CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG VÀ PHÂN LOẠI VẬT RẮN THEO CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG
2.2. Vùng năng lượng trong gần đúng điện tử gần tự do
2.2.1. Bài toán và cách giải thứ nhất
Bài toán cần giải ở đây là giải phương trình Schroedinger viết cho gần đúng một điện tử
[− ℏ2
2𝑚𝛻2+ 𝑉(𝐫)]Ψ(𝐫) = 𝐸Ψ(𝐫) (2.1) trong đó cho trước rằng 𝑉(𝐫) là một tuần hoàn 𝑉(𝐫 + 𝐑) = 𝑉(𝐫)
Nguyên tắc để giải bài toán cho rằng 𝑉(𝐫) là tương đối yếu, nhờ thế mà có thể dùng phương pháp nhiễu loạn để giải bài toán. Cụ thể là:
Vì 𝑉(𝐫) là một hàm tuần hoàn nên nó có thể được khai triển Fourier dưới dạng:
𝑉(𝐫) = ∑ 𝑣(𝐆)𝑒𝐆 𝑖𝐆𝐫 (2.2) Trong đó G là vectơ của mạng đảo (cần ghi nhớ rằng 𝑒𝑖𝐆𝐑 = 1).
Lời giải về hàm sóng phải là hàm Bloch (sóng phẳng có biên độ biến điệu):
Ψ(𝐫) = 𝑢𝐤(𝐫)𝑒𝑖𝐤𝐫, 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 đó 𝑢𝐤(𝐫 + 𝐑) = 𝑢𝐤(𝐫) (2.3)
Vì 𝑢𝐤(𝐫) cũng là một hàm tuần hoàn nên nó cũng có thể được khai triển Fourier theo các vectơ G như sau:
𝑢𝐤(𝐫) = ∑ 𝜙𝐆 𝐤(𝐆)𝑒𝑖𝐆𝐫 (2.4) Do đó :
Ψ𝐤(𝐫) = ∑ 𝜙𝐆 𝐤(𝐆)𝑒𝑖(𝐤+𝐆)𝐫 (2.5)
Phương trình trở thành : ∑ [𝐸(𝐤) − ℏ2
2𝑚(𝐤 + 𝐆)2]
𝐆 𝜙𝐤(𝐆)𝑒𝑖(𝐤+𝐆)𝐫=∑ ∑ 𝑣(𝐆𝐆 𝐆′ ′)𝜙𝐤(𝐆)𝑒𝑖(𝐤+𝐆+𝐆′)r (2.6)
Biến đổi vế phải của (2.6) bằng cách thay G bằng (G –G’):
26
∑ ∑ 𝑣(𝐆𝐆 𝐆 ′)𝜙𝐤(𝐆)𝑒𝑖(𝐤+𝐆+𝐆′)𝐫 = ∑ ∑ 𝑣(𝐆𝐆 𝐺 ′)𝜙𝐤(𝐆 − 𝐆′)𝑒𝑖(𝐤+𝐆)𝐫 (2.7)
Sau biến đổi này phương trình Schroedingher trở thành : [𝐸(𝐤) − ℏ2
2𝑚(𝐤 + 𝐆)𝟐] 𝜙𝐤(𝐆) − ∑ 𝑣(𝐆𝐆 ′)𝜙𝐤(𝐆 − 𝐆′) = 0 (2.8) Đây là phương trình cơ bản viết cho 𝜙𝐤(𝐆), hệ phương trình này có các tính chất sau đây:
Số các phương trình là vô tận (viết cho tất cả các vectơ 𝐆 có thể có);
Các phương trình là tuyến tính (hoặc là bậc nhất ) đối với 𝜙𝐤(𝐆);
Các phương trình là đồng nhất (tất cả các số hạng của mỗi phương trình đều chứa 𝜙k).
Sau đây ra sẽ chia ra hai trường hợp để xét hệ phương trình (2.8):
Trường hợp điện tử không bị tinh thể phản xạ Bragg (2𝐤𝐆 + 𝐆𝟐 ≠ 0)
Trường hợp điện tử bị tinh thể phản xạ Bragg (2𝐤𝐆 + 𝐆𝟐 = 0) 1. Trường hợp điện tử không bị tinh thể phản xạ Bragg
a. Gần đúng bậc không:V(r) =0 hay v(G’)= 0 đối với mọi G’
Trong trường hợp này tổng lấy theo G’ trong các phương trình (2.8) bị mất đi và các phương trình này trở thành:
[ 𝐸(𝐤) − ℏ2
2𝑚(𝐤 + 𝐆)2] 𝜙𝐤(𝐆) = 0 (2.9) Khi G≠0 ta có :
Vì 𝑉(𝐫) =0 nên điện tử là hoàn toàn tự do và do đó : E(k) = ℏ
2𝐤2
2𝑚 (2.10)
Nhưng điện tử không bị tinh thể phản xạ Bragg 𝟐𝐤𝐆 + 𝐆𝟐 ≠ 0 nên E(k) = ℏ
2𝐤2
2𝑚 ≠ ℏ2
2𝑚(𝐤 + 𝐆)𝟐 (2.11)
27
Ta đi đến kết luận là phần trong ngoặc vuông của (2.9) khác không. Do đó để phương trình (2.9) được thỏa mãn ta phải có :
𝐆 ≠ 0 → 𝜙𝐤(𝐆 ≠ 0) = 0 (2.12) 𝐆 = 0 → 𝜙𝐤(𝐆 = 0) ≠ 0
Nhằm thỏa mãn (2.12) nhưng chuẩn hóa được hàm sóng ta có thể đặt : 𝜙𝐤(𝐆 = 0) = 1 (2.13) Kết luận lại ở gần đúng hoặc bằng không ta có :
𝐸(𝐤) = ℏ2𝐤2
2𝑚 𝑣à Ψ𝐤(𝐫) = 𝑒𝑖𝐤𝐫 (2.14) có nghĩa là cả năng lượng và cả hàm sóng của điện tử đều đúng như là của điện tử tự do.
b. Gần đúng bậc một: v(G’) là các đại lượng nhỏ bậc một đối với mọi G’
Hiển nhiên là trong gần đúng bậc 1 ta cũng phải cho rằng các 𝜙𝐤(𝐆 ≠ 0)là các đại lượng nhỏ bậc 1, vì ở gần đúng bậc 0, giống như 𝑣(𝐆’), chúng cũng đã bằng 0. Khi đó trong hệ phương trình (2.8) trong tổng lấy theo G’ chỉ cần giữ lại một thành phần với G = G’, vì chỉ khi đó ta mới có đại lượng nhỏ bậc 1 (còn trong các trường hợp nhỏ bậc 2). Như vậy hệ phương trình (2.8) trở thành :
[𝐸(𝐤) − ℏ2
2𝑚(𝐤 + 𝐆)2] 𝜙𝐤(𝐆) − 𝑣(𝐆) ∅⏟ 𝐤(0)
1
= 0(𝐆 ≠ 0) (2.15) Từ đây suy ra :
𝜙𝐤(𝐆 ≠ 0) = 𝑣(𝐆) 𝐸(𝐤)−ℏ2
2𝑚(𝐤+𝐆)2
(2.16) Nếu thay 𝐸(𝐤) bằng giá trị đã tìm được ở gần đúng bậc 0 của nó (công thức (2.10) thì ta có :
𝜙𝐤(𝐆 ≠ 0) = −2𝑚 ℏ2
𝑣(𝐆)
𝟐𝐤𝐆+𝐆2 (2.17)
28
Đây chính là các hiệu đính cho hàm sóng ở gần đúng bậc. Nếu ghi nhớ thêm là 𝜙𝐤(𝐆 = 0) = 1 (đã tìm thấy ở đúng bậc không) thì theo (2.5) ta thấy là ở gần đúng bậc 1 hàm sóng của điện tử có dạng:
ψ𝐤(𝐫) = 𝑒𝑖𝐤𝐫 −2𝑚
ℏ2 ∑ 𝑣(𝐆)
2𝐤𝐆+𝐆𝟐
𝐺≠0 𝑒𝑖(𝐤+𝐆)𝐫 (2.18) Bây giờ ta sẽ tính bổ chính cho năng lượng của điện tử ở gần đúng bậc 1.
Giả sử là năng lượng được bổ chính như sau : 𝐸(𝐤) =ℏ2𝐤2
2𝑚 + 𝜀 (2.19) Thay biểu thức này vào (2.8), sau khi giản ước ta có :
[𝜀 −ℏ2𝑘2
2𝑚 (𝟐𝐤𝐆 + 𝐆2)] 𝜙𝐤(𝐆) = ∑ 𝑣(𝐆𝐆′ ′)𝜙𝐤(𝐆 − 𝐆′) (2.20) Để tìm ra biểu thức của 𝜀 ta có thể chia ra làm 2 trường hợp để xét :
Nếu chỉ xét đến 𝜀 là một đại lượng nhỏ bậc 1 thì ta có: Bởi vì 𝜀 đã là một đại lượng nhỏ bậc 1 nằm ở vế bên trái của (2.20) nếu chỉ muốn xét đến các đại lượng nhỏ bậc 1, ta chỉ nên xét tích số của nó với 𝜙𝐤(𝐆) khi đây là một đại lượng nhỏ bậc 0, tức là chỉ xét tích số của nó với 𝜙𝐤(𝐆) với chỉ giá trị duy nhất là G = 0 (vì như ta biết, chỉ có 𝜙𝐤(𝐆 = 0) = 1 là đại lượng nhỏ bậc 0).
Tương tự như vậy, ở vế phải nếu cũng chỉ muốn xét đến các đại lượng nhỏ bậc 1 thì ta chỉ còn duy nhất một số lượng là 𝑣(0) 𝜙𝐤(0) = 𝑣(0), và như vậy (2.20) trở thành 𝜀 = 𝑣(0). Kết luận lại, ở gần đúng bậc 1 biểu thức mô tả năng lượng của điện tử có dạng :
𝐸(𝐤) =ℏ2𝐤2
2𝑚 + 0 (2.21)
Nếu xét đến 𝜀 là một đại lượng nhỏ bậc 2 thì ta có: Bởi vì 𝜀 là một đại lượng nhỏ bậc 2, do đó 𝜀 𝜙𝐤(𝐆 ≠ 0) sẽ là một đại lượng nhỏ bậc 3. Do đó nếu chỉ muốn xét đến các đại lượng nhỏ bậc 2 thì trong phương trình (2.20)
29
chỉ cần xét đến các đại lượng nhỏ bậc 2 thì trong phương trình (2.20) chỉ cần xét 𝜙𝐤(𝐆 = 0) = (1) là đủ. Khi đó ở bên vế trái của (2.20) chỉ còn một mình 𝜀, còn ở bên vế phải cần chú ý là trong tổng lấy theo G’ phải chia làm 2 trường hợp để xét, với G’ = 0 và G’ ≠ 0 và (2.20) trở thành:
𝜀 = 𝑣(0) + ∑𝐆′≠0𝑣(𝐆′)𝜙𝐤(−𝐆′) (2.22) Trong (2.22) thay thế kí hiệu G’ bằng –G, thế 𝜙𝐤(𝐆) bằng công thức (2.17), kèm thêm nhận xét là 𝑣(−𝐆′) = 𝑣∗(𝐆) ( do 𝑣(𝐆) là một đại lượng thực). Kết quả là cuối cùng ta có :
𝜀 = 𝑣(0) = 2𝑚
ℏ2 ∑ |𝑣(𝐆)|2
2𝐤𝐆+𝐆𝟐
𝐆≠0 (2.23) Như ta đã thấy ,trong gần đúng bậc 1, chỉ khi ta muốn bổ chúng cho năng lượng đến các giá trị nhỏ bậc 2 thì mới phải dùng đến hiệu đính của hàm sóng ở gần đúng bậc 1, còn nếu chỉ bổ chính năng lượng đến các giá trị nhỏ bậc 1 thì không cần dùng đến hiệu đính này. Việc bổ chính năng lượng đến các giá trị nhỏ bậc 2 là quan trọng để đó có thể tính tiếp ra hiệu đính của hàm sóng ở gần đúng bậc 2 và sau đó đi tiếp lên các gần đúng bậc cao hơn.
Đáng chú ý là các công thức bổ chính cho hàm sóng và năng lượng (2.17) và (2.22) đều chứa tổng (𝟐𝐤𝐆 + 𝐆2) ở mẫu số, và do đó chỉ dùng được khi tổng này khác không, và như vậy đúng là các công thức này chỉ áp dụng được cho trường hợp điện tử không bị tính thế phản xạ Bargg.
2. Trường hợp điện tử bị tinh thể phản xạ Bargg
Đây là trường hợp điện tử chuyển động với vectơ sóng k bị họ mặt phẳng tinh thể vuông góc với vectơ G phản xạ Bargg, và khi đó 𝟐𝐤𝐆 + 𝐆2 = 0
a. Gần đúng bậc không: 𝑉(𝐫) = 0 hay là 𝑣(𝐆’) = 0 đối với mọi G’
Như ta đã biết, đối với gần đúng bậc 0 phương trình Schroedinger cần giải có dạng (2.9)
[𝐸(𝐤) − ℏ2
2𝑚(𝐤 + 𝐆)𝟐] 𝜙𝐤(𝐆) = 0
30
Trong trường hợp phản xạ Bargg 𝟐𝐤𝐆 + 𝐆2 = 0 ta luôn có phần trong ngoặc vuông bằng 0, kể cả khi 𝐆 = 0 và khi 𝐆 ≠ 0. Do đó ta phải có:
𝜙𝐤(𝐆 = 0) ≠ 0 và 𝜙𝐤(𝐆 ≠ 0) ≠ 0
Hay nói cách khác, chúng là các đại lượng nhỏ bậc 0 (tức là các giá trị lớn).
Nhưng cần chú ý là 𝜙𝐤 khi 𝐆 ≠ 0 chỉ ≠ 0 tại một giá trị của G đáp ứng điều kiện phản xạ Bargg đối với vectơ sóng k cụ thể đang xét (chứ không phải là tại mọi giá trị 𝐆 ≠ 0). Do đó để khỏi nhầm lẫn có thể kí hiệu giá trị này của G bằng 𝐆1. Tóm lại ta có:
𝜙𝐤(0) ≠ 0 và 𝜙𝐤(𝐆1) ≠ 0 (2.24) b. Gần đúng bậc một: 𝑣(𝐆′) là các đại lượng nhỏ bậc một đối với mọi G’
Trong hệ phương trình cơ bản (2.8) viết cho 𝜙𝐤(𝐆) nếu chỉ tính đến các đại lượng nhỏ bậc 1 (vì là gần đúng bậc 1) thì chỉ cần tính đến các số hạng có chứa 𝜙𝐤(0)𝑣à 𝜙𝐤(𝐆1), vì chỉ có chúng mới là đại lượng nhỏ bậc 0 và dó đó khi nhân với 𝑣(𝐆′) là các đại lượng nhỏ bậc 1 mới cho ra các đại lượng nhỏ bậc 1, còn các trường hợp khác đều cho ra các đại lượng nhỏ bậc 2 hoặc cao hơn. Do đó trong trường hợp này hệ phương trình (2.8) trở thành một hệ chỉ gồm có 2 phương trình:
[ 𝐸(𝐤) −ℏ2𝐤2
2𝑚 ] 𝜙𝐤(0) − 𝑣(−(𝐆1) 𝜙𝐤(𝐆1) − 𝑣(0)𝜙𝐤(0) = 0 (2.25) [ 𝐸(𝐤) −ℏ2𝐤2
2𝑚 ] 𝜙𝐤(𝐺1) − 𝑣(𝐆1)𝜙𝐤(0) − 𝑣(0)𝜙𝐤(𝐆1) = 0 (2.26) Hệ gồm 2 phương trình này đối với 𝜙𝑘(0)𝑣à 𝜙𝑘(𝐺1) chỉ có lời giải ≠ 0 nếu như định thức của hệ phương trình bằng 0, tức là:
[ 𝐸(𝐤) −ℏ2𝐤2
2𝑚 − 𝑣(0)]2− |𝑣(𝐆1)|2 = 0 (2.27) Từ đây suy ra :
𝐸(𝐤) = ℏ2𝐤2
2𝑚 + 𝑣(0) ± |𝑣(𝐆1)| (2.28)
31
Công thức này nói lên rằng khi điện tử chuyển động với vectơ sóng k bị họ mặt phẳng tinh thể vuông góc vectơ 𝐆𝟏 phản xạ Bargg (tức là khi 2𝑘𝐆1 + 𝐆12=0) thì có 2 giá trị năng lượng tương ứng với một giá trị của k, 2 giá trị này cách nhau một khoảng :
∆𝐸(𝐤) = 2|𝑣(𝐆1)| (2.29) Nói cách khác, tại giá trị k đáp ứng điều kiện phản xạ Bargg đã xuất hiện một vùng năng lượng cấm (hoặc còn gọi là khe năng lượng với độ rộng 2|𝑣(𝐆𝟏)|).