CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG VÀ PHÂN LOẠI VẬT RẮN THEO CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG
2.2. Vùng năng lượng trong gần đúng điện tử gần tự do
2.2.2. Bài toán và cách giải thứ hai
Nói chung có 2 cách tiếp cận giá trị như nhau để giải bài toán về cấu trúc vùng năng lượng gần đúng điện tử gần tự do. Trong các sách về vật lý chất rắn thì tùy theo sách có sách dùng cách thứ nhất có sách dùng cách thứ 2. Các cách này là:
1) Từ điều kiện cho trước rằng 𝑉(𝐫) là một hàm tuần hoàn nên coi là ta đã biết trước rằng lời giải về hàm sóng phải có dạng của hàm Bloch, tức là khi biên độ của hàm sóng cần tìm được khai triển theo vectơ mạng đảo G. Đây là cách mà ta thực hiện ở trên .
2) Coi rằng ta chưa biết lời giải về hàm sóng phải có dạng như thế nào.
Khi đó hàm sóng cần tìm phải khai triển theo tất cả các giá trị có thể có của k.
Bây giờ ta sẽ trình bày cách giải này để thấy rằng bài toán không phải có một cách giải, cũng như để người đọc không bị rối trí khi tham khảo them các sách khác nhau về vật lý chất rắn .
Ta nhắc lại rằng bài toán ở đây là giải phương trình (2.1). Mặc dù đã cho trước rằng 𝑉(𝐫) là một hàm tuần hoàn, tức là nó có thể được khai triển Fourier dưới dạng
𝑉(𝐫) = ∑ 𝑣(𝐆)𝑒𝑖𝐆𝐫
𝐆
32
Trong đó G là vectơ của mạng đảo (và do đó cần ghi nhớ rằng 𝑒𝑖𝐆𝐑 = 1, ta vẫn coi là chưa biết hàm sóng Ψ(𝐫) cần tìm phải có dạng như thế nào và do đó ta vẫn tìm nó dưới dạng khai triển Fourier theo tất cả các giá trị có thể có của vectơ sóng k :
Ψ(𝑟) = ∑ 𝐶(𝐤)𝑒𝑘 𝑖𝐤𝐫 (2.30) Thay vào lời giải phương trình Schroedinger (2.1) ta có:
∑ [𝐸 −ℏ2𝐤2
2𝑚] 𝐶(𝐤)𝑒𝑖𝐤𝐫 =
𝑘 ∑ ∑ 𝑣(𝐆)𝐶(𝐤)𝑒𝐆 𝐤 𝑖(K+G)r (2.31) Nhân cả hai về phương trình này với exp(-ik’r), sau đó lấy tích phân theo dr ta có:
∑ [𝐸 −ℏ2𝐤2
2𝑚 ] 𝐶(𝐤) ∫ exp [(𝑖(𝐤 − 𝐤′)𝐫
𝐤
]𝑑𝐫
= ∑ ∑ 𝑣(𝐆)𝐶(𝐤) ∫ exp[𝑖(𝐤 − 𝐤𝐆 𝐤 ′+ 𝐆)𝒓] 𝑑𝒓 (2.32) Để tính được tích phân ∫ exp [(𝑖(𝐤 − 𝐤′)𝐫 𝑑𝐫 ta có các nhận xét sau đây:
Nếu 𝐤 − 𝐤’ = 0, tích phân trở thành có giá trị
∫ 𝑑𝐫 = 𝑁𝑣
Trong đó N là số ô cơ sở của mạng máy tinh thể và v là thể tích của ô cơ sở
Nếu k – k’≠ 0 thì tích phân này trở thành tích phân 3 thừa số 1
𝑖(𝐤 − 𝐤′) exp [(𝑖(𝐤 − 𝐤′)𝑁𝑗𝑎𝑗], 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 đó 𝑗 = 1, 2 ,3
Nhưng vì cả k và k’ đều phải đáp ứng điều kiện tuần hoàn Born- Karman nên ta phải có:
exp [(𝑖𝐤𝑁𝑗𝑎𝑗] = exp [(𝑖(𝐤′)𝑁𝑗𝑎𝑗] = 1 Kết quả là giá trị của tích phân này bằng 0.
Nói tóm lại ta có kết quả
∫ exp[𝑖(𝐤 − 𝐤′)𝐫] 𝑑𝐫 = 𝑁𝑣𝛅𝐤𝐤′ (2.33)
33
Với cách tính tương tự như trên ra cũng sẽ có :
∫ exp[𝑖(𝐤 − 𝐤′ + 𝐆)𝐫] 𝑑𝐫 = 𝑁𝑣𝛿𝐤,𝐤′−𝐆 (2.34) Thế các giá trị đã tính được của cả hai tích phân trên đây vào phương trình (2.32), sau đó kí hiệu k’ bằng k, ta có hệ phương trình:
(𝐸(𝐤) −ℏ2𝐤𝟐
2𝑚 ) 𝐶(𝐤) − ∑ 𝑣(𝐆)𝐶(𝐤 − 𝐆) = 0𝐆 (2.35) trong đó để nhấn mạnh là một giá trị của E tương ứng với một giá trị của k nên ta đã viết 𝐸(𝐤) thay cho 𝐸, Đây là hệ phương trình bao gồm 𝑁 phương trình (vì k có thể có N giá trị độc lập) có dạng giống hệt nhau, mỗi phương trình liên kết một hệ số khai triển Fourier 𝐶(𝐤)
Với một số vô tận các hệ số Fourier 𝐶(𝐤 – 𝐆) khác .
Giải hệ phương trình (2.35) để tìm ra 𝐶(𝐤) trong trường hợp chung là bài toán rất khó, do đó ở đây ta chỉ tìm lời giải ở gần đúng bậc 0 cho Ψ𝐫. Để làm việc này trước tiên kí hiệu:
𝐸𝐤0 =ℏ2𝐤2 2𝑚 Vì ℏ
2𝑘2
2𝑚 chính là năng lượng (𝐸𝐤0) của điện tử với vectơ sóng k (kí hiệu bằng chỉ số k ở dưới) chuyển động tự do (ký hiệu bằng chỉ số 0 ở trên). Sau đó ta viết lại phương trình (2.35) dưới dạng :
C(k)= ∑ 𝑣(𝐆)𝐶(𝐤−𝐆)𝐆
𝐸(𝐤)−𝐸𝐤0 (2.35’) Và từ đây đặt câu hỏi: Với k bằng bao nhiêu thì hệ số 𝐶(𝐤) là lớn và tức là thành phần khai triển tương ứng 𝐶(𝐤) là quan trọng? - Câu trả lời sẽ là: khi mẫu số của công thức trên ≈ 0. Vậy điều này xảy ra khi nào?
Khi điện tử chuyển động với một vectơ sóng 𝐤1 nào đó để nó đảm bảo sao cho năng lượng của nó gần bằng nữa năng lượng của điện tử chuyển động từ do với vectơ sóng 𝐤1 (𝐸𝐤0𝟏)
34
𝐸(𝐤𝟏) ≈ 𝐸𝐤0𝟏 ≡ ℏ2𝐤1
2
2𝑚
Nhưng chú ý là với 𝐤 = 𝐤𝟏 này, nếu như điện tử bị phản xạ Bargg bởi một vectơ 𝐆1 nào đó của mạng đảo thì vì lý do là theo định luật Bargg 2𝑘1𝐆1− 𝐆12 = 0 nên lúc đó:
ℏ2(𝐤1− 𝐆𝟏)2
2𝑚 = ℏ2(𝐤12− 2𝐤𝟏𝐆𝟏+ 𝐆12)
2𝑚 = ℏ2𝐤12 2𝑚
Điều nói trên đây có nghĩa là trong trường hợp 𝐤1 vị phản xạ Bargg thì ngoài C(𝐤1) là lớn, C(𝐤1− 𝐆1) cũng là lớn và ta cũng phải tính đến nó.
Kết luận lại có thể nói rằng trong gần đúng một điện tử nếu tìm lời giải về hàm sóng Ψ(𝐫) của điện tử chuyển động trong mạng tinh thể dưới dạng khai triển Fourier theo tất cả các giá trị có thể có của vectơ k khi ở gần đúng bậc 0:
(1) Trong tất cả các giá trị có thể có của vectơ k chỉ cần xét đến một vectơ 𝐤1 mà ở đó điện tử chuyển động gần như tự do, nếu như 𝐤𝟏 không bị phản xạ Bargg bởi mạng tinh thể. Tức là chỉ cần thực hiện :
Ψ(𝐫) = 𝐶(𝐤𝟏)𝑒𝑖𝐤𝟏𝐫 (2.36) Trong đó điều kiện để xác định 𝐤𝟏 là :
𝐸𝒌𝟏 = ℏ2𝐤𝟏
2
2𝑚 ( = 𝐸𝐤0𝟏) (2.37) (2) Chỉ cần xét đến vectơ sóng 𝐤𝟏 mà ở đó điện tử chuyển động gần như tự do và vectơ sóng phản xạ 𝐤′𝟏 = 𝐤𝟏− 𝐆𝟏,nếu như sóng 𝐤𝟏 bị mạng tinh thể phản xạ Bargg thông qua một vectơ của mạng đảo 𝐆𝟏. Tức là trong trường hợp này chỉ cần chọn:
Ψ(𝐫) = 𝐶(𝐤𝟏)𝑒𝑖𝐤𝟏𝐫+ 𝐶(𝐤𝟏− 𝐆𝟏)𝑒𝑖(𝐤𝟏−𝐆𝟏)𝐫 (2.38) Trong đó điều kiện xác định 𝑘1vẫn là biểu thức (2.37) còn điều kiện xác định 𝐺1 là:
𝐤′𝟏− 𝐤𝟏 = 𝑮𝟏 hay 2𝐤𝟏𝐆𝟏− 𝐆𝟏𝟐 = 0 (2.39)
35
Chính vì lý do này mà phép gần đúng trên đây có tên là là phép gần đúng điện tử gần tự do.
Bây giờ ta đi vào xét cụ thể để thấy rõ sự xuất hiện của vùng cấm. Trong trường hợp này hệ phương trình (2.35) chỉ còn lại 2 phương trình (và trong mỗi phương trình cũng chỉ còn lại 2 thành phần) tương ứng với 𝐶(𝐤1) và 𝐶(𝐤2) trong đó 𝐤′𝟏 là sóng phản xạ của 𝐤𝟏
(𝐸𝐤1 − 𝐸𝐤0𝟏). 𝐶(𝐤1) − 𝑣(𝐆1). 𝐶(𝐤1− 𝐆1) = 0 (2.40) (𝐸𝐤′1 − 𝐸𝐤
1′
0 ). 𝐶(𝐤′1) − 𝑣(𝐆′1). 𝐶(𝐤′1 − 𝐆′1) = 0 (2.41) Trong đó 𝐆1 đáp ứng điều kiện phản xạ Bargg đối với 𝐤1 𝑣à 𝐆′1đáp ứng điều kiện này đối với 𝐤′1. Với các nhận xét
(1) 𝐤1 − 𝐆1 = 𝐤′1 → 𝐶(𝐤1− 𝐆1) = 𝐶(𝐤′1) (2) 𝐸(𝐤1) = 𝐸(𝐤′1)
(3) 𝐆′1 = −𝐆1 (𝑣ì 𝐤1 = 𝐤′1+ 𝐆1 = 𝐤′1− (−𝐆1) nên có thể nói rằng sóng phản xạ của 𝐤′1 chính là 𝐤1 với vectơ phản xạ −𝐆1
(4) 𝑣(−𝐆1) = 𝑣∗(𝐆1) do 𝑉(𝐫) là một đại lượng thực
Hệ phương trình (2.40) và (2.41) trên đây có thể biến đổi thành:
𝐸(𝐤1). 𝐶(𝐤𝟏) − 𝑣(𝐆1). 𝐶(𝐤′1) (2.42) 𝑣∗(𝐆1). 𝐶(𝐤1) + (𝐸𝐤
𝟏′
0 − 𝐸𝐤1) . 𝐶(𝐤′1) = 0 (2.43) Hệ phương trình này chỉ có lời giải khác 0 nếu như định thức của nó bằng
không, tức là ta phải có:
(𝐸𝐤
1
0 − 𝐸𝐤𝟏). (𝐸𝐤
1′
0 − 𝐸𝐤𝟏 − |𝑣(𝐆1)|2 = 0 (2.44) Viết tường minh hơn phương trình này:
𝐸(𝐤1)2− 𝐸(𝐤1)(𝐸𝐤01 + 𝐸𝐤01−𝐆1) + 𝐸𝐤01. 𝐸𝐤01−𝐺1 − |𝑣(𝐆1)|2 = 0 (2.44’) Lời giải của nó sẽ là:
(𝐸𝐤1)2 =1
2(𝐸𝐤01 + 𝐸𝐤01−𝐆1) ±1
2√(𝐸𝐤0𝟏 − 𝐸𝐤
𝟏−𝐆1
0 )2+ 4|𝑣(𝐆1)|2 (2.45)
36 Nhưng vì dễ dàng thấy rằng:
𝐸𝐤
𝟏 0 = 𝐸𝐤
𝟏−𝐆𝟏
0 Nên do đó (2.45) trở thành:
𝐸(𝐤1) = 𝐸𝐤01 ± |𝑣(𝐆1)| (2.46) Nghĩa ở đây thấy rõ có sự gián đoạn về năng lượng. Hay nói cách khác có 2 giá trị năng lượng 𝐸𝐤11và 𝐸𝐤2𝟏 cùng tương ứng với một giá trị của 𝐤1 mà
𝐸𝐤11- 𝐸𝐤2𝟏=∆ 𝐸𝐤1𝟏= 2|𝑣(𝐆𝟏)| (2.47) Đây chính là kết luận quan trọng nhất mà ta muốn đưa ra: nếu chuyển động điện tử trong tinh thế được mô tả bằng một vectơ sóng 𝐤1 nào đó tương ứng với một sóng phẳng của điện tử chuyển động hoàn toàn tự do, nhưng sóng 𝐤1 này lại bị mạng tinh thể phản xạ Bargg thì lúc đó xuất hiện vùng năng lượng bị cấm tức là không có các điện tử với các năng lượng nằm trong vùng cấm này ) với độ lớn là 2|𝑣(𝐆1)|
Về phần hàm sóng nếu thay đổi các giá trị (2.46) đã tính toán ra được 𝐸(𝐤1) vào hệ phương trình (2.42) và (2.43) đễ dàng tính ra rằng
𝐶(𝐤1) = ±𝐶(𝐤′1) (2.48) Và như vậy (2.38) ta có:
Ψ(𝐫) = 𝐶(𝐤1)[𝑒𝑖𝐤𝟏𝐫 ± 𝑒𝑖(𝐤𝟏−𝐆𝟏)𝐫] (2.49) Tức là có 2 hàm sóng tương ứng với 2 giá trị khác nhau của 𝐸(𝐤𝟏)