Xuất phát từ các thuật toán đã trình bày trong chương 1, chúng ta biết rằng một đường cong hữu tỉ có thể có nhiều phép tham số hóa hữu tỉ. Khái niệm bậc của ánh xạ hữu tỉ sẽ giúp chúng ta phân loại các phép tham số hóa đó.
2.1.1 Chỉ số vết của một phép tham số hóa hữu tỉ.
Với các đường cong, khái niệm bậc của ánh xạ hữu tỉ đã nói đến trong chương0 sẽ được gọi là chỉ số vết của ánh xạ hữu tỉ.
Định nghĩa 2.1. Cho C là một đường cong afin hữu tỉ và giả sử P(t) là một phép tham số hóa của C. Khi đó bậc của ánh xạ hữu tỉ P được gọi là chỉ số vết của phép
tham số hóa đã cho và kí hiệu là index(P(t)).
Như vậy, nếu một phép tham số hóa P(t) có index(P(t)) = ℓ có nghĩa là hầu hết các điểm trên C được sinh bởi đúng ℓ giá trị của tham số t. Kết quả sau đây cho ta một thuật toán để xác định chỉ số vết của một phép tham số hóa.
Mệnh đề 2.2. ([5], chương 4, Định lí 4.28) index(P(t)) = degt(gcd(f(s, t), g(s, t))).
Chứng minh. Xem [5], chương 4, định lí 4.28.
2.1.2 Tính thực sự của một phép tham số hóa hữu tỉ
Định nghĩa của phép tham số hóa hữu tỉ thực sự đã được trình bày trong chương một, ở đây chúng ta sẽ nêu các đặc trưng của một phép tham số hóa như thế.
Để đạt được mục đích đó, trước hết, chúng ta sẽ định nghĩa bậc của một hàm hữu tỉ và từ đó định nghĩa bậc của một phép tham số hóa.
Định nghĩa 2.3. Giả sử f(t) = fn(t)
fd(t) ∈k(t) có dạng tối giản. Khi đó, ta định nghĩa bậc của f(t), kí hiệu là degf, như sau:
degf = max{degfn,degfd}.
Còn nếu P(t) = (f(t), g(t)) thì ta gọi max{degf,degg} là bậc của P(t), kí hiệu là deg(P(t)).
Bây giờ ta nghiên cứu mối quan hệ giữa các phép tham số hóa thực sự và không thực sự thông qua bổ đề sau:
Bổ đề 2.4. ([5], chương 4, Bổ đề 4.17) Giả sử P(t) là một phép tham số hóa thực sự của đường cong hữu tỉ C, và P′(t) là một phép tham số hóa hữu tỉ khác của C.
1. Tồn tại một hàm hữu tỉ khác hằng r(t)∈k(t) sao cho P′(t) =P(R(t)).
2. P′(t)là thực sự nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm hữu tỉ tuyến tính l(t)∈k(t)sao
cho P′(t) =P(l(t)).
Trước khi chỉ ra đặc trưng của tính thực sự của các phép tham số hóa theo bậc của đường cong, chúng ta có một kết quả mang tính kỹ thuật.
Bổ đề 2.5. ([5], chương 4, bổ đề 4.19) Giả sử f(X), g(X) ∈ k[X]∗ nguyên tố cùng nhau sao cho ít nhất một đa thức khác hằng. Khi đó, tồn tại một số hữu hạn các giá trị a∈k sao cho đa thức f(X)−ag(X) có nghiệm bội.
Định lí sau là điều kiện cần và đủ để một phép tham số hóa là thực sự.
Mệnh đề 2.6. ([5], chương 4, Định lí 4.21.) Giả sửC là một đường cong afin xác định trên k với đa thức định nghĩa là F(X, Y)∈k[X, Y]và giả sử P(t) = (f(t), g(t))là một phép tham số hóa của C. Khi đó, P(t) là thực sự nếu và chỉ nếu
deg(P(t)) = max{degX(F),degY(F)}.
Hơn nữa, nếu P(t) là thực sự và f(t) khác không thì degf = degY(F); tương tự, nếu
g(t) khác không thì degg = degX(F).
Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề trong hai trường hợp: trường hợp riêng, P(t)có một thành phần là hằng số, và trường hợp tổng quát.
Trong trường hợpP(t)có một thành phần hằng số, ta có thể giả sửP(t) = (f(t), λ).
Khi đó, C là đường thẳng có phương trình y = λ. Do đó, có thể thấy ngay (t, λ) là phép tham số hóa thực sự của C. Hơn nữa, theo bổ đề 2.4, tất cả các phép tham số hóa thực sự củaC có dạng (at+bct+d, λ), ad−bc6= 0.Như vậy, deg(f) = 1và rõ ràng mệnh đề là đúng.
Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát, tức làC không phải là đường thẳng song song với các trục tọa độ. Giả sử P(t) là thực sự và có dạng tối giản và không có thành phần nào là hằng số. Khi đó, ta chứng minh rằng deg(g) = degX(F) (và tương tự deg(f) = degY(F)).
Xét tập con S của k bao gồm các phần tử:
(1) là thành phần tọa độ thứ hai của các điểm trênC hoặc không được nhắc tới trong phép tham số hóa hoặc được nhắc tới quá một lần với các giá trị khác nhau của t;
(2) là các phần tửb ∈k sao cho đa thức gn(t)−bgd(t)có nghiệm bội;
(3) lc(glc(gn(t))
d(t));
(4) các phần tử b∈k sao cho đa thức F(X, b) có nghiệm bội;
(5) các nghiệm của lc(F(X, Y)) theo biến X.
Ta khẳng định rằng S là tập hữu hạn. Thật vậy: Vì P(t) là thực sự nên chỉ có hữu hạn điểm thỏa mãn điều kiện (1); theo bổ đề 2.5 thì các phần tử thỏa mãn (2) cũng là hữu hạn; hiển nhiên, chỉ có một điểm thỏa mãn (3); một phần tử b ∈ k mà thỏa mãn (4) nếu nó là tọa độ thứ hai của một điểm kì dị của C hoặc đường thẳng Y = b
là tiếp xúc với C tại một điểm đơn. Số điểm kì dị của C là hữu hạn. Thêm vào đó, nếu đường thẳng Y =b tiếp xúc C tại (a, b) thì (a, b) là nghiệm của hệ {F = 0,∂X∂F = 0}.
Theo định lí Bezout thì hệ này chỉ có hữu hạn nghiệm. Vậy chỉ có hữu hạn phần tử thỏa mãn (4); cuối cùng, vì hệ số dẫn đầu của F(X, Y) theo biến X là một đa thức một biến khác không nên chỉ có hữu hạn phần tử của k thỏa mãn (5). Vậy S là tập hữu hạn.
Bây giờ ta chọnb∈k\S và xét tương giao củaC và đường thẳngY =b.Vìb không là nghiệm của hệ số dẫn đầu của F(X, Y)theo biến X nên bậc của F(X, b)đúng bằng degX(F(X, Y)), giả sử m := degX(F(X, Y)). Theo (4) thì F(X, b) không có nghiệm bội, nói cách khác F(X, b) có đúng m nghiệm phân biệt r1, r2, ..., rm. Vậy có m giao điểm của C và đường thẳng Y =b là {(ri, b), i= 1...n} và các điểm này đều được sinh bởi P(t) (do điều kiện (1)).
Mặt khác, xét đa thức M(t) = gn(t) − bgd(t). Ta thấy rằng degt(M) ≥ m vì mỗi điểm (ri, b) tương ứng với một giá trị của t. Tuy nhiên, mỗi điểm (a, b) ∈ C được sinh đúng một lần bởi P(t) (do (1)) và M(t) không thể có nghiệm bội nên degt(M) = m = degX(F(X, Y)). Hơn nữa, do điều kiện (3) nên degX(F(X, Y)) = deg(M) = max(deg(gn),deg(gd)).
Một cách tương tự ta chứng minh được degY(F(X, Y)) = max(deg(fn).deg(fd)).
Từ đó ta có ngay deg(P(t)) = max(degX(F),degY(F)).
Bây giờ ta chứng minh chiều ngược lại. Giả sử P(t) là phép tham số hóa của C sao cho deg(P(t)) = max(degX(F),degY(F)) và P′(t) là một phép tham số hóa thực sự nào đó của C. Khi đó, theo bổ đề 2.4 tồn tại R(t)∈ k(t) sao cho P′(R(t)) = P(t).
Do P′(t) là thực sự nên deg(P(t)) = max(degX(F),degY(F)) = deg(P(t)). Do đó, deg(R(t)) = 1.Cũng theo bổ đề 2.4 thì P(t) là thực sự.
Hệ quả 2.7. Giả sử C là một đường cong afin xác định trên k với đa thức định nghĩa là F(X, Y) ∈ k[X, Y] và giả sử P(t) = (f(t), g(t)) là một phép tham số hóa của C.
Khi đó, f(t) khác không thì degY(F) = deg(f(t))
index(P); tương tự, nếu g(t) khác không thì degX(F) = deg(g(t))
index(P).
Hơn nữa, từ định nghĩa về phép tham số hóa hữu tỉ thực sự và định nghĩa chỉ số vết ta có ngay mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.8. ([5], chương 4, Định lí 4.30) Phép tham số hóa P(t) là thực sự khi và
chỉ khi index(P(t)) = 1.
Trước khi kết thúc mục này ta xét một ví dụ.
Ví dụ 2.9. Cho đường cong C định nghĩa bởi đa thức
F(X, Y) =−6X2Y + 11X2+ 6XY +Y2−10X+ 3−X2Y2. Có thể kiểm tra được rằng
P(t) =
−163t2−50t+ 4 229t2−62t+ 4,1
2
171t2−52t+ 4 (7t−1)t
và
P′(t) =
t4+ 3t2 + 3
t4+ 3t2 + 1,t4+ 2t2+ 3 t2+ 2
đều là các phép tham số hóa hữu tỉ củaC. Tuy nhiên, ta cũng tính đượcindex(P(t)) = 1,index(P′(t)) = 2.Do đó, chỉ có P(t) là phép tham số hóa hữu tỉ thực sự.