Định nghĩa 3.
TiaOz nằm giữa hai tiaOxvàOy nếu tiaOz cắt đoạn thẳngM N tại một điểm nằm giữaM vàN (M ∈Ox;N ∈Oy vàM, N không trùng với O).
M z
x
N y O
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
{ DẠNG 1. Đoạn thẳng cắt hay không cắt đường thẳng
Phương pháp giải: Phương pháp giải
Nếu hai điểm A, B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a (A, B /∈ a) thì đoạn thẳng AB cắt a.
Nếu hai điểmA, B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờa (A, B /∈a) thì đoạn thẳng ABkhông cắt a.
VÍ DỤ 1. Cho ba điểm M, N, P không thẳng hàng nằm ngoài đường thẳng a. Biết rằng đường thẳng a cắt đoạn thẳng M N nhưng không cắt đoạn M P.
1 Gọi tên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a.
2 Đoạn thẳng N P có cắt đường thẳng a không?
Vì sao?
M a
P
N
- LỜI GIẢI.
1 Hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a là
Nửa mặt phẳng bờ a chứa điểmM và điểm P. Nửa mặt phẳng bờ a chứa điểmN.
2 Đường thẳng a cắt đoạn M N nên M, N thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a (1).
Đường thẳng a không cắt đoạn M P nên M, P thuộc cùng một nửa mặt phẳng đối nhau bờ a (2).
Từ (1) và (2) suy ra N và P thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a nên đoạn thẳng N P cắt đường thẳng a.
VÍ DỤ 2. Cho đường thẳng xy. Lấy hai cặp điểm M, N và P, Q không thuộc xy, nằm ở hai phía củaxy. NốiM N,N P,P Q,QM. Hỏi đường thẳngxycắt những đoạn thẳng nào và không cắt đoạn nào? Vì sao?
- LỜI GIẢI.
M, N thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ xy nên xy không cắt đoạn thẳngM N.
P, Q thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ xy nên xy không cắt đoạn thẳngP Q.
M,Qở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ xy nênxy cắt đoạn thẳng M Q.
N,P ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờxy nên xy cắt đoạn thẳng N P.
Nhận xét: Nếu nối M P, N Q thì xy cắt cả hai đoạn thẳng này.
M
N
Q P
x y
{ DẠNG 2. Nhận biết một tia nằm giữa hai tia
Phương pháp giải: Phương pháp giải
Điểm M thuộc tia Ox, điểm N thuộc tia Oy (M, N khác O) Nếu đoạn M N cắt tia Oz thì tia Oz nằm giữa tiaOx và Oy.
Nếu đoạn M N không cắt tia Oz thì tiaOz không nằm giữa tia Oxvà Oy.
VÍ DỤ 3. Cho hình sau. Tia nào nằm giữa hai tia khác?
A B
C O
N
O M
P
A B
C
O
D
Hình 1 Hình 2 Hình 3
- LỜI GIẢI.
Trên hình 2, không có tia nào nằm giữa hai tia còn lại.
Trên hình 3, tiaOB nằm giữa tiaOC và tia OD. TiaOC và tiaOD nằm giữa hai tiaOAvà OB.
VÍ DỤ 4. Cho tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy không đối nhau. Tia Ot nằm giữa hai tia Oz, Oy. Chứng tỏ tia Oz nằm giữa tia Ox vàOt.
- LỜI GIẢI.
Lấy điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy. Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy nên tiaOz cắt đoạn AB tại C nằm giữa A, B.
Tia Otnằm giữa hai tia Oz, Oy nên tiaOt cắt đoạnCB tại Dnằm giữa C, B. Suy ra điểm C nằm giữa A, D, do đó tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot.
A x
O B y
D z
t C
Bài tập tự luyện
BÀI 1. Cho ba điểm M, N, P nằm ngoài đường thẳng d, biết rằng d cắt M N và d không cắt M P. Khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?
(A) M và N nằm khác phía đối với đường thẳng d.
(B) N và P nằm khác phía đối với đường thẳngd.
(C) P và M nằm khác phía đối với đường thẳngd.
(D) P và M nằm cùng phía đối với đường thẳng d.
- LỜI GIẢI.
Đường thẳng d cắt M N nên M và N nằm khác phía đối với đường thẳng d, do đó (A) đúng.
Đường thẳngdkhông cắtM P nên P vàM nằm cùng phía đối với đường thẳng d, do đó (D) đúng.
Từ hai nhận định trên suy ra N và P nằm khác phía với đường thẳng d nên (B) đúng.
(D) là đúng suy ra (C) là khẳng định sai.
M d
P
N
BÀI 2. Cho bốn điểmM, N, P, Qkhông nằm trên đường thẳnga, trong đóM vàN thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ a, cònP và Qthuộc nửa mặt phẳng kia. Qua hai điểm vẽ một đoạn thẳng. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng cắt đường thẳng a, hãy kể tên?
- LỜI GIẢI.
M, P thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ a nên M P cắt a.
Tương tự, M Q, N P, N Q cũng cắt a.
Vậy số đoạn thẳng cắt đường thẳng a là4, đó là các đoạn M P, M Q, N P, N Q.
M
a Q
P N
BÀI 3. Cho bốn điểm A, B, C, D nằm ngoài đường thẳng a. Biết rằng cả ba đoạn thẳng AB, BC, CD đều cắta. Hỏi đoạn thẳng BD, AD có cắt a không?
- LỜI GIẢI.
• BC cắt a nên C và B nằm khác phía đối với a.
• CD cắt a nên C vàD nằm khác phía đối với a.
Từ đó suy ra B và D nằm cùng phía đối vớia (1).
Vậy đoạn BD không cắta.
• AB cắt a nên A và B nằm khác phía đối với a, kết hợp với (1) suy ra A và D nằm khác phía với a, do vậy AD cắt a.
A
C
a
B D
BÀI 4. Cho bốn điểm A, B, C, D nằm ngoài đường thẳng a. Biết rằng các đoạn thẳng AB, BC không cắt đường thẳng a, đoạn thẳngCD cắt đường thẳng a.
1 Hãy chứng tỏ hai điểmA và C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờa.
2 Hãy chứng tỏ hai điểmA và D thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a.
3 Gọi I là giao điểm của đường thẳng a với đoạn thẳng AD. Trong ba tia CA, CD, CI tia nào nằm giữa hai tia còn lại?
- LỜI GIẢI.
1 AB không cắta nên A và B nằm cùng phía đối vớia.
BC không cắta nên B và C nằm cùng phía đối vớia, do đó A và C thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ a.
2 AvàC nằm cùng phía đối vớia, CD cắta nênC vàDnằm khác phía đối với a.
Do đóA và D nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a.
3 AvàD thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờanên ADcắt a tại I thuộc đoạn AD. Do đó tiaCI nằm giữa hai tiaCA và CD.
C
a A
B
D I
BÀI 2 GÓC