDE là đúng hay sai?

-Lời giải.