Bài toán 3.2.1. (Olympic Toán Mỹ 1982) Sống trong một ký túc xá có 1982 người. Cứ bốn người trong đó bao giờ cũng chọn được ít nhất một người quen với cả ba người còn lại. Có ít nhất bao nhiêu người mà mỗi người quen với tất cả những người trong ký túc xá.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Lấy mỗi đỉnh trong đồ thị tương ứng với mỗi người sống trong ký túc xá.
Cạnh: Trong đồ thị G hai đỉnh x,y bất kỳ có cạnh được nối với nhau khi và chỉ khi hai người x, y quen biết nhau.
Đồ thị G mô tả toàn bộ quan hệ quen biết nhau trong ký túc xá mà ta xét.
2. Đáp án bài toán bằng ngôn ngữ đồ thị.
Với cách xây dựng trên, bậc của mỗi đỉnh thuộc G bằng đúng số người quen của người tương ứng với đỉnh này.
Theo định lý 1.3.5 ta suy ra có ít nhât 1982−3 = 1979 người mà mỗi người quen với tất cả những người trong ký túc xá.
Bài toán 3.2.2. Trường THPT Tân Dân có 1101 học sinh. Biết rằng mỗi học sinh quen ít nhất 1001 học sinh. Chứng minh với mỗi học sinh của trường luôn tìm được 11 học sinh khác để tạo thành một nhóm gồm 12 học sinh, sao cho hai học sinh bất kỳ trong nhóm đều quen nhau.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Lấy 1101 đỉnh trên mặt phẳng tương ứng với 1101 học sinh.
Cạnh: Trong đồ thị G hai đỉnh x,y bất kỳ được nối với nhau bằng một cạnh khi và chỉ khi hai em học sinh x, y quen nhau nhau.
2. Đáp án bài toán bằng ngôn ngữ đồ thị.
Với cách xây dựng trên, bậc của mỗi đỉnh thuộc G bằng đúng số người quen của người tương ứng với đỉnh này.
Theo định lý 1.3.7 số đỉnh của đồ thị G là kn+ 1 = 1101 (∗) mỗi đỉnh có bậc không nhỏ hơn
− (∗∗)
Do đó, luôn tồn tại đồ thị con đầy đủ gồm k+ 1 đỉnh.
Từ (∗),(∗∗) ta có n = 100, k = 11 . Như vậy, sẽ tồn tại một nhóm gồmk+ 1 = 11 + 1 = 12 em học sinh mà hai học sinh bất kỳ trong nhóm đều quen nhau.
Bài toán 3.2.3. Liệu có thể có nhóm 9 người, mà trong đó mỗi người chỉ quen biết đúng 5 người khác được không?
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Lấy 9 điểm tương ứng với 9 người trong nhóm làm đỉnh của đồ thị và đánh số từ 1 đến 9.
Cạnh: Trong đồ thị G hai đỉnh x,y bất kỳ được nối với nhau bằng một cạnh khi và chỉ khi hai người x, y quen nhau.
Đồ thị G mô tả quan hệ quen nhau của 9 người trong nhóm.
Hình 3.1
2. Đáp án bài toán bằng ngôn ngữ đồ thị.
Với cách xây dựng trên, bậc của mỗi đỉnh thuộc G bằng đúng số người quen của người tương ứng với đỉnh này.
Nếu theo đúng giả thiết, tất cả các đỉnh của đồ thị đều có bậc là 5 thì theo định lý 1.3.1 số cạnh của đồ thị là:
9.5
2 = 22,5 ∈/ N
không là số nguyên nên vô lý. Do đó, không thể có nhóm 9 người trong đó mỗi người chỉ quen biết 5 người khác.
Bài toán 3.2.4. ([4]Lý thuyết đồ thị và các bài toán không mẫu mực) Chứng minh rằng: Nếu trong một tập số nguyên dương tùy ý M gồm ít nhất 3 số, mà có đúng 2 số có số số đồng dư bằng nhau, thì các số này không thể đồng thời không đồng dư với một số nào hoặc đồng thời đồng dư với tất cả các số còn lại thuộc tập M.
Chứng minh. .
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Lấy các điểm tương ứng với các số nguyên dương thuộc M làm đỉnh của đồ thị. Dùng ngay các số thuộc M để ghi trên các đỉnh tương ứng.
Cạnh: Trong đồ thị G hai đỉnh x,y bất kỳ được nối với nhau bằng một cạnh khi và chỉ khi hai số x, y có số số đồng dư bằng nhau.
Đồ thị G mô tả quan hệ của các số nguyên thuộc tập M, mà số số đồng dư của các số này là bằng nhau.
2. Đáp án bài toán bằng ngôn ngữ đồ thị.
Theo định lý 1.3.4 đồ thị G với n đỉnh có đúng 2 đỉnh cùng bậc thì hai đỉnh này không thể đồng thời bậc 0 hoặc bậc n−1 từ đó ta suy ra ngay điều phải chứng minh.
Bài toán 3.2.5. Trong hội thi đấu cờ vua của khối các trường trung học phổ thông thuộc huyện Phú Xuyên có 10 em học sinh đại diện cho các trường tham gia thi đấu. Thể lệ cuộc thi là mỗi em phải đấu một trận với các em khác. Chứng minh rằng bất kỳ lúc nào cũng có 2 em đã đấu được một số trận như nhau.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Lấy mỗi điểm tương ứng với mỗi em học sinh tham gia thi đấu làm đỉnh của đồ thị. Dùng ngay tên của mỗi em để ghi trên đỉnh tương ứng.
Cạnh: Trong đồ thị G hai đỉnh x,y bất kỳ được nối với nhau bằng một cạnh khi và chỉ khi hai 2 em học sinh x, y đã thi đấu cờ vua với nhau.
Đồ thị G mô tả toàn bộ quan hệ thi đấu giữa các em học sinh.
2. Đáp án bài toán bằng ngôn ngữ đồ thị.
Với cách xây dựng trên, bậc của mỗi đỉnh thuộc G bằng đúng số trận đấu mà em học sinh tương ứng với đỉnh này đã thi đấu.
Theo định lý 1.3.3 đồ thị G luôn có ít nhất 2 đỉnh cùng bậc. Tức bất kỳ lúc nào cũng có 2 em đã đấu được một số trận như nhau.
Bài toán 3.2.6. Cho một khối đa diện lồiA1, A2, ..., An. Gọim1, m2, ..., mn lần lượt là số cạnh xuất phát từ các đỉnh A1, A2, ..., An và c là số cạnh của khối đa diện. Khi đó ta có m1 +m2 +...+mn = 2c.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Lấy mỗi điểm trong đồ thị tương ứng với mỗi đỉnh của khối đa diện lồi.
Cạnh: Trong đồ thị G hai đỉnh x,y bất kỳ được nối với nhau bằng một cạnh khi và chỉ khi cặp đỉnh x, y tạo thành cạnh của khối đa diện.
2. Đáp án bài toán bằng ngôn ngữ đồ thị.
Với cách xây dựng trên, bậc của mỗi đỉnh thuộc G bằng đúng số cạnh xuất phát từ đỉnh tương ứng của khối đa diện.
Theo định lý 1.3.1 tổng số bậc của tất cả các đỉnh luôn gấp đôi số cạnh. Do đó ta có m1 +m2 +...+mn = 2c