BÀI 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM
3. Vị trí của hai đường thẳng phân biệt
Hoặc không có điểm chung nào (gọi là hai đường thẳng song song).Ví dụ hình bên hai đường thẳnga và b song song.
Hoặc chỉ có một điểm chung (gọi là hai đường thẳng cắt nhau).
Ví dụ hình bên hai đường thẳng m và n cắt nhau tại điểm O.
Điểm chung của hai đường thẳng gọi là giao điểm của hai đường thẳng đó.
O là giao điểm của hai đường m và n.
a b
m n
O
B CÁC DẠNG TOÁN
{ DẠNG 1. Đường thẳng đi qua hai điểm
Phương pháp giải:
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm.
Khi nói hai đường thẳng mà không nói gì thêm ta hiểu là hai đường thẳng phân biệt.
VÍ DỤ 1.
Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó chỉ có ba điểm A, B, C thẳng hàng. Cứ qua hai điểm phân biệt vẽ một đường thẳng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng phân biệt?
Viết tên những đường thẳng đó.
A B E D
C
- LỜI GIẢI.
Có 8đường thẳng phân biệt.
Tên các đường thẳng đó là: EA, EB, EC, ED, DA, DB, DC, AB. Do A, B, C thẳng hàng nên các đường thẳng AB, AC, BC trùng nhau, nên ta chỉ kể ra đưởng thẳng AB.
VÍ DỤ 2. Cho năm điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng. Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi kẻ được bao nhiêu đường thẳng?
- LỜI GIẢI.
Từ một điểm nối với bốn điểm khác ta kẻ được 4 đường thẳng.
Với 5điểm ta kẻ được 5ã4 = 20đường thẳng, mỗi đường thẳng đó được tớnh hai lần. Do đú, số lượng
đường thẳng kẻ được là 20 : 2 = 10 (đường thẳng).
VÍ DỤ 3. Cho biết ba điểm A, C, D thẳng hàng và ba điểm C, D, B thẳng hàng. Hai đường thẳng AC và BD có trùng nhau không? Tại sao?
- LỜI GIẢI.
Vì ba điểm A, C, D thẳng hàng nên đường thẳng AC đi qua điểmC và D. Vì ba điểm C, D, B thẳng hàng nên đường thẳngBD đi qua điểmC vàD. Qua hai điểmC vàD chỉ có thể vẽ được một đường
thẳng nên đường thẳng AC và đường thẳng BD trùng nhau.
{ DẠNG 2. Giao điểm của đường thẳng
Phương pháp giải: Hai đường thẳng chỉ có một điểm chung thì điểm chung gọi là giao điểm của hai đường thẳng đó.
VÍ DỤ 4. Cho 3 đường thẳnga, b, cphân biệt. Có thể có tất cả bao nhiêu giao điểm tạo thành?
- LỜI GIẢI.
Có thể có 0 giao điểm.
a) b) Có thể có 1giao điểm.
Có thể có 2 giao điểm.
c) d) Có thể có 3giao điểm.
a) b) c) d)
VÍ DỤ 5. Cho bốn đường thẳnga, b, c, d trong đó ba đường thẳnga, b, c cùng đi qua một điểm và ba đường thẳng a, c, dcùng đi qua một điểm. Chứng tỏ rằng bốn đường thẳnga, b, c, d cùng đi qua một điểm.
- LỜI GIẢI.
• Ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua một điểm nên đường thẳng b đi qua giao điểm của đường thẳnga và đường thẳng c.
• Ba đường thẳng a, c, d cùng đi qua một điểm nên đường thẳng d đi qua giao điểm của đường thẳnga và đường thẳng c.
Suy ra a, b, c, d cùng đi qua một điểm.
{ DẠNG 3. Đếm số đường thẳng
Phương pháp giải: Với nđiểm cho trước(n ∈N, n ≥2), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng thỡ số đường thẳng vẽ được là nã(n−1)
2 .
VÍ DỤ 6. Cho trước100điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng?
- LỜI GIẢI.
Áp dụng công thức ta có:
100ã(100−1)
2 = 4950
Vậy ta vẽ được4950 đường thẳng.
VÍ DỤ 7. Cho trước một số điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Biết tổng số đường thẳng vẽ được là28. Hỏi có bao nhiêu điểm cho trước?
- LỜI GIẢI.
Gọi số điểm là n(n ∈N, n≥2).
Áp dụng công thức ta có:
nã(n−1)
2 = 28 hay nã(n−1) = 56 = 8ã7.
Suy ra n= 8.
Vậy có8 điểm cho trước.
{ DẠNG 4. Chứng tỏ nhiều điểm thẳng hàng
Phương pháp giải: Chứng tỏ các điểm này thuộc hai hay nhiều đường thẳng mà các đường thẳng này có hai điểm chung.
VÍ DỤ 8. Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó ba điểm A, B, C thẳng hàng; ba điểm B, C, D thẳng hàng. Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường thẳng.
- LỜI GIẢI.
Ba điểm A, B, C thẳng hàng nên chúng cùng thuộc một đường thẳng.
Ba điểm B, C, D thẳng hàng nên chúng cùng thuộc một đường thẳng.
Hai đường thẳng này có hai điểm chung là B và C nên chúng trùng nhau.
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường thẳng.
4! Dựa vào kỹ thuật trên, bạn có thể làm được bài toán sau: Cho 2015 điểm phân biệt trong đó bất kì ba điểm nào cũng thẳng hàng. Chứng tỏ rằng 2015 điểm đó cùng thuộc một đường thẳng.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI 1. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
1 Có vô số điểm cùng thuộc một đường thẳng.
2 Có vô số đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
3 Trong ba điểm thẳng hàng, có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
4 Hai đường thẳng phân biệt thì hoặc là cắt nhau, hoặc là song song.
- LỜI GIẢI.
1 Đúng. Theo định nghĩa về đường thẳng.
2 Sai. Vì có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
3 Đúng.
4 Đúng. Vì hai đường thẳng phân biệt thì không trùng nhau.
BÀI 2. Cho bốn điểm M, N, P, Q, trong đó chỉ có ba điểm N, P, Q thẳng hàng. Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi kẻ được bao nhiêu đường thẳng?
- LỜI GIẢI.
Từ điểm M nối với ba điểm N, P, Q ta kẻ được ba đường thẳng. Ba điểm N, P, Q thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng NQ. Các đường thẳng kẻ được là: M N, M P, M Q, N Q.
Vậy ta kẻ được bốn đường thẳng.
N P
M
Q
BÀI 3. Cho bốn điểm A, B, C, D, trong đó ba điểm A, B, C thẳng hàng và ba điểm A, B, D cũng thẳng hàng. Chứng tỏ:
1 Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường thẳnga.
2 Lấy điểm M không thuộc đường thẳng a. Vẽ các đường thẳng đi qua mỗi cặp điểm. Hỏi mỗi điểm A, B, C, D, M là giao điểm của những đường thẳng nào?
- LỜI GIẢI.
1 A, B, C thẳng hàng nênC nằm trên đường thẳng AB.
A, B, D thẳng hàng nên Dnằm trên đường thẳng AB.
Suy raC, D cùng nằm trên đường thẳng AB hay A, B, C, D cùng nằm trên đường thẳng a.
2 Từ điểm M nối với 4 điểm A, B, C, D ta kẻ được 4 đường thẳng. Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường thẳng a.
Vậy có tất cả năm đường thẳng đó là: M A, M B, M C, M D và a.
Điểm M là giao điểm của bốn đường thẳng M A, M B, M C, M D;
ĐiểmA là giao điểm của đường thẳng M A và a;
ĐiểmB là giao điểm của đường thẳng M B và a;
ĐiểmC là giao điểm của đường thẳng M C vàa;
ĐiểmD là giao điểm của đường thẳng M D và a.
a
A B C
M
D
BÀI 4. Cho hai đường thẳng a, bphân biệt. Trên đường thẳng a lấy 21 điểm, trên đường thẳngb lấy 14 điểm (không trùng với giao điểm nếu có). Nối hai điểm bất kỳ trong 35 điểm trên ta được một đường thẳng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo thành?
- LỜI GIẢI.
• Mỗi điểm thuộc đường thẳng a nối với 14điểm thuộc đường thẳng b ta được 14 đường thẳng.
Suy ra21điểm thuộc đường thẳnganối với14điểm thuộc đường thẳngb ta được21×14 = 294 đường thẳng.
• Kể cả hai đường thẳnga và b ta có tổng số đường thẳng tạo thành:
294 + 2 = 296đường thẳng.
BÀI 5. Bạn hãy điền số thích hợp vào dấu “?” cho thật hợp lí.
3 5 4 ?
- LỜI GIẢI.
Số viết ở bên mỗi hình là số giao điểm của các đường thẳng trong hình vẽ.
Vậy theo hình thứ tư, ta điền số4 vào dấu "?".
BÀI 4 TIA
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tia
Định nghĩa 1. Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi O là một tia gốcO.
Khi đọc (hay viết) tên một tia, phải đọc (hay viết) tên gốc trước.
Hình bên: Tia Ox.
O x