CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG VÀ PHÂN LOẠI VẬT RẮN THEO CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG
2.2. Vùng năng lượng trong gần đúng điện tử gần tự do
2.2.3. Các nhận xét về sơ đồ vùng năng lượng
Xét E như một hàm của k tức là xét 𝐸 = 𝐸(𝐤).Khi đó nếu xét biến số k theo tất cả các hướng khác nhau có giá trị tuyệt đối |𝐤| tăng dần từ 0 đến ∞, thì ta thấy rằng cứ mỗi lần |𝐤| đạt đến biên vùng Brillouin (thứ nhất, thứ hai, thứ ba,…) thì hàm số E(k) lại một lần bị gián đoạn. Từ đây ta thấy rằng năng
37
lượng có cấu trúc tuần hoàn (cài răng lược giữa vùng được cho phép và vùng cấm) trong không gian k.
Các giá trị biến số k nằm trong một vùng Brillouin tương ứng với các giá trị hàm số E nằm trong một vùng năng lượng được phép .
Một giá trị của biến số k nằm ở biên một vùng Brillouin (xét theo một hướng nào đó) tương ứng với các giá trị của hàm số E nằm trong một vùng năng lượng cấm.
2. Ba cách biểu diễn sơ đồ các vùng năng lượng [1]
Nói chung có ba cách biểu diễn vùng năng lượng (minh họa như hình 2.3) như sau:
a. Sơ đồ vùng năng lượng khai triển
Đây là trường hợp khi ta xét hàm số E =E(k) với các vectơ k nằm trong toàn bộ không gian đảo tức là xét |𝐤| thau đổi từ -∞ đến +∞, như vậy đây chính là bức tranh đã xét ở phần trước.
b. Sơ đồ vùng năng lượng quy chuẩn
Như ta đã biết, tập hợp của tất cả các vectơ k nằm tròng vùng Brillouin thứ nhất (với các điểm đầu của k nằm ở tâm vùng Brillouin) là đủ đại diện cho toàn thể các vectơ k có giá trị độc lập. Do đó nếu xét bức tranh 𝐸 = 𝐸(𝐤) với các k chỉ nằm trong vùng Brillouin thứ nhất ta được sơ đồ vùng năng lượng theo sơ đồ quy chuẩn thì cùng một giá trị k sẽ tương ứng với nhiều giá trị của 𝐸(𝐤), do đó t phải viết 𝐸𝜇(𝐤), trong đó 𝜇 là chỉ số thứ tự của vùng năng lượng.
c. Sơ đồ vùng năng lượng tuần hoàn.
Một vùng năng lượng nào đó lặp đi lặp lại tuần hoàn trong tất cả các vùng Brillouin thứ nhất, thứ hai, thứ ba…, tức là trong toàn bộ không gian đảo.
38
(c)
(a) (b)
Hình 2.3 : Sơ đồ vùng năng lượng vẽ theo các biểu diễn : (a) khai triển, (b) quy chuẩn, (c) tuần hoàn.
39
3. Số mức năng lượng trong một vùng năng lượng Như ta đã biết, sự kết hợp của hai tính chất:
Tập hợp tất cả các giá trị của k nằm trong một vùng Brillouin là đủ đại diện cho tất cả các giá trị độc lập có thể có của k trong tinh thể ;
Tính hữu hạn của tinh thể thông qua điều kiện biên tuần hoàn Born- Karman;
Đã đưa đến hệ quả là k có thể nhận 𝑁 giá trị độc lập, trong đó 𝑁 là số ô cơ sở của mạng tinh thể. Điều này có nghĩa là một vùng
Năng lượng có 𝑁 mức năng lượng.
Sự lấp đầy vùng năng lượng hóa trị bởi các điện tử (do nguyên lý Pauli) xảy ra như sau:
Nếu ô cơ sở chỉ chứa một nguyên tử và nguyên tử này chỉ có một điện tử hóa trị thì các điện tử hóa trị chỉ lấp đầy 1/2 vùng hóa trị, còn 1/2 số mức năng lượng của vùng hóa trị bị bỏ trống.
Nếu ô cơ sở chứa hai nguyên tử và các nguyên tử này là loại có hai điện tử hóa trị thì vùng hóa trị có thể bị lấp đầy hoàn toàn bởi điện tử.
Nếu ô cơ sở chứa một nguyên tử nhưng nguyên tử này lại có hai điện tử hóa trị thì vùng hóa trị cũng có thể bị lấp đầy hoàn toàn bởi điện tử.
4. Sự phụ thuộc vào hướng của bức tranh vùng năng lượng.
Nếu xét điện tử chuyển động theo hướng khác nhau (tức là xét các hướng vectơ k khác nhau) trong tinh thể thì một điều rất đáng chú ý là bức tranh vùng năng lượng là bức tranh phụ thuộc rất mạnh vào hướng hoặc nói cách khác bức tranh bất đẳng hướng.
Nếu xét ở một hướng k nhất định nào đó khi |𝐤| đạt giá trị đủ lớn để làm sao cho vectơ G có mạng đảo thỏa mãn Bargg đối với nó năng lượng sẽ bị ngắt quãng với độ ngắt quãng là 2|𝑣(𝐆𝟏)|. Với các hướng k khác nhau các vectơ G sẽ thỏa mãn điều kiện phản xạ Bargg đối với chúng sẽ khác nhau và
40
như vậy 𝑣(𝐆) sẽ khác kết quả độ rộng vùng cấm ở các hướng khác nhau sẽ khác nhau. Kết luận có thể thấy rằng độ rộng vùng cấm phụ thuộc rất mạnh vào hướng. Hậu quả đầu tiên của điều này là sự chồng lấn lên nhau của các vùng năng lượng nếu xét chúng theo các hướng khác nhau.
Xét ví dụ minh họa như trên (hình 2.4).
Theo hình vẽ này thấy rõ rằng nếu lấy hướng 𝐤1 làm chuẩn (để so sánh) thì ở các hướng khác giá trị của đỉnh của vùng năng lượng thứ nhất có thể thấp hơn (hướng 𝐤2) hoặc cao hơn (hướng 𝐤3) giá trị đáy của vùng năng lượng thứ hai.
Trong trường hợp thứ hai người ta nói là có sự chồng lấn vùng năng lượng giữa hai hướng 𝐤1 và 𝐤3.
Khi có sự chồng vùng, tức là khi năng lượng cao nhất của vùng dưới cao hơn năng lượng thấp nhất của vùng trên, có thể xảy ra các hiện tượng sau đây:
Hình 2.4. Minh họa sự chồng lấn của các vùng năng lượng nếu xét theo các hướng khác nhau.
41
Theo nguyên lý năng lượng cực tiểu, một phần điện tử không nằm ở vùng dưới nữa mà chuyển lên nằm ở vùng trên làm cho một số mức năng lượng ở vùng dưới bị bỏ trống.
Khi điện tử va chạm với một phonon (hoặc một tâm tạp) vectơ sóng k của nó có thể thay đổi mạnh và khi đó mặc dù năng lượng của nó vẫn như cũ, không thay đổi nhưng nó lại chuyển sang nằm ở vùng năng lượng khác.
5. Mối liên hệ giữa độ rộng vùng cấm và hệ số tán xạ cấu trúc
Nếu nhắc lại rằng sự gián đoạn của năng lượng (độ rộng vùng cấm) phụ thuộc mạnh vào hướng và bản chất vật lý của hiện tượng này là phản xạ Bragg thì ta thấy ngay rằng: Khi điện tử chuyển động theo một hướng [hkl]
(cũng tức là theo một hướng bhkl ) nào đó trong tinh thể thì nếu họ mặt phẳng (ℎ𝑘𝑙) ⊥ 𝐛ℎ𝑘𝑙 phản xạ Bragg các tia X (và nói chung là các loại sóng) mạnh bao nhiêu thì vùng cấm sẽ rộng ra bấy nhiêu.
Từ đây thấy rõ mối liên hệ giữa độ rộng vùng cấm và hệ số tán xạ cấu trúc 𝐹ℎ𝑘𝑙 trong tinh thể có số nguyên tử của nền >1: Nếu theo hướng [hkl] nào đó 𝐹ℎ𝑘𝑙 = 0 thì tại hướng đó độ rộng vùng cấm cũng bằng 0. Nói một cách khác, nếu một họ mặt phẳng tương đương {hkl} nào đó không phản xạ Bragg các tia X (tức là không cho ảnh nhiễu xạ) thì họ mặt phẳng này cũng không làm nhiễu loạn chuyển động gần như tự do của các điện tử trong tinh thể.
Thí dụ trong tinh thể Si hoặc Ge (có cấu trúc thuộc loại kim cương) ta có:
Đây là cấu trúc gồm hai mạng FCC (được cấu tạo từ các nguyên tử giống hệt nhau) lồng vào nhau, lệch đi 1/4 đường chéo không gian của ô nguyên tố lập phương.
Nền (basis) của cấu trúc này gồm tám nguyên tử cùng loại nằm ở các tọa độ: