Bài toán 3.4.1. (IMO 1964) Mười bảy nhà bác học viết thư cho nhau.
Mỗi người đều viết thư cho tất cả người khác. Các thư chỉ trao đổi về 3 đề tài. Từng cặp nhà bác học chỉ viết thư trao đổi về cùng một đề tài.
Chứng minh rằng có ít nhất 3 nhà bác học viết thư cho nhau trao đổi về cùng một vấn đề.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G mô tả quan hệ trao đổi thư của các nhà bác học.
Đỉnh: Lấy 17 điểm tương ứng với 17 nhà bác học làm đỉnh đồ thị.
Dùng ngay tên của các nhà bác học để ghi trên các đỉnh tương ứng.
Cạnh: Dùng
- Cạnh đỏ để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai nhà bác học trao đổi vấn đề thứ nhất.
- Cạnh xanh để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai nhà bác học trao đổi vấn đề thứ hai.
-Cạnh vàng để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai nhà bác học trao đổi vấn đề thứ ba.
2. Đáp án bài toán bằng ngôn ngữ đồ thị.
Theo định lý 2.2.2, trong đồ thị G có tam giác cùng màu. Nếu tam giác này:
- Màu đỏ, thì ba nhà bác học tương ứng trao đổi về vấn đề thứ nhất.
- Màu xanh, thì ba nhà bác học tương ứng trao đổi về vấn đề thứ hai.
- Màu vàng, thì ba nhà bác học tương ứng trao đổi về vấn đề thứ ba.
Bài toán 3.4.2. (Thi Olympic Toán 1978, Bungary) Một nhóm gồm 5 thành viên, trong đó cứ ba người thì có 2 người quen nhau và 2 người không quen nhau. Chứng minh rằng có thể xếp họ ngồi xung quanh một bàn tròn để mỗi người đều ngồi giữa hai người mà thành viên đó quen nhau.
Giải:
Hình 3.5
1. Xây dựng đồ thị G mô tả quan hệ quen nhau giữa 5 thành viên.
Đỉnh: Lấy 5 điểm tương ứng với 5 thành viên, mà không có 3 điểm nào thẳng hàng làm đỉnh của đồ thị. Dùng ngay tên của họ để ghi trên các đỉnh tương ứng.
Cạnh: Dùng
- Cạnh đỏ (nét liền) để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai người quen nhau.
- Cạnh xanh (nét đứt) để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai người không quen nhau.
2. Đáp án bài toán bằng ngôn ngữ đồ thị.
Theo định lý 2.2.3 với n = 2 đồ thị G là đa giác 5 đỉnh với các cạnh màu đỏ và các đường chéo màu xanh. Khi đó dựa theo đường gấp khúc khép kín màu đỏ mà sắp xếp các thành viên tương ứng ngồi xung quanh một bàn tròn, thì mỗi thành viên sẽ ngồi giữa hai người mà thành viên đó quen (hình 3.5).
Bài toán 3.4.3. ([4]Lý thuyết đồ thị và các bài toán không mẫu mực) Có 5 thành phố, mà từ mỗi thành phố đều có đường bay đến một số thành phố khác. Biết rằng cứ ba thành phố bất kỳ trong 5 thành phố này đều có hai thành phố có đường bay trực tiếp đến nhau và hai thành phố chưa có đường bay trực tiếp. Chứng minh rằng:
1. Mỗi thành phố có đường bay trực tiếp đến hai và chỉ hai thành phố khác.
2. Từ mỗi thành phố có thể bay đến các thành phố khác mỗi nơi một lần rồi quay về được nơi xuất phát.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Lấy 5 điểm tương ứng với 5 thành phố tùy ý A, B, C, D mà ta xét. Dùng ngay tên các thành phố để ghi trên các điểm tương ứng.
Cạnh: Dùng
- Cạnh đỏ (nét liền) nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai thành phố có đường bay trực tiếp.
- Cạnh xanh (nét đứt) để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai thành phố không có đường bay trực tiếp.
2. Đáp án bài toán bằng ngôn ngữ đồ thị.
Đồ thị đầy đủ G gồm 5 đỉnh với các cạnh được tô bằng hai màu:
xanh, đỏ, mô tả toàn bộ đường hàng không nối giữa 5 thành phố nói trên. Khi đó:
1. Mỗi thành phố có đường bay trực tiếp đến hai và chỉ hai thành phố khác khi và chỉ khi trong đồ thị G mỗi đỉnh xuất phát đúng hai cạnh màu đỏ.
2. Từ mỗi thành phố có thể bay đến các thành phố khác mỗi nơi một lần rồi quay về được nơi xuất phát khi và chỉ khi trong đồ thị G có chu trình màu đỏ đi qua mỗi đỉnh đúng một lần.
I Chứng minh: Mỗi đỉnh của đồ thị G xuất phát đúng hai cạnh đỏ.
a. Giả sử tại một đỉnh nào đó của G, chẳng hạn tại A xuất phát không ít hơn 3 cạnh đỏ và ba trong số các cạnh đỏ này là AB, AC, AD. Khi đó, theo giả thiết trong 3 thành phố B, C, D có ít nhất một cặp thành phố có đường hàng không, nên trong 3 cạnh BC, BD, CD có ít nhất một cạnh đỏ, chẳng hạn BC là cạnh đỏ. Khi đó tam giác ABC màu đỏ, nên ba thành phố A, B, C từng cặp có đường hàng không. Ta đã đi tới mâu thuẫn với giả thiết, nên mỗi đỉnh của đồ thị G đều xuất phát không quá 2 cạnh đỏ.
b. Giả sử tại một đỉnh nào đó của G, chẳng hạn tại B xuất phát không ít hơn 3 cạnh xanh và các cạnh xanh đó là BC, BD, BE. Khi đó, theo giả thiết trong 3 thành phố C, D, E có ít nhất một cặp thành phố không có đường hàng không, nên trong ba cạnh CD, CE, DE có ít nhất một cạnh xanh, chẳng hạn CD là cạnh xanh. Khi đó tam giác BCD màu xanh, nên ba thành phố B, C, D từng cặp không có đường hàng không.
Ta đã đi tới mâu thuẫn với giả thiết, nên mỗi đỉnh của đồ thị g xuất phát không quá hai cạnh xanh.
Mỗi đỉnh của đồ thị G xuất phát đúng 4 cạnh, trong đó số cạnh xanh không quá hai và số cạnh đỏ cũng không quá hai, nên mỗi đỉnh của G xuất phát đúng hai cạnh đỏ. Bởi vậy, mỗi thành phố được xét đều có đường hàng không đi tới đúng hai thành phố khác.
I Chứng minh: Đồ thị G có chu trình màu đỏ đi qua mỗi đỉnh đúng một lần.
Giả sử hai cạnh đỏ xuất phát từ A là AB và AC.
Cạnh đỏ còn lại của đỉnh B không thể nối với C. Bởi vì, nếu cạnh BC màu đỏ thì tam giác ABC màu đỏ, nên ba thành phố A, B, C từng cặp có đường hàng không. Ta đã đi tới mâu thuẫn với giả thiết. Bởi vậy, cạnh đỏ thứ hai của đỉnh B chỉ có thể đi tới D hoặc E. Chẳng hạn, BD màu đỏ.
Cạnh đỏ thứ hai của đỉnh C không thể nối với đỉnh D. Bởi vì mỗi đỉnh xuất phát hai cạnh đỏ, mà CD là cạnh đỏ, thì mỗi đỉnh B, C, D
Hình 3.6
đều đã đủ hai cạnh đỏ, nên E phải nối với các đỉnh B, C, D bằng ba cạnh màu xanh. Ta đi tới mâu thuẫn với tính chất của đồ thị G là: Mỗi đỉnh chỉ xuất phát đúng hai cạnh xanh (nét đứt). Vậy C phải nối với E bằng cạnh màu đỏ.
Cạnh đỏ còn lại của D chỉ có thể nối với E. Khi đó trên đồ thị G có chu trình màu đỏ đi qua tất cả các đỉnh và qua mỗi đỉnh đúng một lần, nên trong năm thành phố A, B, C, D, E tồn tại đường hàng không bay qua mỗi thành phố này một lần rồi trở về được thành phố xuất phát.
Bài toán 3.4.4. (Thi học sinh giỏi Bungari 1977) Có ba trường, mỗi trường có n học sinh. Mỗi học sinh có n+ 1 bạn quen ở hai trường khác.
Chứng minh rằng có thể chọn ở mỗi trường một học sinh để có 3 bạn học sinh từng đôi một quen nhau.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị màu G(X, E) gồm 3 mảng để mô tả bài toán.
Đỉnh: Lấy 3 tập, mỗi tập n điểm trên mặt phẳng tương ứng với 3n học sinh..
Cạnh: Hai đỉnh thuộc hai mảng được nối với nhau bằng một cạnh và tô màu đỏ nếu hai học sinh tương ứng quen nhau và tô màu xanh nếu hai học sinh đó không quen nhau.
2. Giải bài toán trên đồ thị.
Đồ thị ba mảng G(X, E), mỗi mảng có n đỉnh, hai đỉnh thuộc 2 mảng khác nhau được nối bằng một cạnh màu xanh hoặc đỏ. Số cạnh đỏ tại mỗi đỉnh bằng n+ 1. Theo định lý 2.2.8 đồ thị ba mảng G(X, E) có chu trình tam giác đỏ với mỗi đỉnh của chu trình thuộc một mảng. Vậy có 3 học sinh tương ứng với 3 đỉnh của chu trình này đôi một quen nhau.
Bài toán 3.4.5. ([3]Lý thuyết đồ thị và ứng dụng) Chứng minh rằng trong 20 số tự nhiên tùy ý ta luôn chọn được 16 bộ, mỗi bộ có 3 số, sao cho các số trong cùng một bộ đôi một có ước chung khác 1 hoặc đôi một nguyên tố cùng nhau.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Lấy 20 điểm trong mặt phẳng tương ứng với 20 số tự nhiên.
Dùng thứ tự của các số để ký hiệu đỉnh.
Cạnh: Hai đỉnh được nối với nhau bằng một cạnh và tô màu đỏ nếu hai số tương ứng có ước số chung. Các cặp đỉnh còn lại được nối với nhau bằng một cạnh và tô màu xanh.
2. Giải bài toán trên đồ thị.
Theo định lý 2.2.5 đồ thị đầy đủ G có 20 đỉnh và được tô bằng hai màu cạnh, nên có ít nhất 20 −4 = 16 tam giác cùng màu. Vậy tồn tại 16 bộ ba mà những số trong cùng một bộ ba đôi một nguyên tố cùng nhau hoặc đôi một có ước chung.
Bài toán 3.4.6. (Vô địch nước Anh 1980) Trong một căn phòng có 10 người, biết rằng giữa 3 người bất kỳ có hai người quen nhau. Chứng minh rằng có thể tìm được 4 người mà 2 người bất kỳ trong số đó đều quen nhau. Kết quả trên còn đúng không khi số người trong phòng là 9 người?
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Lấy 10 điểm x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 trong mặt phẳng tương ứng với 10 người.
Cạnh: Hai đỉnh được nối với nhau bằng một cạnh và tô màu đỏ nếu hai người tương ứng quen nhau và bằng cạnh có màu xanh nếu hai người tương ứng không quen nhau.
2. Giải bài toán trên đồ thị.
Ta có đồ thị G vừa xây dựng là đồ thị đầy đủ có 10 đỉnh với các cạnh được tô bằng hai màu xanh, đỏ. Đồ thị G chứa đồ thị con đầy đủ G1 với 9 đỉnh và các cạnh được tô bằng hai màu xanh, đỏ.Theo định lý 2.2.6 đồ thị đầy đủ G1 chứa chu trình tam giác xanh hoặc tứ giác đỏ. Mặt khác theo giả thiết giữa 3 người bất kỳ thì có hai người quen nhau nên không thể tồn tại tam giác xanh, vì vây tồn tại tứ giác đỏ. Vậy tồn tại 4 người tương ứng với 4 đỉnh có tứ giác đỏ mà hai người bất ký trong số đó quen nhau.
Theo lập luận trên thì khi chỉ có 9 người trong phòng thì đồ thị G chính là G1 nên khẳng định vẫn đúng.
Bài toán 3.4.7. (IMO 1992) Cho 9 điểm trong không gian, trong đó không có 4 điểm nào nằm trên cùng một mặt phẳng. Tất cả những điểm này được nối với nhau từng cặp bằng đoạn thẳng. Mỗi đoạn thẳng được tô màu xanh hoặc đỏ hoặc không tô màu. Tìm giá trị nhỏ nhất của n, sao cho với mọi cách tô màu n đoạn thẳng tùy ý ta đều tìm được một tam giác có các cạnh cùng màu.
Giải:
Nếu chọn 6 điểm bất kỳ mà cả 10 cạnh đều được tô màu xanh hoặc đỏ thì đồ thị tạo bởi 6 điểm này sẽ chứa một tam giác với 3 cạnh cùng màu (định lý 2.2.2).
Kết quả trên không đúng với hệ gồm 5 điểm (Bài toán 3.4.2).
Giờ ta xét hệ gồm 9 điểm. Nếu có 3 cạnh không màu, thì số cạnh được tô màu là 9.8
2 −3 = 33, ta sẽ có một tập con 6 điểm như trường hợp đã xét trên.
Vậy với n = 33 thì bảo đảm có được tam giác với 3 cạnh cùng màu.
Hình 3.7
Mặt khác nếu chỉ có 32 cạnh được tô màu (trong hệ 9 điểm) thì không bảo đảm có được tam giác với 3 cạnh cùng màu như đồ thị hình 3.7 (những cặp đỉnh không nối nhau tượng trưng cho việc không tô màu).
Đồ thị trên được xây dựng theo suy luận logic như sau:
Ta xuất phát từ 5 điểm như hình 3.8 (A, B, C, D, E). Ta thêm vào điểm P nối với B, C, D, E. Các cạnh tạo thành lần lượt là PB, PC, PD, PE tương ứng có cùng màu với AB, AC, AD, AE. Khi đó, ta được đồ thị 6 đỉnh, 14 cạnh có màu nhưng không có tam giác với 3 cạnh cùng màu.
Hình 3.8
Ta thêm vào điểm Q, nối Q lần lượt với P, A, C, D, E sao cho các cạnh tạo thành có màu tương ứng giống với BP, BA, BC, BD, BE. Đồ thị này cho ta 7 đỉnh, 19 cạnh có màu, nhưng không có tam giác với 3 cạnh cùng màu.
Tiếp đến, ta thêm vào điểm R, nối R lần lượt với P, Q, A, B, D, E sao cho các cạnh tạo thành có màu tương ứng giống với CP, CQ, CA, CB, CD, CE. Đồ thị này có 8 đỉnh, 25 cạnh có màu, nhưng không có tam giác với 3 cạnh cùng màu.
Cuối cùng, ta thêm vào điểm S, nối S lần lượt với P, Q, R, A, B, C, E sao cho các cạnh tạo thành có màu tương ứng giống với DP, DQ, DR, DA, DB, DC, DE. Đồ thị này có 9 đỉnh, 32 cạnh có màu, nhưng không có tam giác với 3 cạnh cùng màu.
Vậy, số n cần tìm là 33.
Bài toán 3.4.8. Một quốc gia có 14 sân bay. Biết rằng cứ 3 sân bay bất kỳ thì có ít nhất 2 sân bay có đường bay trực tiếp. Chứng minh có 5 sân bay mà hai sân bay bất kỳ trong số này có đường nối trực tiếp.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Lấy 14 điểm trong mặt phẳng tương ứng với 14 sân bay. Dùng thứ tự của 14 sân bay đó để ký hiệu đỉnh.
Cạnh: Hai đỉnh được nối với nhau bằng một cạnh và tô màu xanh nếu hai sân bay tương ứng với hai đỉnh đó không có đường nối trực tiếp, bằng một cạnh màu đỏ khi hai sân bay tương ứng với hai đỉnh đó có đường nối trực tiếp.
2. Giải bài toán trên đồ thị.
Theo định lý 2.2.7 đồ thị đầy đủ G có 14 đỉnh và được tô bằng hai màu cạnh nên G có K3 xanh hoặc K5 đỏ. Theo giả thiết, trong 3 sân bay bất kỳ luôn có ít nhất hai sân bay có đường nối trực tiếp nên đồ thị G không thể có chu trình tam giác xanh, vì vậy G có đồ thị con đầy đủ K5 màu đỏ. Năm sân bay tương ứng với các đỉnh của K5 đôi một có đường nối trực tiếp.
Bài toán 3.4.9. Một sở thú nhập về 6 loại thú khác nhau, mà ta ký hiệu là A, B, C, D, E, F. Một số loại trong đó có thể sống cùng trong một chuồng. Bảng sau đây cho biết những loài nào không thể sống chung với nhau:
Loại A B C D E F
Không thể sống với B, C A, C, E A, B, D, E C, F B, C, F D, E
Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chuồng để có thể nhốt tất cả các loại thú đó?
Giải:
Ta sẽ mô hình hóa bằng đồ thị và đưa về bài toán tô màu như sau:
Mỗi đỉnh của đồ thị là một loài thú. Hai đỉnh được nối với nhau bằng một cạnh, nếu hai loài thú không thể nhốt chung một chuồng.
Hình 3.9
Áp dụng thuật toán tô màu đỉnh ở mục 2.2.3, ta tìm ra được số lượng chuồng ít nhất cần có là 3 (Hình 3.9).
Như vậy, ta thu được lời giải cho bài toán 3.4.9 như sau:
Chuồng 1 Chuồng 2 Chuồng 3 C và F B và D A và E
Bài toán 3.4.10. Trường trung học phổ thông ở một huyện, trong một học kỳ của năm học nhà trường tổ chức cho học sinh lớp 12 (thí sinh tự do) theo học một trong bảy lớp sau:
Lớp 1 sẽ học các môn: Toán, Tiếng Anh, Sinh, Hóa.
Lớp 2 sẽ học các môn: Toán, Tiếng Anh, Tin, Địa.
Lớp 3 sẽ học các môn: Sinh, GDCD, Lý, Địa.
Lớp 4 sẽ học các môn: Văn, Sinh, Tin, Sử.
Lớp 5 sẽ học các môn: Tiếng Anh, GDCD, Tin, Sử.
Lớp 6 sẽ học các môn: Văn, Hóa, GDCD, Tin.
Lớp 7 sẽ học các môn: Lý, Sử, Địa, GDCD.
Cuối kỳ nhà trường tổ chức cho các lớp thi các môn đã học. Hãy sắp xếp một lịch thi để học sinh của các lớp đều có thể tham gia thi các môn mà họ đã học, sao cho số lần tổ chức thi là ít nhất.
Giải:
Để đảm bảo cho tất cả học sinh của các lớp đều được tham gia những môn mà họ học, thì việc tổ chức thi các môn không được chồng chéo nhau. Ta có bảng sau:
Môn học Không thể thi cùng với
Sinh Tiếng Anh, Toán, Hóa, GDCD, Lý, Địa, Văn, Tin, Sử.
Tin Toán, Tiếng Anh, Địa, Văn, Sinh, Sử, GDCD, Hóa.
GDCD Sinh, Lý, Địa, Tiếng Anh, Tin, Sử, Văn, Hóa.
Tiếng Anh Toán, Sinh, Hóa, Tin, Địa, GDCD, Sử.
Địa Toán, Tiếng Anh, Tin, Sinh, GDCD, Lý, Sử.
Sử Văn, Sinh, Tin, Tiếng Anh, GDCD, Lý, Địa.
Hóa Toán, Tiếng Anh, Sinh, Văn, GDCD, Tin.
Toán Tiếng Anh, Sinh, Hóa, Tin, Địa.
Văn Sinh, Tin, Sử, Hóa, GDCD.
Lý Sinh, GDCD, Địa, Sử.
Ta sẽ mô hình hóa bằng đồ thị và đưa về bài toán tô màu như sau:
Mỗi đỉnh của đồ thị là một môn học, hai đỉnh được nối với nhau bằng một cạnh nếu hai môn học không thể thi cùng một đợt.
Áp dụng thuật toán tô màu đỉnh ở mục 2.2.3, ta tìm ra được số lần tổ chức thi ít nhất cần có là 6 (Hình 3.10).
Hình 3.10
Như vậy, ta thu được lời giải cho bài toán 3.4.10 như sau:
Thi đợt 1 Thi đợt 2 Thi đợt 3 Thi đợt 4 Thi đợt 5 Thi đợt 6 Sinh Tin, Lý GDCD, Toán Văn, Tiếng Anh Địa, hóa Sử