Trong phần này ta sẽ trình bày thuật toán tham số hóa đơn giản nhất, đó là phép tham số hóa bằng các đường thẳng. Ý tưởng của phương pháp này là sử dụng một chùm đường thẳng đi qua một điểm thích hợp trên đường cong sao cho việc tìm giao điểm của một phần tử bất kỳ của chùm với đường cong cho phép ta xác định được phép tham số hóa của nó. Tuy nhiên ta có một trường hợp riêng đó là các đường thẳng, do hai đường thẳng chỉ cắt nhau tai đúng một điểm nên phép tham số hóa hữu tỉ xác định nhờ chùm đường thẳng qua một điểm không nằm trên đường thẳng đó.
1.2.1 Phép tham số hóa các đường cong có một điểm bội lớn
Ở đây chúng ta xét các đường cong xạ ảnhC bậc d với giả thiết là C có một điểm P bội d−1, không giảm tổng quát, ta có thể giả sử P = [0 : 0 : 1]. Khi đó đa thức định nghĩa của C có dạng
F(X, Y, Z) =Fd(X, Y) +Fd−1(X, Y)Z,
trong đó Fi tương ứng là thành phần thuần nhất bậc i. Hiển nhiên, C không có kỳ dị nào khác vì nếu ngược lại thì đường thẳng qua P và kỳ dị vừa nêu sẽ cắtC quá d lần kể cả bội.
Giả sửH(t)là hệ tuyến tính các đường thẳngH(1, O)quaO[0 : 0 : 1](chùm đường thẳng có tâm tại O). Gốc tọa độ khi đó là một giao điểm của C và một phần tử bất kỳ của H(t).
Tiếp theo, ta sẽ tìm giao điểm còn lại của một phần tử tổng quát của H(t) và C bằng cách giải hệ sau
Y =tX F(X, Y) = 0,
tương ứng với các biến X, Y. Dễ thấy các nghiệm của hệ làO(0,0)và Q(t) =
−Fd−1(1, t)
Fd(1, t) ,−tFd−1(1, t) Fd(1, t)
.
Ở đây, Fd−1(X, Y) không đồng nhất với 0 (vì C là bất khả quy) nên Q(t) phụ thuộc vào tham số t. Hơn nữa, F(Q(t)) = 0 nên Q(t) là phép tham số hóa của C. Do đó ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.12. ([5], chương 4, Định lý 4.46) Cho C là đường cong xạ ảnh bất khả quy bậc d định nghĩa bởi đa thức F(X, Y, Z) = Fd(X, Y) +Fd−1(X, Y)Z (Fi tương ứng là thành phần thuần nhất bậc i), nghĩa là điểmP[0 : 0 : 1] là điểm bội d−1. Khi đó C là hữu tỉ và một phép tham số hóa hữu tỉ của nó là
Q(t) = (−Fd−1(1, t),−t.Fd−1(1, t), Fd(1, t)).
Như vậy, nếuF(X, Y, Z)là đa thức định nghĩa của một đường cong xạ ảnh bất khả quy C bậc d với một điểm bộid−1, thuật toán tìm một phép tham số hóa của C như sau:
Bước 1. Nếu d = 1 vấn đề là tầm thường, ta sẽ tham số hóa C bằng 1 điểm không thuộc đường thẳng. Nếud >1, tìm điểmP bộid−1của C. Không mất tính tổng quát giả sử P = [a:b : 1].
Bước 2. Đặt G(X, Y) := F(X +a, Y +b,1). Giả sử Gd và Gd−1 tương ứng là các thành phần thuần nhất bậc d và bậc d−1của G(X, Y).
Bước 3. Phép tham số hóa cần tìm P(t) = (−Gd−1(1, t) +aGd(1, t),−tGd−1(1, t) + bGd(1, t), Gd(1, t)).
Ví dụ 1.13. Có thể thấy ngay các đường cong có phương trình dạngYn−1Z =Xn,(n≥ 3) đều có một điểm bội n−1và như vậy có thể áp dụng thuật toán trên một cách dễ dàng.
Ví dụ 1.14. Cho đường cong C đa thức định nghĩa F(X, Y) =Y2−X2(X+ 1).
Suy ra:
F∗(X, Y, Z) =Y2Z−X3−X2Z.
Bước 1: P = [0 : 0 : 1] (bội 2).
Bước 2: G(X, Y) = F(X + 0, Y + 0,1) = F(X, Y,1) = −X3 −(X2 − Y2). Suy ra G3(X, Y) = −X3, G2(X, Y) =Y2−X2.
Bước 3: Phép tham số hóa cần tìm:
P(t) = (−G2(1, t) + 0.G3(1, t),−tG2(1, t) + 0.G3(1, t), G3(1, t)) = (1−t2, t(1−t2),−1) P(t) = (t2−1, t(t2−1),1).
–1 –0.5 0 0.5
–1 –0.5 0.5 1
Hình 1.1: Phần thực của đường congF(X, Y) =Y2−X2(X+ 1).
Nhận xét 1.15. 1. Do cấu trúc hình học, phép tham số hóa nhận được từ thuật toán trên là thực sự. Hơn nữa, nếuP∗,z(t)là phép tham số hóa afin củaC∗,z nhận được từ P(t), thì nghịch ảnh của nó có thể xác định được như dưới đây. Không mất tính tổng quát giả sử sau phép đổi biến có P = [a:b : 1] là điểm kỳ dị trên C.
P∗−,Z1(X, Y) = Y −b X−a.
2. Thuật toán trên hoàn toàn áp dụng được cho các đường cônic bất khả quy vì khi đó mỗi điểm của cônic đều có thể xem là điểm bội d−1 với d= 2. Cụ thể,
không mất tính tổng quát ta có thể giả sử một cônic C có đa thức định nghĩa là F(X, Y) =a1X2+a2Y2+a3XY +a4X+a5Y (gốc tọa độ O(0,0)là một điểm trên C). Khi đó, G1(X, Y) = a4X+a5Y, G2(X, Y) = a1X2 +a2Y2 +a3XY. Áp dụng thuật toán trên ta có
Q(t) =
− a4+a5t
a1+a3t+a2t2,− t(a4+a5t) a1+a3t+a2t2
là phép tham số hóa của C. Trong trường hợpC không đi qua gốc tọa độ thì ta có thể tịnh tiếnC đểC đi qua gốc tọa độ và phép tham số hóa cũng sai khác một phép tịnh tiến.
Do đó, mọi đường cônic bất khả quy đều là hữu tỉ.
Trong mục tiếp theo ta sẽ nêu những điều kiện để có thể áp dụng các thuật toán này.
1.2.2 Lớp các đường cong có thể tham số hóa bằng các đường thẳng
Như đã nói ở trên, bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng khi nào một đường cong có thể tham số hóa bằng các đường thẳng. Để trả lời câu hỏi này, trước hết ta cần có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.16. Một đường cong xạ ảnh bất khả quy C là tham số hóa được bằng các đường thẳng nếu tồn tại một hệ tuyến tính của các đường cong H bậc 1 sao cho
1. dim(H) = 1,
2. Giao của một phần tử tổng quát trongH và C chứa một điểm khác hằng mà tọa độ của nó phụ thuộc hữu tỉ vào tham số tự do của C.
Ta nói rằng một đường cong afin là tham số hóa được bằng các đường thẳng nếu bao đóng xạ ảnh của nó tham số hóa được bằng các đường thẳng.
Mệnh đề 1.17. ([5], chương 4, Định lý 4.49) Cho C là đường cong xạ ảnh phẳng bất khả quy bậc d >1. Các phát biểu sau là tương đương:
1. C là tham số hóa được bằng một chùm các đường thẳng H(t).
2. C có một điểm bội d−1 và điểm này là cơ sở của H(t).
Như vậy, chỉ có các đường thẳng, các đường cônic bất khả quy và các đường cong bậc d(d≥3)với một điểm bội d−1 mới có thể tham số tham số hóa được bằng chùm đường thẳng.
Ví dụ 1.18. Đường cong hữu tỉ Y2 = X5 bậc 5 có hai điểm kì dị là [0 : 0 : 1] và [1 : 0 : 0] có bội tương ứng là2 và 3 nên không áp dụng được phương pháp này.