Bài toán 3.3.1. ([4]Lý thuyết đồ thị và các bài toán không mẫu mực) Một thôn có ít nhất 4 gia đình, mỗi gia đình thân với ít nhất 3 gia đình khác. Chứng minh rằng có thể xếp một số chẵn gia đình làm nhà xung quanh một cái hồ để mỗi gia đình sống giữa hai gia đình mà họ thân.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Đối với mỗi gia đình trong thôn lấy một điểm tương ứng làm đỉnh của đồ thị và dùng ngay tên chủ hộ để ghi trên đỉnh tương ứng.
Cạnh: Trong đồ thị G hai đỉnh x,y bất kỳ được nối với nhau bằng một cạnh khi và chỉ khi hai gia đình x, y thân nhau.
Đồ thị G mô tả toàn bộ quan hệ thân nhau giữa các gia đình trong thôn.
2. Đáp án bài toán bằng ngôn ngữ đồ thị.
Với cách xây dựng trên, bậc của mỗi đỉnh thuộc G bằng đúng số gia đình thân của gia đình tương ứng với đỉnh này.
Theo cách xác định cạnh, mỗi đỉnh x có số cạnh đúng bằng số gia đình thân với gia đình x. Bởi vậy, mỗi đỉnh của đồ thị G đều có bậc không nhỏ hơn 3. Do đó theo định lý 1.4.2, trong đồ thị G tồn tại chu trình sơ cấp α độ dài chẵn. Khi đó dựa theo α mà sắp xếp chẵn gia đình tương ứng làm nhà xung quanh hồ theo thứ tự các đỉnh thì mỗi gia đình trong các gia đình này sẽ sống giữa hai gia đình mà họ thân.
Bài toán 3.3.2. ([3]Lý thuyết đồ thị và ứng dụng) Một tập số nguyên dương M gồm ít nhất ba số. Mỗi số đều có ước chung với ít nhất hai số khác. Chứng minh rằng luôn luôn có thể ghi một nhóm gồm ít nhất ba số thuộc tập hợp lên một vòng tròn, để mỗi số đều đứng giữa hai số mà nó có ước chung.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Đối với mỗi số nguyên dương thuộc tập M lấy một điểm tương ứng làm đỉnh của đồ thị và ghi các số thuộc tập M lên các đỉnh tương ứng.
Cạnh: Trong đồ thị G hai đỉnh x,y bất kỳ được nối với nhau bằng một cạnh khi và chỉ khi hai số x, y có ước chung.
Đồ thị G mô tả toàn bộ quan hệ có chung ước với nhau giữa các số trong tập hợp M.
2. Đáp án bài toán bằng ngôn ngữ đồ thị.
Vì mối số thuộc M có ước chung với ít nhất hai số khác, nên theo định lý 1.4.1 trong G có chu trình sơ cấp. Khi đó dựa theo một trong những chu trình sơ cấp của G mà ghi các số tương ứng lên một vòng tròn, thì mỗi số đều đứng giữa hai số mà nó có ước chung.
Bài toán 3.3.3. (IMO 1991) Giả sử G là một đồ thị liên thông có k cạnh. Chứng minh rằng: Có thể đánh nhãn được các cạnh 1, 2, 3,...,k theo cách mà mỗi đỉnh thuộc vào hai hoặc nhiều hơn hai cạnh, ước số chung lớn nhất của các số nguyên đánh nhãn các cạnh này là 1.
Giải:
Ta bắt đầu tại một đỉnh v0 nào đó. Tưởng tượng rằng ta đang đi dọc theo các cạnh phân biệt của đồ thị, vừa đi vừa đánh số chúng như ta đang đếm: 1,2,3,... cho đến khi ta không thể đi xa hơn được nữa vì nếu
Nếu có những cạnh không được đánh số thì một trong những cạnh này phải có một đỉnh ta đã đi qua, vì G liên thông. Hãy khởi đầu từ đỉnh này, ta tiếp tục đi dọc theo các cạnh chưa dùng tới, đánh số lại nơi ta đi qua, và tiếp tục như thế cho đến khi một lần nữa ta không thể đi xa hơn. Quá trình này được lặp lại cho đến lúc tất cả các cạnh đều được đánh số.
Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng việc đánh số như trên thỏa mãn điều kiện ở đề bài: Tại mỗi đỉnh thuộc về ít nhất hai cạnh của đồ thị, ta đều có ước số chung lớn nhất của các số nguyên viết trên các cạnh của đỉnh này bằng 1. Thật vậy, gọi v là một đỉnh như thế (v thuộc về ít nhất hai cạnh của đồ thị). Nếu v = v0 , tức v là đỉnh xuất phát, thì một trong các cạnh chứa đỉnh v đã được đánh số 1, do đó, hiển nhiên ta có ước số chung lớn nhất của các số nguyên viết trên các cạnh của đỉnh v này bằng 1. Nếu v 6= v0, giả sử lần đầu tiên ta gặp v trên đường đi là vào lúc cuối của cạnh được đánh số r. Vào lúc đó, có nhiều hơn 1 cạnh chưa sử dụng thuộc đỉnh v, nên một trong những cạnh này được đánh số bằng r+ 1, ước số chung lớn nhất của mọi tập hợp số chứa r và r+ 1 là bằng 1. Suy ra điều phải chứng minh. Hình 3.2 là một ví dụ minh họa cách đánh số cạnh.
Hình 3.2
Bài toán 3.3.4. ([3]Lý thuyết đồ thị và ứng dụng) Trên bàn cờ 3X3 ô vuông. Chứng minh rằng con Mã không thể đi qua tất cả các ô, mỗi ô đúng một lần, rồi trở về ô xuất phát.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G mô tả nước đi của con Mã.
Đỉnh: Lấy 9 ô của bàn cờ 3x3 làm đỉnh.
Cạnh: Cặp đỉnh là đường chéo hình chữ nhật 2x3 hoặc 3x2 đều được nối bằng một cạnh. Ta được đồ thị G mô tả toàn bộ nước đi của con Mã trên bàn cờ 3x3 (hình 3.3).
Hình 3.3
2. Đáp án bài toán bằng ngôn ngữ đồ thị.
Đồ thị G không liên thông. Đỉnh tương ứng với ô trung tâm không nằm trên đường nào, nên con Mã không thể đi qua ô này.
Bởi vậy con Mã không đi qua được tất cả các ô thuộc bàn cờ 3x3.
Bài toán 3.3.5. ([1]Graph và giải toán phổ thông)
Lớp 10A gồm 40 em học sinh.Khi về nghỉ hè, mỗi học sinh đã trao đổi địa chỉ với ít nhất một nửa số bạn trong lớp. Chứng minh rằng mỗi em học sinh lớp 10A đều có thể báo tin (một cách trực tiếp hoặc gián tiếp) cho tất cả các bạn trong lớp.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Đối với mỗi em học sinh trong lớp 10A lấy mỗi đỉnh tương ứng làm đỉnh của đồ thị và trên đó ghi tên của em học sinh này.
Cạnh: Trong đồ thị G hai đỉnh x,y bất kỳ được nối với nhau khi và chỉ khi hai em học sinh x, y đã trao đổi địa chỉ cho nhau.
Đồ thị G mô tả toàn bộ quan hệ trao đổi địa chỉ giữa các học sinh trong lớp.
2. Đáp án bài toán bằng ngôn ngữ đồ thị.
Với cách xây dựng trên, bậc của mỗi đỉnh thuộc G bằng đúng số em đã trao đổi địa chỉ với em học sinh tương ứng với đỉnh này.
Mỗi học sinh lớp 10A đều trao đổi địa chỉ với ít nhất một nửa bạn trong lớp, nên mỗi đỉnh thuộc đồ thị G đều có cạnh nối ít nhất với một nửa số đỉnh. Bởi vậy, theo hệ quả 1.5.1, đồ thị G liên thông, nên hai đỉnh tùy ý đều có xích nối với nhau. Bởi vậy mỗi em học sinh lớp 10A đều có thể theo các xích này mà báo tin cho nhau.
Bài toán 3.3.6. ([1]Graph và giải toán phổ thông)
biên dịch các tài liệu từ 6 thứ tiếng: Anh, Pháp, Nga, Đức, Trung Quốc và Bồ Đào Nha sang tiếng Việt. Có 7 người đến dự tuyển, trong đó mỗi người đều biết 2 và chỉ 2 trong 6 thứ tiếng đó và bất cứ hai người nào cũng cùng biết nhiều nhất một thứ tiếng chung trong 6 thứ tiếng đó.
Biết rằng thứ tiếng nào cũng có ít nhất hai người biết. Hỏi có thể xảy ra trường hợp không thể tuyển chọn được như yêu cầu đã nêu không? Tại sao?.
Giải:
Hình 3.4
Vẽ đồ thị với 6 đỉnh, mỗi đỉnh biểu diễn một ngoại ngữ: A, P, N, Đ, T, B; một người biết 2 ngoại ngữ được biểu diễn bằng một cạnh nối hai đỉnh tương ứng với 2 ngoại ngữ đó; có 7 người, vậy đồ thị có 7 cạnh;
"bất cứ hai người nào cũng cùng biết nhiều nhất một thứ tiếng chung", tức là không có hai cạnh khác nhau cùng nối một cặp đỉnh; "thứ tiếng nào cũng có ít nhất hai người biết", tức là mỗi đỉnh có bậc ít nhất là 2.
Bài toán được viết lại như sau:
Cho đồ thị G có 6 đỉnh và 7 cạnh, bậc của mỗi đỉnh không nhỏ hơn 2. Liệu có thể xảy ra trường hợp không có 3 cạnh nào đôi một không kề nhau hay không? Tại sao?
Trước hết ta thấy G liên thông (G có 6 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc không nhỏ hơn 2, nếu không liên thông thì 6 đỉnh đó lập thành hai tam giác
rời nhau, và G chỉ có 6 cạnh) và suy ra G có chu trình (nếu không thì G là một cây và có cạnh treo, trái với giả thiết).
Vì 7.2 = 14 = 6.2 + 2, nên G phải có hai đỉnh bậc 3 (hoặc một đỉnh bậc 4) và các đỉnh còn lại phải bậc 2.
1) Trường hợp G có đỉnh A bậc 4 (hình 3.4a), với 4 cạnh AB, AD, AN, AP. Lúc đó, đỉnh T không thể kề A mà kề hai đỉnh khác, P và N chẳng hạn và hai đỉnh còn lại B và D phải kề nhau. Có thể chọn ba cạnh BD, NT, PA thỏa mãn điều kiện đề ra.
2) Trường hợp G có 2 đỉnh bậc 3, giả sử là A và P. Vì G liên thông, nên có ít nhất một đường đi từ A đến P. Ta tạm bỏ đường đi đó (vẫn giữ các đỉnh A và P). Có thể xảy ra:
a. G không còn liên thông. Như vậy, ta còn hai chu trình sơ cấp phân biệt, mỗi chu trình gồm 3 cạnh (hình 3.4b). Ta chọn cạnh AP và hai cạnh không kề nó: TB và NĐ
b. G vẫn liên thông. Như vậy, ta còn một chu trình sơ cấp (vì mỗi đỉnh đều bậc 2). Có ba đường đi từ A đến P (một đương ta đã tạm bỏ, hai đường theo chu trình), trong đó đường ngắn nhất có độ dài 1 (hình 3.4c) hoặc độ dài 2 (hình 3.4d: ATP hoặc ADB).
Trong hình hình 3.4c trên chu trình sơ cấp độ dài 6 ta luôn chọn được 3 cạnh không kề nhau: AD, PT và BN chẳng hạn.
Trong hình 3.4d, chỉ việc chọn một cạnh thuộc đường đi ngắn nhất từ A đến P và hai cạnh không kề nó trên chu trình sơ cấp còn lại: AD, TP và NB hoặc DP, AT và NB.
Trong mọi trường hợp ta đều tìm được ba cạnh đôi một không kề nhau. Tức là không thể xảy ra trường hợp không thể tuyển chọn được như yêu cầu đã nêu.