2.3.1 Khảo sát các kì dị của một đường cong
Giả sử C là một đường cong hữu tỉ được cho dưới dạng tham số hóa là P(t), s0 là một phần tử trong k.Xét hệ:
f(t) =f(s0) g(t) =g(s0).
Rõ ràng, với hầu hết các giá trị của s0 số nghiệm của hệ này đúng bằng chỉ số vết của P(t).
Hơn nữa, các nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ:
f(s0, t) = 0 g(s0, t) = 0.
Nếu gcd(lc(f(s0, t), t),lc(g(s0, t), t)) 6= 0,Rest(f(s0, t), g(s0, t)) 6= 0, fd(s0)gd(s0) 6= 0 thì số nghiệm của hai hệ đúng bằng nhau.
Như vậy ta có kết luận
Mệnh đề 2.13. Nếugcd(lc(f(s0, t), t),lc(g(s0, t), t))6= 0,Rest(f(s0, t), g(s0, t))6= 0, fd(s0)gd(s0)6=
0 thì P(s0) là điểm đơn trên C.
Từ đó ta có
Mệnh đề 2.14. ([4], Định lí 11) Nếu P = [a1 :a2 :a3]∈ P2 là điểm kì dị của đường cong C với đa thức định nghĩa là F(X1, X2, X3) thì một trong các phát biểu sau đây là đúng:
1. Với i∈ {1,2,3} sao cho ai 6= 0 thì (aaj
i,aak
i), trong đó j, k ∈ {1,2,3}và j 6=i6=k, là điểm tới hạn của phép tham số hóa P∗,Xi tối giản.
2. P =P∗(s0) với gcd(lc(f(s0, t), t),lc(g(s0, t), t))(s0) = 0;
3. P =P∗(s0) với Rest( f(s0, t)
gcd(f(s0, t), g(s0, t)), g(s0, t)
gcd(f(s0, t), g(s0, t))) = 0;
4. P =P∗(s0) với fd(s0)gd(s0) = 0.
Như vậy, ta có thể tìm được tập hợp các điểm chứa tất cả các điểm kì dị củaC từ dạng tham số hóa hữu tỉ. Ở các phần tiếp theo chúng ta sẽ tìm cách chỉ ra bậc toàn cục của đường cong cũng như bậc địa phương tại một điểm bất kì. Nhờ đó chúng ta có thể xác định chính xác các điểm kì dị và số bội tương ứng của chúng.
2.3.2 Bậc của một đường cong hữu tỉ cho bởi dạng tham số hóa hữu tỉ.
Bài toán tìm bậc của đường cong đã có một cách giải quyết quen thuộc nhờ ứng dụng của Định lí Bézout: ta sẽ tìm số giao điểm (kể cả bội) của đường cong đã cho với một đường thẳng bất kì. Số này chính là bậc của đường cong. Tuy nhiên, trong mục này chúng ta sẽ tìm hiểu một phương pháp dựa trên khái niệm chỉ số vết của phép tham số hóa.
Mệnh đề 2.15. ([4], Định lí 6) Giả sử (a, b)∈ C./ Khi đó,
deg(C) = deg
(gn(t)−bgd(t))fd(t) (fn(t)−afd(t))gd(t)
degϕP .
Chứng minh. Giả sử đa thức định nghĩa của C là F(X, Y). Xét đường cong D định nghĩa bởi đa thức G(X, Y) =F(X+a, Y +b). Vì P(t) =
fn(t) fd(t),gn(t)
gd(t)
tham số hóa C nên Q(t) =
fn(t)
fd(t) −a,gn(t) gd(t) −b
=
fn(t)−afd(t)
fd(t) ,gn(t)−bgd(t) gd(t)
tham số hóa D và (0,0)∈ D./ Như vậy, ta có thể viết
G(X, Y) = G0(X, Y) +G1(X, Y) +...+Gm(X, Y).
Do đó,
G∗(X, Y, Z) =G0(X, Y)Zm+G1(X, Y)Zm−1+...+Gm(X, Y).
Chú ý là G0(X, Y) 6= 0 nên m = degD = degZ(G∗(X, Y, Z)) = degZ(G∗(1, Y, Z)).
Bây giờ, nếu gọi E là đường cong định nghĩa bởi đa thức H(Y, Z) = G∗(1, Y, Z) thì QX(t) =
gn(t)fd(t)
fn(t)gd(t), fd(t)gd(t) fn(t)gd(t)
tham số hóaE. Theo hệ quả 2.7 ta có
deg(D) = deg
(gn(t)−bgd(t))fd(t) (fn(t)−afd(t))gd(t)
degϕQX
.
Bây giờ ta xét ánh xạR :k2 →k2 xác định bởiR(X, Y) =
Y −b X−a, 1
X−a
.Rõ ràng deg(ϕR) = 1và QX =R◦ P nên deg(ϕP) = deg(ϕQX).Thế mà bậc của đường cong là bất biến dưới phép biến đổi tuyến tính tọa độ nên deg(C) = deg(D) và ta có điều cần chứng minh.
Như vậy, muốn tính bậc của đường cong hữu tỉ nhờ công cụ chỉ số vết của ánh xạ hữu tỉ, chúng ta chỉ cần chọn ra một điểm không thuộc đường cong rồi áp dụng mệnh đề 2.15. Việc lựa chọn một điểm không thuộc đường cong không khó. Thật vậy, nếu deg(gcd(fn(t)−afd(t), gn(t)−bgd(t))≥1thì điểm (a, b)∈ C. Trong trường hợp ngược lại thì hoặc(a, b)là điểm tới hạn của phép tham số hóa hoặc(a, b)không thuộc đường cong.
2.3.3 Số bội của một điểm trên đường cong hữu tỉ.
Trong chương 0 chúng ta đã nói đến vấn đề xác định số bội của một điểm bất kì P của đường cong afin bằng cách tịnh tiến đường cong sao cho P trùng với gốc tọa độ. Khi đó, bậc của thành phần thuần nhất bậc thấp nhất chính là số bội của P trên đường cong đã cho. Trong mục này, tuy chúng ta mong muốn xác định được số bội của một điểm tùy ý của đường cong mà chỉ thông qua dạng tham số nhưng ý tưởng của phương pháp vẫn xuất phát từ vấn đề trên.
Mệnh đề 2.16. ([4], Định lí 8) Giả sử (a, b)∈k2. Khi đó
mult[a:b:1](C∗) = mult(a,b)(C) = deg(C)− deg
(gn(t)−bgd(t))fd(t) (fn(t)−afd(t))gd(t)
degϕP .
Chứng minh. Giả sử đa thức định nghĩa của C là F(X, Y). Xét đường cong D định nghĩa bởi đa thức G(X, Y) =F(X+a, Y +b). Vì P(t) =
fn(t) fd(t),gn(t)
gd(t)
tham số hóa C nên Q(t) =
fn(t)
fd(t) −a,gn(t) gd(t) −b
=
fn(t)−afd(t)
fd(t) ,gn(t)−bgd(t) gd(t)
tham số hóa D và (0,0)∈ D./ Như vậy, ta có thể viết
G(X, Y) = G0(X, Y) +G1(X, Y) +...+Gm(X, Y).
Do đó,
G∗(X, Y, Z) =G0(X, Y)Zm+G1(X, Y)Zm−1+...+Gm(X, Y).
Vì mult(a,b)(C) = mult(0,0)(D), ta suy ra rằng
deg(D)−mult(a,b)(C) = degZ(G∗(X, Y, Z)) = degZ(G∗(1, Y, Z)).Bây giờ, nếu gọiE là đường cong định nghĩa bởi đa thứcH(Y, Z) = G∗(1, Y, Z)thìQX(t) =
gn(t)fd(t)
fn(t)gd(t),fd(t)gd(t) fn(t)gd(t)
tham số hóa E. Theo hệ quả 2.7 ta có
degZ(E) = deg
(gn(t)−bgd(t))fd(t) (fn(t)−afd(t))gd(t)
degϕQX .
Tương tự như trong mệnh đề trên deg(ϕP) = deg(ϕQX). Thế mà bậc của đường cong là bất biến dưới phép biến đổi tuyến tính tọa độ nên deg(C) = deg(D) và ta có điều cần chứng minh.
Như vậy, khi muốn tìm số bội của một điểmP với tọa độ dạng [a:b: 1] thì ta quy về tìm số bội của (a, b) trên đường cong C∗,Z. Một cách tương tự, khi tìm số bội của các điểm có dạng [1 : a :b] hay [a : 1 : b] ta sẽ quy về tìm số bội của điểm (a, b) trên các đường cong tương ứng là C∗,X và C∗,Y. Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.17. ([4], Định lí 9) Ta có các công thức sau:
mult[1:k:0](C∗) = deg(C)− deg
fd(t)gd(t)
(gn(t)fd(t)−kgd(t))fn(t)
degϕP .
mult[0:1:0](C∗) = deg(C)− deg
fd(t) fn(t)
degϕP .
Trước khi kết thúc chương này ta có một ví dụ mang để minh họa các kết quả nói trên.
Ví dụ 2.18. GọiC là đường cong cho bởi phép tham số hóa P(t) =
2t2+t+ 2 t2+ 1 , 1
t3
. Ta có:
P∗,Z(t) = P(t);P∗,Y(t) =
(2t2+t+2)t3 t2+1 , t3
;P∗,X =
t2+1
(2t2+t+2)t3,2tt22+t+2+1
. Vì vậy, các điểm tới hạn có thể có P1 = [2 : 0 : 1].
Mặt khác:
f(s, t) = (t4+ 2 (t2+ 1)t3) (s2+ 1)s3−(t2+ 1)t3(s4+ 2 (s2+ 1)s3), g(s, t) = (t2+ 1) (s2+ 1)s3−(t2+ 1)t3(s2+ 1).
Do đó, gcd(f(s, t), g(s, t)) =t−s (nên suy ra index(P) = 1). Suy ra, Res (f(s, t)/(t−s);g(s, t)/(t−s)) = (s4+s2+ 1)(s2+ 1)5s18.
Ta chỉ cần xét các nghiệm của s4+s2+ 1 = 0bao gồm: s1 = 1 +√23i;s2 = 1−√23i;s3 =
−1 + √23i;−1−√23i.
Ta có P2 =P∗(s1) =P∗(s2) = [3 : −1 : 1];P3 =P∗(s3) =P∗(s4) = [1 : 1 : 1].
Điều kiện gd(s)fd(s) = 0 cho ta s5 = 0, s6 =i, s7 =−i. Khi đó: P4 =P∗(s5) = [0 : 1 : 0];P5 =P∗(s6) =P∗ = [0 : 0 : 1].
Áp dụng các công thức ở trên ta tính đượcdeg(C∗) = 5 và
multP1(C∗) = 1,multP2(C∗) = 2,multP3(C∗) = 2,multP4(C∗) = 3,multP1(C∗) = 2.
Như vậy đường cong đã cho có bậc 5 và chứa bốn điểm kì dị đã chỉ ra ở trên.
Kết luận
Như vậy, trong chương một chúng tôi đã trình bày trọn vẹn hai khía cạnh về bài toán tham số hóa đường cong hữu tỉ. Bao gồm, thuật toán xác định giống của đường cong (đồng nghĩa với việc xác định tính hữu tỉ của đường cong) và thuật toán tham số hóa hữu tỉ bằng các đường cong liên hợp.
Phương pháp xác định giống của đường cong mà chúng tôi trình bày trong luận văn cũng là phương pháp kiểm tra điều kiện cần và đủ để có phép tham số hóa hữu tỉ.
Hơn nữa, nó còn cho phép xác định đồ thị lân cận trong trường hợp đường cong có các kì dị không thông thường, tức là trường hợp tổng quát nhất của bài toán tham số hóa.
Đồ thị lân cận của một điểm kì dị thu được bằng các giải kì dị dựa trên dãy các phép biến đổi bậc hai (phép nổ tại các kì dị, là hợp thành của một phép biến đổi tuyến tính và một ánh xạ Cremona).
Dựa trên các đồ thị lân cận tại các điểm kì dị thu được trong bước trên và các hệ thống tuyến tính, chúng tôi trình bày thuật toán tham số hóa bằng đường cong liên hợp.
Vấn đề ngược lại đã được đề cập trong chương hai, khi cho một đường cong dưới dạng tham số, bằng cách khử tham số (dùng kết thức) ta có thể tìm được đa thức định nghĩa của đường cong để từ đó nghiên cứu các tính chất hình học của đường cong.
Tuy nhiên, nhờ việc khảo sát bậc của ánh xạ đa thức hay chỉ số vết của phép tham số hóa hữu tỉ chúng ta có thể nhanh chóng tìm được các tính chất hình học như bậc địa phương, bậc toàn cục, xác định được tập các điểm kì dị của đường cong...