Bài toán 3.7.1. ([4]Lý thuyết đồ thị và các bài toán không mẫu mực) Tại Euro 92, bốn đội Đức, Đan Mạch, Hà Lan, Thụy Điển vào bán kết.
Có mấy dự đoán xếp hạng như sau:
a) Đan Mạch vô địch, Thụy Điển nhì.
b) Đan Mạch nhì, Hà Lan ba.
c) Pháp nhì, Hà Lan tư.
Kết quả: Mỗi dự đoán đúng về một đội. Hãy cho biết kết quả xếp hạng của các đội.
Giải:
Hình 3.20
Ta chọn một đường đi từ "gốc" O đến "ngọn" trên đó các cạnh không mang chữ trùng nhau (vì một đội không thể xếp hai thứ hạng khác nhau), và không có chỉ số trùng nhau (vì hai đội không thể xếp cùng một hạng), đồng thời thứ tự xếp hạng của các đội thỏa mãn điều kiện đầu bài. Đường tô màu hồng (nét đậm) với dãy ký hiệu Đ1, H3, P2 cho ta xếp hạng cần tìm.
Bài toán 3.7.2. Minh và Châu thi đấu cầu lông với nhau. Hai bạn chơi 5 ván, bạn nào thắng 3 ván trước sẽ kết thúc cuộc thi và giành chiến thắng. Cuộc thi đấu có thể diễn ra theo bao nhiêu cách khác nhau?
Giải:
Dùng M để ký hiệu Minh thắng, C để ký hiệu Châu thắng.
Dùng cây để mô tả toàn bộ hiện trạng có khả năng xảy ra.
Xây dựng cây: Xuất phát từ điểm O.
- Hai nhánh đầu tiên tương ứng với Minh thắng hoặc Châu thắng.
- Từ mỗi nhánh trên lại rẽ nhánh thành hai nhánh ứng với 2 khả năng Minh thắng hoặc Châu thắng.
- Thực hiện kéo dài các đường một cách tương tự, nhưng do quy ước của 2 bạn, những đường mà trên đó xuất hiện 3 đỉnh được ghi bằng cùng một ký hiệu đều không được kéo dài. Ta có cây như hình 3.21.
Hình 3.21
Cây có 20 đỉnh ngọn, nên cuộc thi đấu có thể diễn ra theo 20 cách khác nhau.
Bài toán 3.7.3. ([1]Graph và giải toán phổ thông) Hãy tìm tất cả các ước số của 126.
Giải:
Trước hết xin trình bày thuật toán xây dựng cây sinh ước. Sau đó dùng cây sinh ước để xác định tập ước số của 126.
• Thuật toán xây dựng cây sinh ước.
. Bước 1: Phân tích số n thành tích của lũy thừa các số nguyên tố và xếp theo thứ tự cơ số tăng dần:
n= as11.as22...astt.ast+1t+1...askk (∗)
Với at,(1≤ t ≤k) là các số nguyên tố, aj > ai, nếu j > i và st là các số nguyên không âm.
Khi đó
U(astt) = {1, at, a2t, ..., astt−1, astt}.
. Bước 2: Xây dựng cây sinh ước (T)
Cây T được xây dựng bằng phương pháp quy nạp theo số thừa số của dạng phân tích (*).
1. Cơ sở quy nạp: Đầu tiên lấy một điểm ghi số 1 làm gốc của cây đồng thời đặt trong khuyên tròn có mũi tên đi vào.
Sau đó về phía phải của gốc 1 ta lấy một cột gồm s1 + 1 điểm khác nhau và ký hiệu lần lượt từ trên xuống dưới bằng các ước của as11:
1, a1, a21, ..., am1 , ..., as11.
Đặt các điểm này trong khuyên tròn, rồi nối mỗi điểm này với gốc 1 bằng một cạnh.
Hình 3.22
2. Quy nạp: Giả sử đã xây dựng được phần đầu của cây T đến hết các cột đỉnh tương ứng với tập ước của astt.
Khi đó đối với đỉnh 1 cũng như đối với mỗi đỉnh amt ,(1≤ m ≤t) với mỗi đỉnh thuộc cột tương ứng với đỉnh amt bằng một cạnh.
Hình 3.23
Ta tiếp tục quá trình xây dựng như trên cho tới khi đặt hết các cột đỉnh ghi ước của askk đồng thời kẻ xong cạnh nối mỗi đỉnh này với đỉnh
Ta gọi số ghi trên đỉnh của cây là nhãn của đỉnh, còn dãy số ghi lần lượt các đỉnh của đường α là nhãn của đường α.
Do cách xây dựng tương ứng với dạng phân tích số n thành tích lũy thừa các số nguyên tố (*), nên cây T có các đặc điểm sau:
i, Mỗi nhóm lũy thừa trong dạng (*) trên cây T đều có đúng một đường d chạy từ gốc đến lá (đỉnh không phải là gốc, nhưng chỉ thuộc một cạnh), mà mỗi số thuộc nhóm này đều là nhãn của ít nhất một đỉnh thuộc d đồng thời trên d không có đỉnh nào với nhãn nằm ngoài nhóm được xét.
Bởi vậy tích các số thuộc nhãn của đường d là một ước của n, đồng thời mỗi ước của n đều là tích của các số thuộc nhãn của một đường đi từ gốc đến một lá nào đó.
ii, Mỗi đường đi từ gốc đến lá đều có nhãn, mà tích các số thuộc nhãn này là ước của n.
Với hai đặc điểm trên nên cây T sinh được tập ước số của n.
• Tìm tất cả các ước số của số 126.
. Bước 1: Phân tích số 126 thành tích các lũy thừa có số nguyên tố:
126 = 2.32.7 (∗∗)
Khi đó: U(2) = {1,2}, U(9) = {1,3.9}, U(7) = {1,7}.
. Bước 2: Xây dựng cây T:
Cây T có dạng ở hình 3.24.
Cây T có 12 lá, nên 126 có 12 ước số khác nhau và tập ước của 126 là: U(126) = {1,2,3,6,7,9,14,18,21,42,63,126}.
Hình 3.24
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, tác giả đã tập trung vào việc nghiên cứu lý thuyết đồ thị và vận dụng các kết quả của nó để giải quyết các bài toán phổ thông trung học và đã đạt được các kết quả sau:
1. Nhằm mục đích tổng quan về một số vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết đồ thị: Trình bày các khái niệm, định nghĩa cơ bản về lý thuyết đồ thị, các định lý, tính chất được áp dụng thiết thực và hiệu quả để giải các bài toán sơ cấp.
2. Làm nổi bật ưu thế của lý thuyết đồ thị trong việc giải một số bài toán sơ cấp: Nêu ra được một số bài toán liên quan đến đỉnh, cạnh, tô màu, chu trình, đường đi của đồ thị. Các bài toán đó được chứng minh một cách cụ thể và được vận dụng có hiệu quả trong việc giải các bài toán sơ cấp liên quan.
3. Hệ thống và phân loại một số lớp các bài toán trong chương trình toán phổ thông trung học có thể giải bằng cách ứng dụng hiệu quả lý thuyết đồ thị. Bên cạnh những bài toán dành cho học sinh lớp chuyên, lớp chọn, tác giả còn đưa ra những bài toán để giảng dạy cho học sinh phổ thông đại trà.
Tuy nhiên, với khả năng nghiên cứu khoa học còn hạn chế, nội dung của đề tài là rất mới đối với tác giả, cho nên dù cố gắng rất nhiều nhưng vẫn còn có những hạn chế. Tác giả mong muốn nhận được sự quan tâm chỉ dẫn của quý thầy cô và sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để bản luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!