Trong phần này, chúng ta nói về một bất biến tôpô quan trọng của đường cong đại số đó là giống,
Ở đây, ta giả sử C là đường cong xạ ảnh bất khả quy, f : X → C là cấu xạ song
hữu tỉ từ mô hình không kì dị X lên C như đã nói trong phần trước. Và nếu một điểm Q ∈ X, f(Q) = P ∈ C thì với mỗi đường cong phẳng G, ta có G∗ ∈ OP(P2). Giả sử g là ảnh của G∗ trong OP(C).Ta định nghĩa ordQ(g) làordQ(G).
0.5.1 Giới thiệu về ước và không gian L(D)
Mộtước trên X là một tổng hình thức D=P
P∈X nPP , nP ∈Z và chỉ có hữu hạn nP khác không. Như thế, các ước trên X làm thành một nhóm abel tự do trên tậpX.
Bậc của một ước D, kí hiệu bởi deg(D), được tính bằng P
nP. Dễ thấy rằng deg(D+D′) = deg(D) + deg(D′). Ta nói rằng, D = P
P∈XnPP là một ước thực sự hay dương nếu nP ≥0với mọi P,còn ta viếtP
P∈XnPP ≥P
P∈XmPP nếu nP ≥mP
với mọi P.
Nếu G là một đường cong phẳng và C không là thành phần của G ta định nghĩa ước của G,div(G) =P
P∈XordP(G)P.
Vớiz ∈k(C)định nghĩa ước củaz,div(z) =P
P∈XordP(z)P.Đây là định nghĩa tốt do z chỉ có hữu hạn cực và không điểm. Ta kí hiệu (z)0 =P
ordP(x)>0ordP(z)P là ước của các không điểm và (z)∞ = P
ordP(x)<0ordP(z)P là ước của các điểm cực. Khi đó, div(z) = (z)0−(z)∞và dễ thấy rằngdiv(zz′) = div(z)+div(z′)vàdiv(z−1) =−div(z).
Hơn nữa, deg(div(z)) = 0.
Trong trường hợp D, D′ là các ước mà D=D′ + div(z) với z ∈k(C) nào đó thì D và D′ được gọi là tương đương tuyến tính và kí hiệu làD≡D′.
Mệnh đề 0.48. ([1], chương 8, Mệnh đề 2) 1. Quan hệ ≡ là một quan hệ tương đương.
2. D≡0 khi và chỉ khi D= div(z), z ∈k(C).
3. Nếu D≡D′ thì deg(D) = deg(D′).
4. Nếu D≡D′ và D1 ≡D′1 thì D+D1 ≡D′+D′1.
5. Giả sử C là một đường cong phẳng. Điều kiện cần và đủ để D≡D′ là tồn tại hai đường cong G,G′ cùng bậc với D+ div(G =D′+ div(G′)).
Giả sử C là một đường cong phẳng chỉ có các kì dị thông thường. Với mỗi Q∈ X, giả sử rQ =mf(Q)(C). Xét ước dương E =P
Q∈X(rQ−1)Q. Dễ thấy rằng, bậc của E là P
mP(C)(mP(C −1)). Hơn nữa, ta còn có kết quả sau:
Định lý 0.49. (Định lí phần dư) Giả sử D và D′ là các ước dương trên X với D≡D′.Giả sửG là một đường cong liên hợp bậcmcủa C sao chodiv(G) =D+E+A, với ước dương A nào đó. Khi đó tồn tại một đường cong liên hợp G′ bậc m của C sao
cho div(G′) =D′+E+A.
Và cuối cùng, chúng ta xây dựng khái niệm then chốt của khái niệm giống đó là không gian L(D). Ta xét một ước D=P
P∈XnPP và tập hợp L(D) ={f ∈k(C)|ordP(f)≥ −nP,∀P ∈X}.
Có thể chứng minh được rằng L(D) là một không gian véc-tơ trên k.Hơn nữa, nếu kí hiệu l(D) là số chiều của L(D)thì l(D)là hữu hạn. Điều này được khẳng định trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 0.50. ([1], Chương 8, Mệnh đề 3)
1. Nếu D≤D′ thì L(D)⊂L(D′) và dimk(L(D′)/L(D))≤deg(D′ −D).
2. L(0) =k, L(D) = 0 nếu deg(D)<0.
3. l(D)<+∞ và nếu deg(D)≥0 thì l(D)≤deg(D) + 1.
4. Nếu D≡D′ thì l(D) =l(D′).
Nói riêng về các ước tạo nên từ các không điểm của một hàm hữu tỉ trongk(C) ta có mệnh đề:
Mệnh đề 0.51. ([1], Mệnh đề 4, chương 8) Với x ∈ k(C), x /∈ k. Đặt Z = (x)0 và n = [k(C) :k(x)]. Khi đó:
1. Z là một ước dương bậc n.
2. Tồn tại hằng số τ sao cho l(rZ)≥rn−τ với mọi r.
0.5.2 Định lí Riemann và giống của đường cong
Như trong mục trên ta đã thấy rằng nếu D lớn thì L(D) cũng lớn. Cụ thể hơn, ta có định lí:
Định lý 0.52. (Định lí Riemann)Tồn tại một số nguyêng sao chol(D)≥deg(D)+
1−g với mọi ước D. Số nguyên nhỏ nhất như vậy được gọi là giống của đường cong C hoặc X.
Chứng minh. Với mỗi ước D ta đặt s(D) = deg(D) + 1−l(D). Ta cần tìm g sao cho s(D)≤g với mọi D.
Dễ thấy rằng s(0) = 0 nên nếu g tồn tại thì g ≥0.
Theo mệnh đề 0.48, nếu D≡D′ thì s(D) = s(D′).
Theo mệnh đề 0.50, nếu D ≤ D′ thì dimk(L(D′)/L(D)) ≤ deg(D′ − D) suy ra deg(D)−l(D)≤deg(D′)−l(D′) nên s(D)≤s(D′).
Bây giờ, giả sửx∈k(C), x /∈k, Z = (x)0 vàτ là số nguyên nhỏ nhất được nhắc tới trong mệnh đề 0.51 (2). Vìs(rZ)≤τ+ 1với mọirvàrZ ≤(r+ 1)Z nêns(rZ) =τ+ 1 với mọi số dương r đủ lớn.
Cuối cùng, ta chỉ cần chỉ ra rằng, với mọi ước D sẽ tồn tại ước D′ ≡ D và một số nguyên r ≥ 0 sao cho D′ ≤ rZ. Thật vậy: Giả sử Z = P
nPP , D = P
mPP . Ta cần tìm D′ = D−div(f), nên phải có mP −ordP(f) ≤ rnP với mọi P. Đặt y =x−1 và T = {P ∈ X|mP > 0 và ordP(y) ≥ 0}. Lấy f = Q
P∈T(y−y(P))mP. Khi đó, mP −ordP(f)≤0.Nếu ordP(y)<0 thì nP >0 nên một sốr đủ lớn sẽ thỏa mãn.
Hệ quả 0.53. Nếul(D0) = deg(D0)+1−g vàD≡D′ ≥D0 thìl(D) = deg(D)+1−g.
Hệ quả 0.54. Nếu x ∈k(C) và x /∈k thì g = deg(r(x)0)−l(r(x)0) + 1 với mọi r đủ
lớn.
Hệ quả 0.55. Tồn tại số nguyên N sao cho với mọi ước D,deg(D)> N, thì l(D) =
deg(D) + 1−g.
Định lí Riemann cho ta khái niệm về giống của đường cong nhưng cách tính giống của đường cong lại phụ thuộc vào mô hình của đường cong mà trong đó chỉ có các kì dị thông thường hoặc đường cong trơn nhận được sau quá trình giải kì dị. Mệnh đề sau đây khẳng định điều đó.
Mệnh đề 0.56. ([1], chương 8, Mệnh đề 5) Giả sử C là một đường cong phẳng chỉ có các kì dị thường. Khi đó, nếu n = deg(C) và rP =mP(C)thì giống của đường cong cho bởi công thức
g = (n−1)(n−2)
2 −X
P∈C
rP(rP −1)
2 .
Chứng minh. Theo hệ quả 0.55, để tính giống ta cần tìm ước đủ lớn D nào đó mà ta có thể tính được l(D). Định lí phần dư giúp chúng ta tìm được tất cả các ước dương tương đương tuyến tính với ước đã cho D. Từ những điều này sẽ giúp chúng ta tính được giống g của đường cong.
Biến đổi tọa độ nếu cần, ta có thể giả sử đường thẳng Z = 0 cắt đường cong tại n điểm phân biệt P1, P2, ..., Pn. Giả sử F là đa thức định nghĩa của C. Xét ước E = P
Q∈X(rQ −1)Q, rQ = rf(Q) =mf(Q)(C). Giả sử Em =m
n
P
i=1
−E. Khi đó, Em là ước có bậc là mn−P
P∈CrP(rp−1).
Giả sửVm là tập hợp các đa thức thuần nhất sao cho mỗi đa thức định nghĩa một đường cong liên hợp với C. Khi đó, với mỗi G∈Vm ta có mP(G)≥rP −1,∀P ∈ C.Áp dụng mệnh đề 0.40 ta có:
dimVm ≥ (m+ 1)(m+ 2)
2 −XrP(rP −1)
2 ,
đẳng thức xảy ra khi m đủ lớn.
Xét ánh xạ ϕ : Vm → L(Em) xác định bởi ϕ(G) = G/Zm. Có thể thấy rằng ϕ là một ánh xạ tuyến tính và ϕ(G) = 0 khi và chỉ khi F là một nhân tử của G. Ta sẽ chứng minh ϕ là toàn ánh. Thật vậy: Với f ∈L(Em) ta viết f =R/S với R, S là các đa thức thuần nhất cùng bậc. Khi đó, div(RZm)≥div(S) +E nên theo mệnh đề 0.47 có một phương trình RZm = AS+BF. Vậy R/S = A/Zm ∈ k(C), suy ra ϕ(A) = f.
(Chú ý rằng, div(A) = div(RZm)−div(S)≥E nên A ∈Vm).
Tiếp theo, xét ánh xạ ψ : Wm−n → Vm, trong đó Wm−n là không gian các đa thức thuần nhất bậc m−n, xác định bởi ψ(H) = F H,∀H ∈ Wm−n. Dễ thấy rằng Imψ = kerϕ nên ta có dãy khớp ngắn
0→Wm−n
−→ψ Vm
−ϕ
→L(Em)→0.
Khi đó, với m đủ lớn ta có
l(Em) = deg(Em) + 1−((m+ 1)(m+ 2)
2 −XrP(rP −1)
2 ).
Nhưng vìdeg(Em)tăng khimtăng nên theo hệ quả 0.55 ta có điều cần chứng minh.
Chương 1
Các thuật toán tham số hóa hữu tỉ
Trong chương này chúng tôi trình bày các thuật toán tham số hóa với hai trường hợp: Trường hợp riêng, tham số hóa bằng hệ các đường thẳng, và trường hợp tổng quát, tham số hóa bằng hệ tuyến tính các đường cong liên hợp. Sau mỗi thuật toán là một số ví dụ minh họa. Ở đây, chúng tôi sử dụng các tài liệu tham khảo chính là [3]
và [5].
Trong phần còn lại của luận văn ta luôn giả sử một phép tham số hóa afin hữu tỉ luôn được cho dưới dạng P(t) = (f(t), g(t)) =
fn(t) fd(t),ggn(t)
d(t)
. Trong đó, f, g ∈ k(t), fn, fd, gn, gd ∈ k[t]. Ngoài ra, với P(t) như vậy ta còn xét các đa thức f(s, t) = fn(t)fd(s)−fn(s)fd(t), g(s, t) =gn(t)gd(s)−gn(s)gd(t),các đa thức này được sử dụng nhiều trong chương 2.