CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH ĐẶC TRƯNG BỨC XẠ CỦA HỐC PHÁT XẠ VẬT ĐEN
2.1. Phương pháp tính toán tất định
2.1.2. Phương pháp giải tích
2.1.2.1. Phương trình tích phân cơ bản
Phương pháp tính toán hệ số phát xạ hiệu dụng của hốc phát xạ bằng giải tích, còn được gọi là phương pháp hốc tích hợp (Integrative Cavity Method - ICM) [31], dựa trên việc giải các hệ phương trình tích phân mô tả trao đổi nhiệt bức xạ giữa các bề mặt hốc. Các phương trình trao đổi nhiệt bức xạ cũng đƣợc xây dựng trên giả thiết là các hốc phát xạ ở điều kiện đẳng nhiệt, bề mặt hốc có tính chất phát xạ và phản xạ khuếch tán hoàn toàn (bề mặt Lambert), và định luật Kirchhoff áp dụng đƣợc cho các đặc trƣng bức xạ bề mặt hốc [48]. Do hốc là khuếch tán, có thể sử dụng đại lƣợng độ thoát phổ địa phương để mô tả bức xạ thoát ra khỏi một đơn vị diện tích trên bề mặt hốc phát xạ ở nhiệt độ T (Hình 2.2) [26]. Dựa trên khái niệm dòng bức xạ thoát ra khỏi một đơn vị bề mặt hốc phát xạ (1.21), (1.24) ta có [26,28]:
(2.8) trong đó số hạng thứ nhất vế phải là thành phần phát xạ thuần của diện tích , số hạng thứ hai vế phải là thành phần phản xạ của các bức xạ tới
trên .
Hình 2.2: Xây dựng phương trình tích phân cơ bản cho hệ số phát xạ hiệu dụng.
S
40
Theo định nghĩa thì , với là hệ số
phản xạ phổ bán cầu của bề mặt và là độ rọi phổ [26,28]. Nếu coi các đặc trƣng bức xạ là không phụ thuộc phổ và nhiệt độ, ta có thể viết lại (2.8) một cách rút gọn nhƣ sau:
(2.9) Độ rọi là phần bức xạ từ một diện tích có vị trí bất kỳ trong hốc
chiếu lên diện tích , bằng , trong đó là hệ số góc vi phân, đặc trƣng cho góc mà “nhìn” . Trong lý thuyết trao đổi bức xạ, ký hiệu chỉ hệ số góc giữa hai đơn vị vi phân bề mặt
và , đƣợc định nghĩa là [47,52,68]:
(2.10) với là góc tạo giữa phương của bức xạ với pháp tuyến của hai bề mặt vi phân , ; là khoảng cách giữa hai bề mặt vi phân. Đại lƣợng đƣợc tính bằng cách lấy tích phân trên toàn bộ bề mặt phát xạ của hốc:
(2.11) Thay (2.11) vào (2.9), biết (1.16) và biểu diễn hệ số phản xạ bán cầu của bề mặt khuếch tán qua đại lƣợng hệ số phát xạ bán cầu của nó là
(định luật Kirchhoff), ta nhận được phương trình:
(2.12) Hệ số phát xạ bán cầu tổng hiệu dụng đƣợc xác định, căn cứ định nghĩa (1.28): . Đối với hốc khuếch tán hoàn toàn, hệ số phát xạ bán cầu hiệu dụng cũng chính là hệ số phát xạ địa phương hiệu dụng
của hốc ấy, hay . Chia cả hai về (2.12) cho , ta
có:
41
(2.13) Nếu xét trong điều kiện đẳng nhiệt của hốc, (2.13) đƣợc rút gọn thành:
(2.14) Phương trình (2.14) là một phương trình tích phân, với ẩn số
được đặt dưới dấu tích phân. Phương trình này được gọi là phương trình cơ bản cho hệ số phát xạ địa phương hiệu dụng của một hốc phát xạ. Ta có thể tính các hệ số phát xạ phổ hiệu dụng, hệ số phát xạ tổng hiệu dụng của hốc bằng cách sử dụng các biểu diễn tương ứng. Lõi của phương trình (2.14) gắn liền với hệ số góc giữa và , nhấn mạnh vai trò quan trọng của các hệ số góc trong các tính toán hệ số phát xạ hiệu dụng của hốc phát xạ.
Phương trình (2.14) có dạng của phương trình tích phân Fredholm loại hai, dạng của nó đƣợc viết là [26,28]:
(2.15) trong đó,
Phương trình (2.15) vốn có thể giải được bằng các kỹ thuật tiêu chuẩn được phát triển đối với loại phương trình này và trong một vài trường hợp đặc biệt (hốc phát xạ hình cầu và hình trụ), nghiệm có thể tìm đƣợc một cách trực tiếp bằng giải tích [28]. Tuy nhiên, trong thực tế, sẽ là thuận tiện hơn khi giải phương trình này bằng phương pháp số với độ chính xác cao, cho dù đòi hỏi khối lƣợng tính toán lớn và kỹ thuật xử lý làm tròn kết quả [28,69].
Có 3 phương pháp số thông dụng có thể được áp dụng cho việc tính toán hệ số phát xạ hiệu dụng của một hốc thông qua giải phương trình (2.15), đó là
42
phương pháp xấp xỉ liên tục, phương pháp chuỗi, và phương pháp cầu phương số [28].