CHƯƠNG II. NHỮNG BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG DỰ ĐOÁN VÀ KIỂM CHỨNG CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH
2.3. Biện pháp rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng trong dạy học Hình học không gian lớp 11 nâng cao Trung học phổ thông
2.3.3. Tăng cường sử dụng các mô hình dạy học và công nghệ thông tin để giúp học sinh dự đoán và kiểm chứng dự đoán
2.3.3.3. Cách thức thực hiện
Không gian lớp học cũng có lúc trở thành phương tiện dạy học tích cực cho môn Hình học không gian. Chẳng hạn như sau:
Ví dụ 2.13. Dạy học nội dung điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng.
Sau khi học sinh đã biết định nghĩa: “một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung” và nếu coi
mép tường , trần nhà,… là hình ảnh của một phần đường thẳng, trần nhà là hình ảnh của một phần mặt phẳng... Giáo viên yêu cầu học sinh hãy chỉ ra hình ảnh các cặp đường thẳng và mặt phẳng trong phòng học (mép tường, trần nhà,…) song song với nhau đồng thời giải thích tại sao. Với yêu cầu đó, học sinh dễ dàng chỉ ra các cặp đường thẳng và mặt phẳng song song nhưng gặp khó khăn trong việc giải thích tại sao. Bởi lẽ, thật khó có thể khẳng định hai đối tượng hình học đang xét không có điểm chung. Điều này làm nảy sinh nhu cầu tìm kiếm một điều kiện đơn giản hơn (dễ kiểm tra hơn) để một đường thẳng song song với một mặt phẳng.
Với học sinh khá giỏi, giáo viên để cho học sinh tự tìm kiếm câu trả lời và kiểm chứng dự đoán đưa ra.
Với học sinh khá hoặc trong trường hợp thời gian không cho phép đợi chờ học sinh suy nghĩ thêm nữa, giáo viên có thể đưa ra những gợi ý. Chẳng hạn: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )P thì liệu có tồn tại một đường thẳng nào đó trong ( )P song song với a hay không? Vậy dự đoán các em có thể đưa ra là gì?
Với học sinh trung bình khá, giáo viên có thể gợi ý sâu hơn: Cho đường thẳng b nằm trong (P) và b song song với a. Liệu a có song song với ( )P hay không? (ở đây, giáo viên đã gợi ý học sinh đưa ra dự đoán và để học sinh tự kiểm chứng dự đoán đó).
Song với những đối tượng học sinh kém hơn, các em cũng chưa thể kiểm chứng được dự đoán đưa ra một cách độc lập. Khi đó giáo viên có thể gợi ý: để kiểm tra xem a có song song với ( )P hay không các em hãy kiểm tra xem a và ( )P có điểm chung hay không? (nên dùng phương pháp phản chứng). Và khi đó, dù là đối tượng học sinh trung bình, các em cũng có thể kiểm chứng dự đoán đã đưa ra. Cụ thể là:
Cho đường thẳng b nằm trong (P) và một đường thẳng asong song với b. Lấy một điểm I tùy ý trên a. Khi đó:
Hình 2.14
- Nếu I∈( )P thì a và ( )P có điểm chung, mà / /a b⊂( )P nên ( )
a⊂ P .
- Nếu I∉( )P thì a và ( )P không có điểm chung nên / /( )a P .
Vậy nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng ( )P và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên ( )P thì a song song với ( )P .
Ví dụ 2.14. Xét bài toán sau: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau.
Một đường thẳng c bất kì cắt cả a và b . Hỏi rằng a b c có cùng nằm trong , , một mặt phẳng hay không?
Đứng trước tình huống này, học sinh rất dễ đưa ra dự đoán sai bởi các em thiếu kinh nghiệm vẽ hình và xét các trường hợp có thể xảy ra. Học sinh có thể đưa ra dự đoán rằng: “ , ,a b c cùng nằm trong một mặt phẳng” và khẳng định dự đoán đó bằng kiểm chứng như sau:
Gọi ; ;A B C lần lượt là giao điểm của a và b, a và c, b và c. Do ; ;A B C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng nên qua ; ;A B C có duy nhất một mặt phẳng chứa chúng.
Hay các đường thẳng , ,a b c cùng nằm trong một mặt phẳng.
Hình 2.15
Rừ ràng, việc khụng suy xột hết cỏc khả năng cú thể xảy ra đó khiến học sinh dự đoán sai và kiểm chứng sai.
Để gợi ý cho học sinh thấy được sai lầm của mình giáo viên có thể nêu tình huống: “Nếu a b c đồng quy thì sao?”, ,
Với gợi ý này chắc hẳn có không ít học sinh vẫn giữ nguyên khẳng định ban đầu rằng ba đường thẳng , ,a b c cùng thuộc một mặt phẳng và các em lập luận: đường thẳng c nằm trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b.
Đến lúc này sẽ dễ dàng hơn cho người giáo viên trong việc chỉ ra sai lầm của học sinh nếu như người giáo viên đó có mô hình dạy học hoặc phương tiện công nghệ thông tin.
Chẳng hạn giáo viên lấy ví dụ như sau:
Các em hãy nhìn vào góc phòng học và coi hai cạnh cắt nhau nằm ở hai mép sàn nhà là hình ảnh của một phần đường thẳng a và b, mép tường nhà là là hình ảnh của một phần đường thẳng c thì có kết luận gì về tính đồng phẳng của , ,a b c ?
Hoặc lấy 3 cái thước tạo ra mô hình giống như góc nhà đã nói ở trên, hoặc vẽ hình không gian trên phần mềm cabri 3D, hoặc xét một góc trong hình lập phương để học sinh thấy được mô hình như hình 2.17. Khi đó, học sinh sẽ nhận thấy sai lầm trong phán đoán đã đưa ra và chỉnh sửa lại.
Hình 2.16
Hình 2.17 Ví dụ 2.15.
Qua ví dụ 1.3 học sinh đã lĩnh hội khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng theo cách dự đoán và kiểm chứng dự đoán. Tuy nhiên với khái niệm: “một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó” thì việc chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng gặp khó khăn. Bởi lẽ, một mặt phẳng chứa vô số đường thẳng, việc kiểm tra định nghĩa trên không phải lúc nào cũng làm được. Bằng phân tích này, người giáo viên đã khơi dậy ở học sinh nhu cầu tìm ra một điều kiện (dễ kiểm chứng hơn so với định nghĩa) để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Để học sinh có thể nêu dự đoán, giáo viên nên có những gợi ý đúng lúc và kịp thời, chẳng hạn:
- Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi nào?
Học sinh sẽ liệt kê các trường hợp xác định mặt phẳng như: Biết ba điểm phân biệt không thẳng hàng; biết một điểm và một đường thẳng thuộc nó; biết hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng; biết hai đường thẳng song song thuộc mặt phẳng,… Từ đó các em có thể đưa ra những dự đoán khác nhau về điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ví dụ: một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó (1); hoặc một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng song song nằm trong mặt phẳng đó (2).
Vấn đề tiếp theo là kiểm chứng các dự đoán đó. Hãy cứ để học sinh tự kiểm chứng các dự đoán của mình bằng những kiến thức mà các em đã có (trong trường hợp cần thiết giáo viên có thể đưa ra những gợi ý để thúc đẩy quá trình kiểm chứng của học sinh). Chẳng hạn như sau:
Với dự đoán (2) học sinh sẽ dễ dàng nhận thấy điều không hợp lí bằng cách đưa ra ví dụ phản chứng: Dự đoán (2) thực chất có thể phát biểu là: một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều này bị bác bỏ ngay khi học sinh đưa ra phản ví dụ từ những mô hình sẵn có trong không gian phòng học:
Coi phòng học là hình ảnh của một hình lập phương thì: Đường chéo
' '
A C của trần nhà vuông góc với đường chéo CD của sàn nhà nhưng
' '
A C lại song song với sàn nhà (mâu thuẫn dự đoán (2)).
Hình 2.18
Kiểm chứng dự đoán (1): Dự đoán (1) có thể phát biểu dưới dạng sau: “ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng ( )P thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )P ”.
- Giáo viên gợi ý kiểm chứng: Để chứng minh d ⊥( )P thì theo định nghĩa ta cần chứng minh điều gì?; Nếu d ⊥( )P và c⊂( )P với c là đường thẳng tùy ý thì d và c có quan hệ như thế nào? Vậy ta cần chứng minh điều gì?
- Bằng những gợi ý đó (có thể không cần gợi ý hết những điều trên nếu thấy học sinh chủ động suy nghĩ được) học sinh sẽ đi đến kết luận sau: Để chứng minh d ⊥( )P ta sẽ chứng minh d vuông góc với một đường thẳng bất kì nằm trong ( )P .
- Ta sẽ chứng minh điều đó bằng phương pháp nào? (phương pháp vectơ tỏ ra hiệu quả trong trường hợp này)
- Các em hãy tự kiểm chứng đi. Và như vậy học sinh thấy hoàn toàn có nhu cầu và năng lực để kiểm chứng dự đoán của mình.
Kí hiệu ; ; ;a b c dr r r ur
lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng ; ; ;a b c d trong đó c là đường thẳng tùy ý nằm trong ( )P .
Từ giả thiết có nghĩa là:
. . 0
d a d b= = ur r ur r
Hình 2.19 Ta cần chứng tỏ: .d cur r=0
. - Có mối liên hệ nào giữa cr
với ar và br
không? (gợi ý nếu cần) Ta có: Vì , ,a b cr r r
đồng phẳng và ,a br r
không cùng phương nên tồn tại duy nhất các số thực ,k l sao cho: c ka lbr= r+ r
. Vậy: .d c d ka lbur r ur= .( r+ r)=kd a ld bur r. + ur r. =0
. Suy ra dur⊥cr
hay d ⊥c.
Do c là tùy ý trong ( )P nên có kết luận: d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong ( )P hay d vuông góc với mặt phẳng ( )P .
Vậy dự đoán (1) đã được kiểm chứng là đúng. Giáo viên khẳng định lại thành điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
Ví dụ 2.16. Sau khi cho học sinh quan sát mô hình (hình vẽ, bằng phần mềm toán học):
- Cho hai đường thẳng phân biệt ;a b cùng vuông góc với mặt phẳng ( )P . Nhận xét về vị trí tương đối của ;a b, hình 2.20.
- Học sinh quan sát vài mô hình có thể sẽ đưa ra dự đoán: / /a b.
Giáo viên cần cho học sinh thấy kết luận trên chỉ dựa vào một vài trường hợp cụ thể, chưa chắc đã đúng trong tất cả các trường hợpví dụ khác. Vì thế cần phải chứng minh nó. Trong nhiều trường hợp chứng minh hình không gian ta sử dụng phép chứng minh phản chứng, và đây là một ví dụ để giáo viên rèn luyện cách chứng minh phản chứng cho học sinh, qua đó kiểm chứng được dự đoán đã đưa ra.
Hình 2.20
- Ta biết rằng hai đường thẳng phân biệt trong không gian có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau. Để chứng minh ;a b song song ta cần chỉ ra rằng hai trường hợp cắt nhau hoặc chéo nhau là không thể xảy ra.
- Giả sử a và b cắt nhau tại một điểm M , như vậy qua M có hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng ( )P . Điều này là vô lí.
- Giả sử a và b chéo nhau. Qua một điểm B nào đó thuộc đường thẳng b, ta dựng đường thẳng b1 song song với đường thẳng a thì b1 vuông góc với ( )P . Khi đó b1 không trùng với b vì b1 và a cùng thuộc một mặt phẳng còn b và a chéo nhau. Vậy qua điểm B có hai đường thẳng phân biệt
b và b1 cùng vuông góc với ( )P , vô lí.
Vậy a và b song song.
2.3.4. Khuyến khích học sinh thực hành kĩ năng dự đoán và kiểm chứng