CHƯƠNG II. NHỮNG BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG DỰ ĐOÁN VÀ KIỂM CHỨNG CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH
2.3. Biện pháp rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng trong dạy học Hình học không gian lớp 11 nâng cao Trung học phổ thông
2.3.2. Tập luyện cho học sinh thói quen kiểm chứng dự đoán (chứng minh hay bác bỏ)
2.3.2.3. Cách thức thực hiện
Theo [4; tr.185 – 186], muốn phát triển năng lực chứng minh của học sinh, khi dạy học chứng minh, cần chú ý các yêu cầu sau đây:
- Làm cho học sinh thấy được nhu cầu phải chứng minh.
- Làm cho học sinh có được những tri thức cần thiết về phương pháp suy luận và chứng minh: suy xuôi, suy ngược, phản chứng…và sử dụng được các phương pháp đó để giải toán.
- Làm cho học sinh nắm được các quy tắc kết luận logic, tăng cường kĩ năng vận dụng các quy tắc đó.
a. Gợi động cơ chứng minh
Như đã nói ở trên, dự đoán nêu ra có thể đúng có thể sai nên rất cần phải kiểm chứng lại tính đúng đắn của dự đoán đó.
- Giáo viên cần làm cho học sinh thấy được có những mệnh đề tương tự những định lí trong Hình học phẳng không phải là định lí trong Hình học không gian.
Ví dụ 2.8. Trong hình học phẳng có tính chất: “trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt ;a b cùng vuông góc với một đường thẳng c thì
/ /
a b’’. Học sinh có thể dùng phép tương tự để đưa ra dự đoán tính chất trên vẫn đúng trong không gian, tức là: “trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt ;a b cùng vuông góc với một đường thẳng c thì / /a b’’. Đây là một dự đoán sai, nếu không để học sinh kiểm chứng thì sẽ dẫn tới những sai lầm khi các em giải toán hình không gian. Việc học sinh tự kiểm chứng các dự đoán của mình (nếu có thể) giúp các em khắc ghi kiến thức sâu hơn và tránh được các sai lầm khi làm toán.
Khi nghiên cứu những mệnh đề liên quan đến đường thẳng song song, cần xét sự đúng đắn của các mệnh đề đó bằng cách tiến hành các phép chứng minh… Trong ví dụ này, lí do chủ yếu khiến hai đường thẳng đó có thể không song song với nhau là: hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau có thể không cùng nằm trong một mặt phẳng (hai đường thẳng chéo nhau).
Vì vậy, muốn chứng minh hai đường thẳng song song, trước hết cần chứng minh rằng chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.
- Giáo viên cần nhấn mạnh với học sinh khi tìm một đối tượng thỏa mãn những điều kiện nào đó, khi tìm tập hợp điểm, hình thành khái niệm, khi tính toán, …ta thường phải tiến hành các phép chứng minh.
Ví dụ 2.9. Xét bài toán sau đây: Cho hình chóp .S ABCD đáy ABCD là hình thang có đáy lớn BC =2a, đáy nhỏ AD a= , AB b= . Mặt bên SAD là tam giác đều, ( )α là mặt phẳng đi qua điểm M trên cạnh AB (
,0
AM =x < <x b), song song với SA và BC. ( )α cắt các cạnh CD SC SB, , lần lượt tại , ,N P Q. Tính giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện MNPQ.
Trong bài toán này, sau khi học sinh xác định thiết diện là tứ giác MNPQ. Để tính được giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện cần tính diện tích đó.
Sau khi xác định được hình dạng của tứ giác, sẽ dễ dàng để tính được diện tích nếu tứ giác đó là hình đặc biệt.
Nhờ quan sát hình vẽ học sinh có thể đưa ra dự đoán thiết diện là hình thang.
Hình 2.10
Nhưng đó chỉ là dự đoán. Học sinh cần phải chứng minh dự đoán đó trước khi đi tính diện tích thiết diện như là tính diện tích một hình thang. Như vậy, giáo viên đã khơi dậy ở học sinh nhu cầu phải chứng minh một nhận
định, ở đây ( ) (α ∩ ABCD)=MN;( ) (α ∩ SBC)=PQ mà ( ) / /α BC nên / / / /
MN PQ BC. Do đó, thiết diện là hình thang.
b. Các phương pháp suy luận và phương pháp chứng minh thường dùng
* Suy ngược lùi và suy xuôi
Khi tiến hành phép chứng minh trong giáo trình Hình học không gian ở trường Trung học phổ thông ta thường kết hợp phương pháp suy ngược lùi (đi từ mệnh đề cần chứng minh đến những điều đã biết) và phương pháp suy xuôi (đi từ những điều đã biết đến mệnh đề cần chứng minh). Nói đúng hơn ta thường dùng phương pháp suy ngược lùi (kết hợp với suy ngược tiến) để tìm phương pháp chứng minh và dùng phương pháp suy xuôi để trình bày phép chứng minh [4; tr.187].
Ví dụ 2.10. Xét bài toán sau:
Cho hình chóp .S ABC có SA⊥(ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a. AH SK BC, , đồng quy b. SC ⊥(BHK)
c. HK ⊥(SBC)
Hình 2.11 Để chứng minh phần a) ta tiến hành suy ngược lùi:
Do H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ∩BC I= .
Để chứng minh AH SK BC, , đồng quy ta phải chứng minh SK cũng đi qua I. Mà K lại là trực tâm tam giác SBC nên ta cần chứng minh SI ⊥BC.
Để chứng minh SI ⊥BC ta chứng minh BC⊥(SAI), điều này đúng vì
;
BC ⊥SA BC ⊥ AI .
Lập luận trên có thể được mô tả bởi sơ đồ sau:
;
AH ∩BC I I SK= ∈
⇑ SI ⊥BC
⇑
( )
BC ⊥ SAI
⇑
;
BC ⊥SA BC ⊥ AI
Nhưng để trình bày chứng minh trên thì ta dùng phương pháp suy xuôi như sau:
Trong (ABC AH) : ∩BC I= ⇒BC⊥ AI (do H là trực tâm)
( )
SA⊥ ABC ⇒SA BC⊥
Vậy nên: BC⊥(SAI)⇒BC⊥SI
Trong tam giác SBC có K là trực tâm mà SI ⊥BC nên , ,S I K thẳng hàng hay SK đi qua I . Vậy AH SK BC, , đồng quy tại I.
Tương tự, để chứng minh phần b) ta có sơ đồ suy ngược lùi như sau:
( )
SC ⊥ BHK
⇑
SC ⊥BK SC ⊥BH ⇑
BH ⊥(SAC) ⇑
BH ⊥SA BH; ⊥ AC
Và để trình bày chứng minh ta lại dùng phương pháp suy xuôi.
Cũng có những chứng minh ta cần kết hợp cả phương pháp suy ngược lùi và phương pháp suy xuôi. Chẳng hạn trong việc lập luận để chứng minh phần c) ta suy xuôi: Theo phần b) thì SC ⊥(BHK) nên suy ra HK ⊥SC. Suy ngược lùi: Để chứng minh HK ⊥(SBC) ta cần chứng minh HK ⊥BC, để có được điều đó ta lại phải chứng minh BC ⊥(SAI), điều này đúng vì
;
BC ⊥SA BC ⊥ AI .
Khi đó chứng minh sẽ được trình bày như sau:
Theo b): SC ⊥(BHK)⇒HK ⊥SC (1) Theo giả thiết: ( )
( )
SA ABC SA BC
BC SAI AI BC
⊥ ⇒ ⊥
⇒ ⊥
⊥
Mà HK ⊂(SAI) nên HK ⊥BC (2) Từ (1) và (2) ta có: HK ⊥(SBC) (ĐPCM).
* Chứng minh phản chứng
Trong khi dạy học chứng minh, cũng cần hướng dẫn cho học sinh biết cách tiến hành chứng minh phản chứng. Muốn chứng minh phản chứng một mệnh đề nào đó, cần xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra [3; tr.188].
Ví dụ 2.11. Dạy học định lí: “Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )P thì mọi mặt phẳng ( )Q chứa a mà cắt ( )P thì cắt theo giao tuyến song song với a”. Giáo viên làm như sau:
Cho học sinh quan sát mô hình:
có một mặt phẳng ( )P và một đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )P . Mặt phẳng ( )Q thay đổi luôn chứa a. Giáo viên cho mặt phẳng ( )Q chuyển
Hình 2.12
động và yêu cầu học sinh quan sát giao tuyến của ( )P và ( )Q . Sau khi quan sát sự chuyển động của giao tuyến khi mặt phẳng ( )Q chuyển động, giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra dự đoán (nhận xét) nào đó về giao tuyến này. Một trong các dự đoán có thể là: “giao tuyến b của ( )P và ( )Q song song với đường thẳng a”. Tuy nhiên, đó mới chỉ là dự đoán. Giáo viên làm cho học sinh thấy rằng dự đoán đó chưa thể khẳng định là đúng nếu nó không được chứng minh, vậy nên, các em hãy chứng minh nó.
Giáo viên gợi ý học sinh chứng minh bằng phản chứng (nếu cần). Vì a và b cùng nằm trong mặt phẳng ( )Q nên chỉ có thể xảy ra các khả năng:
chúng trùng nhau, cắt nhau hoặc song song.
Nếu a và b trùng nhau tức a là giao tuyến của ( )P và ( )Q thì ( )
a⊂ P (mâu thuẫn với giả thiết / /( )a P ).
Nếu a và b cắt nhau tại I thì I b∈ ⊂( )P nên a và ( )P có điểm chung là I (mâu thuẫn với giả thiết / /( )a P ).
Vậy / /a b. Ta đã chứng minh xong dự đoán đưa ra bằng phương pháp phản chứng.
c. Các quy tắc kết luận logic thường dùng
Các quy tắc kết luận logic không được dạy một cách tường minh trong chương trình toán trung học phổ thông. Vì vậy, giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh phân tích các bước của phép chứng minh, trình bày các bước đó có kốm theo căn cứ suy luận, để học sinh nhận biết và hiểu rừ đó dựng cỏc quy tắc kết luận logic như thế nào. Chẳng hạn, một học sinh lập luận: “ Một tứ giác là hình bình hành ( )P thì có hai cạnh đối song song ( )Q , tứ giác ABCD có hai cạnh đối không song song ( )Q thì tứ giác ABCD không phải là hình
bình hành ( )P ”. Ở đây, học sinh đó đã sử dụng quy tắc tam đoạn luận phản
chứng: (P Q Q)
P
⇒ .
Ví dụ 2.12. Định lí: “Nếu hai mặt phẳng ( )P và ( )Q vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong ( )P , vuông góc với giao tuyến của ( )P và ( )Q đều vuông góc với mặt phẳng ( )Q ” được chứng minh ngắn gọn như sau:
Gọi c là giao tuyến của ( )P và ( )Q , H là giao điểm của a và c. Trong ( )Q , kẻ đường thẳng b đi qua điểm H và vuông góc với c. Khi đó góc giữa ( )P và ( )Q chính là góc giữa
a và b. Vì ( ) ( )P ⊥ Q nên a b⊥ . Như vậy ta có đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng ,b c cắt nhau cùng
thuộc ( )Q , suy ra a⊥( )Q .
Hình 2.13 Có thể phân tích phép chứng minh trên thành các bước sau đây:
(1) Gọi c là giao tuyến của ( )P và ( )Q , H là giao điểm của a và c tức là a vuông góc với c tại H .
(2) Trong ( )Q , kẻ đường thẳng b đi qua điểm H và vuông góc với c. Khi đó, ,a b là hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng ( ),( )P Q và vuông góc với giao tuyến của ( ),( )P Q nên theo cách xác định góc giữa hai mặt phẳng thì góc giữa ( )P và ( )Q chính là góc giữa a và b.
(3) Theo giả thiết ( )P và ( )Q vuông góc với nhau nên góc giữa ( )P và ( )Q bằng 90o, suy ra góc giữa a và b cũng bằng 90o hay a và b vuông góc với nhau.
(4) Ta có:
( ), ( ) a c
a b b c H
b Q c Q
⊥
⊥
∩ =
⊂ ⊂
Vậy theo định lí về điều kiện để đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng thì a⊥( )Q .
2.3.3. Tăng cường sử dụng các mô hình dạy học và công nghệ thông tin