Trong thực tế, một số đường cong phẳng có thể được biểu diễn bằng các phép tham số hóa hữu tỉ, nghĩa là, hầu hết (có thể trừ một số hữu hạn) các điểm của một đường cong đều được cho bởi một cặp các hàm hữu tỉ.
Chẳng hạn, trong mặt phẳng afin A2(C) : Parabol Y =X2 có thể được mô tả bởi phép tham số hóa (t, t2), Hay với đường cong tự tiếp xúc trong F(X, Y) = 2X4 − 3X2Y +Y2−2Y3+Y4, có thể được biểu diễn bởi tập hợp
t3 −6t2+ 9t−2
2t4−16t3+ 40t2−32t+ 9, t2−4t+ 4
2t4−16t3+ 40t2−32t+ 9
|t∈C . Cũng như vậy, đường trònX2+Y2 = 1được tham số hóa bởi
2t t2+1,tt22−+11
trừ tại điểm (0,1)vì không có giá trị nào của t có thể biểu diễn điểm (0,1).
Tuy nhiên, không phải mọi đường cong phẳng đều có thể tham số hóa hữu tỉ, chúng ta sẽ thấy trong các mệnh đề 1.5 và 1.8, đường cong có tham số hóa hữu tỉ khi và chỉ khi nó là đường cong hữu tỉ.
Trước hết, ta có một số khái niệm và kết quả cần thiết cho bài toán tham số hóa.
Chú ý rằng, ta nói "hầu hết" có nghĩa là "có thể trừ ra một số hữu hạn".
Định nghĩa 1.1. Cho đường cong afinC trongA2(k)định nghĩa bởi đa thứcF(X, Y).
Cặp hàm hữu tỉ (f(t), g(t))∈k(t)2 được gọi là một phép tham số hóa afin hữu tỉ của C nếu
1. Với hầu hết t0 ∈k, điểm(f(t0), g(t0)) thuộcC.
2. Với hầu hết các điểm (x0, y0)∈ C, có mộtt0 ∈k sao cho (x0, y0) = (f(t0), g(t0)).
Ta nói (f(t), g(t)) là tối giản nếu các hàm f(t)và g(t) đều có dạng tối giản, nghĩa là, tử số và mẫu số của chúng chỉ có các ước chung tầm thường.
Định nghĩa 1.2. Cho đường cong xạ ảnh C trongP2(k)định nghĩa bởi đa thức thuần nhất F(X, Y, Z). Bộ các đa thứcf(t), g(t), h(t)∈k[t],gcd(f, g, h) = 1được gọi làphép tham số hóa xạ ảnh hữu tỉ của C nếu
1. Với hầu hết t0 ∈k, điểm(f(t0), g(t0), h(t0)) thuộc C.
2. Với hầu hết các điểm [x0 : y0 : z0] ∈ C, có một t0 ∈ k sao cho [x0 : y0 : z0] = [f(t0) :g(t0) :h(t0)].
Mệnh đề 1.3. ([5], chương 4, Định lý 4.4) Mọi đường cong tham số hóa hữu tỉ được, nghĩa là có phép tham số hóa hữu tỉ, đều bất khả quy.
Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp các đường cong afin, với các đường cong xạ ảnh phép chứng minh hoàn toàn tương tự.
Giả sử C là đường cong afin định nghĩa bởi đa thức F(X, Y), tham số hóa được bằng phép tham số hóa hữu tỉ P(t). Ta có
I(C) ={h∈k[X, Y]|h(P(t)) = 0}.
Để chứng minh C bất khả quy, ta chứng minh I(C) là nguyên tố. Thật vậy, giả sử, h1.h2 ∈ I(C). Khi đó h1(P(t)).h2(P(t)) = 0. Do đó, hoặc h1(P(t)) = 0 hoặc h2(P(t)) = 0. Do đó, hoặc h1 ∈I(C) hoặc h2 ∈I(C).
Ta sẽ chứng minh rằng một đường cong tham số hữu tỉ được là đường cong hữu tỉ.
Muốn vậy ta cần đến kết quả sau:
Định lý 1.4. (Định lí L¨uroth) Giả sử L là một trường (không nhất thiết đóng đại số), t là một phần tử siêu việt trên L. Nếu K là một trường con thực sự của L(t) chứa
L thì K là L−đẳng cấu vớiL(t).
Tiếp theo, ta có mệnh đề:
Mệnh đề 1.5. ([5], chương 4, Định lí 4.9) Một đường cong afin C là tham số hóa hữu tỉ được khi và chỉ khi k(C) là đẳng cấu với k(t) (với t là một phần tử siêu việt).
Như vậy, theo mệnh đề 0.28 thì mỗi đường cong tham số hóa hữu tỉ được là một đường cong hữu tỉ, tức là tương đương song hữu tỉ với A1 (hay P1).
Hơn nữa, nếu C là một đường cong afin là hữu tỉ thì bao đóng xạ ảnh C∗của nó cũng là hữu tỉ và ngược lại, nếuC là đường cong xạ ảnh hữu tỉ thì các đường cong afin C∗,Z,C∗,Y,C∗,X cũng là hữu tỉ. Bổ đề sau đây sẽ khẳng định điều đó.
Bổ đề 1.6. ([5], chương 4, Bổ đề 4.5) Cho C là một đường cong afin bất khả quy và C∗ là đường cong xạ ảnh tương ứng. Khi đó C là hữu tỉ khi và chỉ khi C∗ là hữu tỉ. Hơn nữa, một phép tham số hóa của C có thể tính từ một phép tham số hóa củaC∗ và ngược lại.
Chứng minh. Giả sử(f(t), g(t), h(t))là một phép tham số hóa củaC∗. Khi đóh(t)6= 0 vì C∗ chỉ có hữu hạn điểm tại vô cùng. Do đó,
f(t) h(t),g(t)
h(t)
, là một phép tham số hóa của đường cong C.
Ngược lại, nếu một phép tham số hóa hữu tỉ củaC là fn(t)
fd(t),gn(t) gd(t)
,
thì rõ ràng (fn(t)gd(t), gn(t)fd(t), gd(t)fd(t)) là phép tham số hóa của C∗.
Như vậy, nếu một đường cong xạ ảnh C có phép tham số hóa xạ ảnh hữu tỉ là (f(t), g(t), h(t))thì ta thấy rằngP∗,Z(t) =
f(t) h(t),h(t)g(t)
,P∗,Y(t) =
f(t) g(t),h(t)g(t)
,P∗,X(t) = g(t)
f(t),h(t)f(t)
tương ứng là các phép tham số hóa afin hữu tỉ của các đường congC∗,Z,C∗,Y,C∗,X. Còn nếu một đường cong afinC có phép tham số hóa afin hữu tỉ là
fn(t) fd(t),gn(t)
gd(t)
,
thì ta sẽ kí hiệu phép tham số hóa hữu tỉ xạ ảnh của C∗ là P∗(t) = (fn(t)gd(t), gn(t)fd(t), gd(t)fd(t)).
Khi đường cong cho bởi một phép tham số hóa hữu tỉ, bổ đề sau sẽ cho chúng ta phương pháp tìm đa thức định nghĩa của nó.
Bổ đề 1.7. ([5], chương 4, Bổ đề 4.6.) Cho C là đường cong afin trên k, F(X, Y) là đa thức định nghĩa của nó, và P(t) = (f(t), g(t)) là một phép tham số hóa hữu tỉ của C. Khi đó, tồn tại r∈N sao cho
Rest(Xfd(t)−fn(t), Y gd(t)−gn(t))) = (F(X, Y))r.
Mệnh đề 1.8. ([5], chương 4, Định lý 4.7) Một đường cong bất khả quy C, định nghĩa bởi F(X, Y), là hữu tỉ nếu và chỉ nếu tồn tại các hàm hữu tỉ (f(t), g(t))∈k(t)2 với ít nhất một thành phần khác hằng số, sao cho F(f(t), g(t)) = 0. Khi đó, (f(t), g(t)) là phép tham số hóa hữu tỉ của C.
Chứng minh. Nếu C là hữu tỉ thì tồn tại cặp hàm hữu tỉ (f(t), g(t)) ∈ k(t)2 thỏa mãn định nghĩa 1.1. Rõ ràng ít nhất một trong hai hàm này là khác hằng số và F(f(t), g(t)) = 0.
Ngược lại, nếu(f(t), g(t))∈k(t)2 là các hàm hữu tỉ sao choF(f(t), g(t))đồng nhất bằng 0 thì khi đó, theo bổ đề 1.7, tồn tại đường cong D định nghĩa bởi (f(t), g(t)).
Theo mệnh đề 1.3 thì D cũng là bất khả quy. Mặt khác, C và D có vô số điểm chung.
Vậy theo Định lí Bezout thì C = D. Nói cách khác, (f(t), g(t)) là phép tham số hóa hữu tỉ của C.
Liên quan đến khái niệm về giống, hiển nhiên ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.9. ([5], chương 4, Định lý 4.11) Nếu một đường cong đại số là hữu tỉ thì
giống của nó bằng 0.
Mệnh đề này cho ta thấy rằng chỉ các đường cong có giống bằng 0 mới có thể là hữu tỉ.
Trong phần tiếp theo ta sẽ thấy rằng mọi đường conic bất khả quy, mọi đường cubic bất khả quy với một điểm bội 2, mọi đường cong bậc d có một điểm bội d−1 (có thể thấy ngay, những đường cong này có giống bằng0) đều là các đường cong hữu tỉ.
Phần còn lại của chương này chúng ta đi tìm một ánh xạ song hữu tỉ của đường cong hữu tỉ với một đường thẳng. Ta có một khái niệm quan trọng.
Định nghĩa 1.10. Một phép tham số hóa afin P(t) của một đường cong hữu tỉ C là thực sự nếu ánh xạ P : A1(k) → C, t 7→ P(t) là song hữu tỉ. Nói cách khác, hầu hết các điểm trên C sinh bởi đúng một giá trị của tham số t.
Ta gọi nghịch đảo của phép tham số hóa thực sựP(t) là ánh xạ hữu tỉ ngược của P, và kí hiệu làP−1.
Từ định nghĩa 1.10 và định nghĩa 0.30 ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.11. ([5], chương 4, Bổ đề 4.13) Mọi đường cong hữu tỉ đều có phép tham số
hóa thực sự.
Khái niệm phép tham số hóa thực sự sẽ được xem xét kĩ hơn trong chương sau.