2.2 Bài toán tô màu đồ thị
2.2.2 Một số tính chất
Định lí 2.2.1. Một chu trình độ dài lẻ luôn có sắc số bằng 3.
Chứng minh.
Giả sử α là một chu trình độ dài lẻ tùy ý. Khi đó tồn tại số tự nhiên n để |α| = 2n+ 1.
Ký hiệu các đỉnh của α một cách trực tiếp bằng x1, x2, ..., x2n, x2n+1. Ta sẽ chứng minh khẳng định trên bằng phương pháp quy nạp theo n.
1) Với n = 1, chu trình α gồm 3 đỉnh x1, x1, x3.
Do mỗi đỉnh xi,(1 ≤ i ≤ 3) đều kề với hai đỉnh còn lại, nên ta phải dùng đúng 3 màu khác nhau thì mới đủ tô trên mỗi đỉnh một màu, để hai đỉnh kề nhau tùy ý đều có màu khác nhau.
2) Giả sử khẳng định đã đúng với n ≤ k, tức là đối với chu trình α1 tùy ý với độ dài 2n+ 1,(1 ≤ n ≤ k) đều có sắc số bằng 3. Cần chỉ ra rằng với n = k + 1 khẳng định vẫn đúng, tức là chu trình α tùy ý
có độ dài bằng 2(k + 1) + 1 và có tập đỉnh được đánh số liên tiếp là x1, x2, ..., xk, xk+1, ..., x2k+2, x2k+3.
Hình 2.11
Nối đỉnh x1 với đỉnh x2k+1 ta được chu trình α1 với độ dài 2k + 1.
Theo giả thiết quy nạp, sắc số của α1 bằng 3, đồng thời x1 và x2k+1 có màu khác nhau. Chẳng hạn, x1 được tô màu M1 và x2k+1 được tô bằng màu M2. Khi đó để tô đỉnh x2k+2 ta có thể dùng lại màu M1 và tô đỉnh x2k+3 màu M2. Tức là không phải thêm màu mới. Vậy sắc số của α bằng 3.
Khẳng định được chứng minh.
Lớp đồ thị có chu trình tam giác cùng màu
Để phục vụ cho việc giải quyết một số bài toán nào đó ta cần xét những dãy số đặc biệt và đưa ra các khẳng định thích hợp, chẳng hạn, để xây dựng những lớp đồ thị có chu trình tam giác cùng màu người ta đưa ra các dãy số nguyên dương:
a1 = 2, a2 = 5, ..., an+1 = (n+ 1)an + 1 u2 = 3, u3 = 6, ..., un+1 = (un−1)n+ 2 và có định lý sau:
Định lí 2.2.2. a. Một đồ thị đầy đủ và vô hướng với an + 1 đỉnh, các cạnh được tô bằng n màu luôn có chu trình tam giác cùng màu.
b. Một đồ thị đầy đủ vô hướng un+1 đỉnh, các cạnh được tô bằng n màu luôn có chu trình tam giác cùng màu.
Chứng minh.
a. Chứng minh bằng quy nạp theo n
1) Với n = 1 đồ thị đầy đủ tương ứng gồm a1+ 1 = 2 + 1 = 3 đỉnh lập thành một chu trình tam giác. Các cạnh của đồ thị này được tô bằng một màu, nên chu trình tam giác lập nên G1 cùng màu.
2) Giả sử khẳng định đã đúng với n= k, tức là đồ thị đầy đủ bất kỳ Gk gồm ak + 1 đỉnh với các cạnh được tô bằng k màu đã có chu trình tam giác cùng màu. Cần chứng minh rằng khẳng định cũng đúng với n= k+ 1.
Xét đồ thị đầy đủ tùy ý Gk+1 với ak+1 + 1 đỉnh và các cạnh được tô bằng k + 1 màu, nên xuất phát từ đỉnh P phải có ít nhất ak + 1 cạnh được tô bằng cùng một màu. Giả sử màu này là màu đỏ và các cạnh P A1, P A2, ..., P Aak, P Aak+1 được tô bằng màu đỏ. Có hai khả năng xảy ra:
i) Nếu một trong các cạnh nối giữa các đỉnh Ai, Aj,(1≤ i, j ≤ak+ 1) được tô màu đỏ, chẳng hạn cạnh A1, A2 màu đỏ. Khi đó chu trình tam giác A1P A2 màu đỏ, nên đồ thị Gk+1 có chu trình tam giác màu đỏ.
ii) Ngược lại, nếu không có cạnh nào trong các cạnh Ai, Aj,(1 ≤ i, j ≤ ak + 1) được tô màu đỏ. Khi đó đồ thị con đầy đủ Gk với tập đỉnh A1, A2, ..., Aak, Aak+1 có các cạnh được tô bằng không quá k màu, nên theo giả thiết quy nạp Gk đã có chu trình tam giác cùng màu, do đó Gk+1 có chu trình tam giác cùng màu.
Khẳng định được chứng minh.
b. Chứng minh tương tự như phần a.
Định lí 2.2.3. Đồ thị đầy đủ có un+1−1 đỉnh (n ≥2) với n màu cạnh (các cạnh được tô bằng n màu), sao cho không có tam giác cùng màu nào, luôn luôn có 5 hình cạnh với các cạnh cùng màu và các đường chéo được tô bằng màu khác.
Chứng minh. 1. Với n = 2 đồ thị tương ứng G2 đầy đủ có u3 −1 = 5 đỉnh và 2 màu cạnh (xanh, đỏ) không có đồ thị con K3 cùng màu. Khi đó G2 có thể biểu diễn ở dạng hình 5 cạnh với cạnh cùng màu đỏ và đường chéo màu xanh.
Thật vậy, do G2 đầy đủ nên mỗi đỉnh xuất phát đúng 4 cạnh được tô bằng 2 màu. Chính xác hơn, tại từng đỉnh, mỗi màu được tô trên đúng 2 cạnh. Giả sử ngược lại, tại đỉnh A màu đỏ được tô trên 3 cạnh là AB, AC và AD. Khi đó một trong 3 cạnh BC, BD, CD màu đỏ, đồ thị có tam giác đỏ. Ngược lại cả 3 cạnh đều màu xanh, đồ thị có tam giác xanh.
Giả sử A có các cạnh đỏ là AB và AC (đường liền nét), còn AD và AE là xanh (đường nét đứt). Khi đó cạnh BC phải xanh và ED là đỏ (hình 2.12a).
Hai cạnh BE và CE không thể cùng xanh. Giả sử BE đỏ, thì CE xanh.
Suy ra CD đỏ và BD xanh. Vậy ta được hình 5 cạnh với cạnh màu đỏ và đường chéo màu xanh (hình 2.12b).
Hình 2.12
2. Giả sử khẳng định đúng với n = k. Xét đồ thị Gk+1 đầy đủ với u(k+1)+1−1 đỉnh, k+ 1 màu cạnh và không có đồ thị con K3 cùng màu.
Mỗi đỉnh của Gk+1 xuất phát (u(k+1)+1 − 1)(k + 1) cạnh với k + 1 màu, nên phải có ít nhất uk+1−1 cạnh cùng màu. Giả sử tại đỉnh A có uk+1 −1 cạnh cùng được tô bởi màu m1. Khi đó trong các đỉnh đối của A không có cặp đỉnh nào được nối với nhau bởi cạnh màu m1 (trái lại thì có K3 cùng màu m1). Xét đồ thị con đầy đủ Gk lập nên từ uk+1 −1 đỉnh đối với A có cạnh chỉ tô bởi k màu (trừ màu m1) và không có K3 cùng màu, nên theo giả thiết quy nạp, trong Gk có hình 5 cạnh với cạnh cùng một màu và đường chéo là các màu khác (tất cả đều không là màu m1). Vậy trong Gk+1 có điều cần khẳng định.
Định lí 2.2.4. Đồ thị đầy đủ gồm 6 đỉnh và được tô bằng không quá hai màu cạnh thì luôn có 2 chu trình tam giác cùng màu.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh tồn tại tam giác cùng màu thứ nhất.
Gọi các đỉnh của đồ thị là A1, A2, A3, A4, A5, A6. Giả sử các cạnh của đồ thị được tô bởi màu xanh hoặc đỏ. Xét 5 cạnh xuất phát từ đỉnh A1. Theo nghuyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất 3 cạnh cùng màu, không giảm tính tổng quát nếu ta giả sử các cạnh đó là A1A2, A1A3, A1A4 và có màu đỏ (nét liền).
Hình 2.13a
Nếu tam giác A2A3A4 có các cạnh đều là màu xanh suy ra tồn tại tam giác cùng màu.
Nếu tam giác A2A3A4 có ít nhất một cạnh màu đỏ, giả sử cạnh đó là A2A3 suy ra tam giác A1A2A3 là tam giác cùng màu.
Chứng minh sự tồn tại của tam giác cùng màu thứ hai.
Giả sử tam giác cùng màu thứ nhất là A1A2A3 và có màu đỏ. Xét các khả năng sau:
• Trường hợp 1: Các cạnh A1A4, A1A5, A1A6 đều có màu đỏ. Xét tam giác A4A5A6:
a. Nếu tam giác A4A5A6 có cả ba cạnh đều màu xanh thì ta có tam giác cùng màu thứ hai.
b. Nếu tam giác A4A5A6 có ít nhất một cạnh màu đỏ, chẳng hạn A4A5 thì ta có tam giác cùng màu thứ hai là A1A4A5.
• Trường hợp 2: Trong 3 cạnh A1A4, A1A5, A1A6 có đúng hai cạnh màu đỏ và một cạnh màu xanh. Không giảm tổng quát ta giả sử hai cạnh đỏ là A1A4, A1A5 và cạnh có màu xanh là A1A6. Xét tam giác A3A4A5:
a. Nếu tam giác có cả 3 cạnh đều màu xanh thì ta có tam giác cùng màu thứ hai.
b. Nếu tam giác này có ít nhất một cạnh đỏ, chẳng hạn A4A5 thì ta có tam giác cùng màu thứ hai là A1A4A5.
• Trường hợp 3: Trong 3 cạnh A1A4, A1A5, A1A6 có đúng một cạnh màu đỏ và hai cạnh màu xanh. Giả sử cạnh màu đỏ là A1A4 và hai cạnh màu xanh là A1A5, A1A6.
a. Nếu A2A4 hoặc A3A4 có màu đỏ hoặc A5A6 có màu xanh thì ta có tam giác cùng màu thứ hai.
b. Nếu A A , A A màu xanh còn A A màu đỏ. Ta xét tam giác
Hình 2.13b
Hình 2.13c
A4A5A6 :
-) Nếu A4A5, A4A6 đều có màu đỏ thì ta có tam giác cùng màu thứ hai là A4A5A6.
-) Nếu trong hai cạnh A4A5, A4A6 có ít nhất một cạnh có màu xanh.
Giả sử A4A5 có màu xanh. Xét tam giác A2A3A5:
+, Nếu tam giác này có A3A5, A2A5 cùng màu đỏ thì ta có tam giác cùng màu thứ hai.
+) Nếu A3A5 có màu xanh thì ta cũng có tam giác cùng màu thứ hai là A3A4A5.
+) Nếu A2A5 có màu xanh thì ta cũng có tam giác cùng màu thứ hai là A2A4A5.
• Trường hợp 4: Cả 3 cạnh A1A4, A1A5, A1A6 cùng có màu xanh.
Xét tam giác A4A5A6:
-) Nếu cả ba cạnh của tam giác đều có màu đỏ thì ta có tam giác cùng màu thứ hai.
Hình 2.13d
-) Nếu trong 3 cạnh của tam giác có ít nhất một cạnh có màu xanh, giả sử cạnh đó là A5A6 thì ta có tam giác cùng màu thứ 2 là A1A5A6
Định lí 2.2.5. Đồ thị đầy đủ G gồm n đỉnh (n ≥ 6) và được tô bằng không quá hai màu cạnh luôn có ít nhất (n−4) tam giác cùng màu.
Chứng minh. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Khẳng định đúng với n=6.
Giả sử định lý đúng với n= k, k ≥ 6. Nghĩa là đồ thị đầy đủ Gk gồm có k đỉnh được tô bởi không quá hai màu cạnh đã có ít nhất (k − 4) tam giác cùng màu. Cần chứng minh đồ thị đầy đủ Gk+1 có k + 1 đỉnh và được tô bởi không quá hai màu cạnh thì có ít nhất (k −3) tam giác cùng màu.
Gọi các đỉnh của đồ thị Gk+1 là A1, A2, A3, ..., Ak+1. Vì Gk+1 có đồ thị con Gk nên luôn có tam giác cùng màu. Không giảm tổng quát ta gọi tam giác cùng màu đó là A1A2A3. Loại đỉnh A1 và các cạnh xuất phát từ nó ra khỏi đồ thị Gk+1 thì ta có đồ thị đầy đủ Gk có ít nhất (k −4) tam giác cùng màu. Khôi phục lại đỉnh A1 và các cạnh của nó ta có thêm ít nhất một tam giác cùng màu nữa là A1A2A3. Vậy đồ thị đầy đủ Gk+1 có ít nhất k−4 + 1 = k −3 tam giác cùng màu.
Định lí 2.2.6. Đồ thị đầy đủ G gồm 9 đỉnh được tô bằng hai màu cạnh xanh, đỏ thì luôn có đồ thị con đầy đủ K3 xanh hoặc đồ thị con đầy đủ K4 đỏ (hoặc ngược lại nếu ta đổi hai màu cho nhau)
Chứng minh. Gọi các đỉnh của đồ thị là x1, x2, ..., x9.
• Trường hợp 1: Đồ thị có đỉnh là đầu mút của ít nhất 4 cạnh màu xanh (nét đứt đoạn). Giả sử đỉnh x1 là đầu mút của ít nhất 4 cạnh màu xanh và các cạnh đó là x x , x x , x x , x x . Xét các cạnh nối hai đỉnh
trong số các đỉnh x2, x3, x4, x5. Nếu có ít nhất một cạnh có màu xanh thì ta có tam giác xanh. Nếu không có cạnh nào có màu xanh, thì ta có tứ giác đỏ (hình 2.14a).
Hình 2.14a
• Trường hợp 2: Không có đỉnh nào là đầu mút của nhiều hơn 3 cạnh màu xanh. Khi đó có ít nhất một đỉnh là đầu mút của ít hơn 3 cạnh màu xanh.
Thật vậy, nếu tất cả các đỉnh là đầu mút của đúng 3 cạnh màu xanh, thì tổng số cạnh có màu xanh là 3.9
2 . Điều này vô lý vì số cạnh phải nguyên.
Hình 2.14b
Giả sử x1 là mút của không quá 2 cạnh xanh suy ra x1 là mút của ít nhất 6 cạnh đỏ.
Gọi các cạnh màu đỏ là x1x2, x1x3, x1x4, x1x5, x1x6, x1x7 (hình 2.14b).
Xét đồ thị con đầy đủ G1 có 6 đỉnh x2, x3, x4, x5, x6, x7 với hai màu cạnh.
Theo định lý 2.2.4 thì G1 có tam giác cùng màu.
Nếu tam giác này có màu xanh thì định lý được chứng minh. Nếu tam giác này có màu đỏ thì tam giác này cùng với đỉnh x1 tạo thành tứ giác cùng màu đỏ.
Định lí 2.2.7. Đồ thị đầy đủ K14 gồm 14 đỉnh được tô bằng hai màu cạnh xanh, đỏ, thì luôn có tam giác xanh hoặc ngũ giác đỏ (hoặc ngược lại nếu ta đổi hai màu cho nhau.)
Chứng minh. Gọi các đỉnh của đồ thị là x1, x2, ..., x14.
• Trường hợp 1: Đồ thị có đỉnh là đầu mút của ít nhất 5 cạnh màu xanh (nét đứt đoạn). Giả sử đỉnh x1 là đầu mút của ít nhất 5 cạnh màu xanh và các cạnh đó là x1x2, x1x3, x1x4, x1x5, x1x6.
Nếu trong các cạnh có đầu mút là hai trong 5 điểm x2, x3, x4, x5, x6
có cạnh màu xanh. Chẳng hạn x2x5 thì ta có tam giác xanhx1x2x5. Nếu không ta có ngũ giác đỏ x2x3x4x5x6.
Hình 2.15
• Trường hợp 2: Không có đỉnh nào là đầu mút của nhiều hơn 4 cạnh màu xanh. Suy ra đỉnh x1 là đầu mút của ít nhất 9 cạnh màu đỏ. Giả sử các cạnh đó là x1x2, x1x3, x1x4, x1x5, x1x6, x1x7, x1x8, x1x9, x1x10. Xét đồ thị con đầy đủ G1 gồm các đỉnh x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. Theo định lý 2.2.6 thì G1 có tam giác xanh hoặc tứ giác đỏ. Nếu tồn tại tam giác xanh ta có điều phải chứng minh. Nếu tồn tại tứ giác đỏ, giả sử tứ giác đó là x2x3x4x5 thì ta có ngũ giác đỏ x1x2x3x4x5.
Nếu tam giác này có màu xanh thì định lý được chứng minh. Nếu tam giác này có màu đỏ thì tam giác này cùng với đỉnh x1 tạo thành tứ giác cùng màu đỏ.
Định lí 2.2.8. Đồ thị 3 mảng G(X, E) với lực lượng mỗi mảng đều bằng n(n≥ 1). Mỗi đỉnh được nối với từng đỉnh thuộc hai mảng còn lại bằng các cạnh tô màu xanh hoặc màu đỏ, sao cho số cạnh đỏ xuất phát từ mỗi đỉnh bằng đúng (n+ 1). Khi đó đồ thị G(X, E) có chu trình tam giác đỏ.
Chứng minh. Trước hết chọn một đỉnh của G(X, E) có số cạnh đỏ nối với một trong hai mảng đỉnh còn lại lớn nhất. Giả sử đỉnh chọn được là A thuộc mảng thứ nhất và mảng có nhiều đỉnh nhất nối với A bằng một cạnh đỏ là mảng thứ hai gồm k đỉnh: B1, B2, ..., Bk . Khi đó số đỉnh thuộc mảng thứ 3 nối với A bằng một cạnh có màu đỏ là: n+k−1đỉnh.
Hình 2.16
Xét đỉnh C thuộc mảng thứ 3 và nối với đỉnh A bằng một cạnh có màu đỏ. Đỉnh C phải nối được với ít nhất một trong các đỉnh B1, B2, ..., Bk bằng một cạnh màu đỏ. Thật vậy, nếu ngược lại thì số đỉnh thuộc mảng thứ hai nối với C bằng một cạnh màu đỏ ít hơnn−k, suy ra số đỉnh thuộc mảng thứ nhất nối với C bằng một cạnh màu đỏ lớn hơnn+1−(n−k) =
k + 1. Điều này mâu thuẫn với việc chọn điểm A, vậy tồn tại đỉnh Bi, sao cho CBi có màu đỏ. Suy ra ta có tam giác đỏ ABiC.