CHƯƠNG IV: TAM GIÁC BẰNG NHAU
DẠNG 3: Sử dụng định nghĩa, tính chất của tam giác cân để chứng minh
Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa, tính chất của tam giác cân để chứng minh hai tam giác bằng nhau. Từ đó suy ra các cạnh (hoặc các góc) tương ứng bằng nhau. Từ đó suy ra các điều cần chứng minh khác (nếu có)
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các cạnh AB , AC sao cho AD=AE. Gọi I là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) BE=CD;
b) ^EBC=^DCB. Từ đó suy ra IB=IC; c) DE/¿BC.
Bài 2. Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Về một phía của
AB, dựng các tam giác đều ACF và BCE. a) Chứng minh rằng AE=BF.
b) Xác định góc giữa hai đường thẳng AE và BF.
Bài 3. Tam giác ABC có ^B=45∘,C^=120∘. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD=2CB. Tính góc ADB.
Bài 4.Cho tam giác ABC cân tại A có ^A=100∘, BC=a , AC=b. Về phía ngoài tam
ABC, vẽ tam giác ABD cân tại D sao cho ^ADB=140∘. Tính chu vi tam giác ABD theo a
và b. Bài 5.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A , D là điểm bất kì trên cạnh AB. Trong góc
BAC vẽ tia Bx sao cho góc ^ABx=135∘. Đường thẳng vuông góc với DC tại D cắt
Bx tại E. Chứng minh tam giác DEC vuông cân.
- HS hình thành nhóm, phân công nhiệm vụ, thảo luận, tìm ra câu trả lời.
- GV cho đại diện các nhóm trình bày, chốt đáp án đúng và lưu ý lỗi sai.
Gợi ý đáp án:
DẠNG 3:
Bài 1.
a) △ABC cân tại A nên AB=AC. Xét hai tam giác ABE và ACD có:
AB=AC(cmt), góc A chung, AE=AD(¿).
Do đó, △ABE=△ACD (c.g.c), suy ra BE=CD. b) Vì △ABE=△ACD nên ^ABE=^ACD.
△ABC cân tại A nên ^ABC=^ACB.
Mà ^EBC=^ABC−^ABE ,^DCB=^ACB−^ACD. Do đó ^EBC=^DCB hay ^IBC=^ICB.
Suy ra △IBC cân tại I. Vậy IB=IC.
c) Ta có BE=BI+IE ,CD=CI+ID, mà BE=CD (câu a), BI=CI (câu b) nên IE=ID. Do đó △IDE cân tại I. Suy ra ^IDE=^IED=12(180∘−^DIE)(1)
ΔABC IBC cân tại I nên ^IBC=^ICB=12(180∘−^BIC). (2) Mặt khác ^DIE= ^BIC (đối đỉnh) (3)
Từ (1),(2) và (3), ta có ^IED=^IBC. Suy ra DE/¿BC. Bài 2.
a) Xét △ACE và ΔABCFCB có: A , B , C thẳng hàng và C nằm giữa hai điểm A và B (giả thiết).
Vậy ^ACE+ ^ECB=180∘.
Mà ^ECB=60∘ (giả thiết) nên ^ACE=120∘.
Do đó ^ACE=^BCF=120∘ và CB=CE (giả thiết), CF=CA (giả thiết).
Suy ra △ACE=△FCB (c.g.c). Vậy AE=BF.
b) Gọi K là giao điểm của AE và BF. Từ câu a suy ra ^AEC=^FBC, do đó
^EKB=^ECB=60∘. Vậy góc giữa hai đường thẳng AE và BF bằng 60∘. Bài 3.
Kẻ DE ⊥AC. Nối BE. Vì ^ECB=120∘ nên ^ECD=60∘. Vì tam giác DEC vuông tại E nên ^EDC+ ^ECD=90∘, suy ra ^EDC=30∘
Mà EC là cạnh đối diện với ^EDC nên EC=12CD
suy ra EC=CB. Tam giác ECB cân tại C có ^ECB=120∘ nên ^EBC=30∘. Tam giác EBD cân tại E⇒EB=ED
Lại có: ^ABE+ ^EBC ABC=45∘, suy ra ^ABE=15∘.
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC ta có ^EAB=15∘. Suy ra tam giác EAB cân tại E⇒EA=EB⇒EA=ED.
Mà EA⊥ED nên tam giác AED vuông cân tại A suy ra ^ADE=45∘. Khi đó ^ADB=^ADE+^EDC=45∘+30∘=75∘. Vậy ^ADB=75∘.
Bài 4.
Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE=BD.
Theo giả thiết ta có ^DBA=20∘ (góc đáy của tam giác cân có góc đỉnh
140∘),^ABE=40∘.
Xét △BDE cân tại B, có ^DBE=60∘ nên △BDE đều, do đó BD=BE=DE=DA. Ta lại có ^EDA=^BDA−^BDE=80∘,
△DAE cân tại D có ^EDA=80∘ nên ^DEA=^DAE=50∘. Do đó ^EAC=^DAB+ ^BAC−^DAE=20∘+100∘−50∘=70∘. Từ đó ^AEC=180∘−^DEA−^DEB=180∘−50∘−60∘=70∘.
Tam giác CAE có ^EAC=^AEC(¿70∘)⇒ △CAE cân tại C⇒AC=EC. Do đó AD=BD=BE=BC−EC=BC−AC=a−b và AB=AC=b. Vậy chu vi △ABD là AD+BD+AB=a−b+a−b+b=2a−b. Bài 5.
Lấy F thuộc AC sao cho AD=AF. Khi đó tam giác ADF vuông cân ở A, suy ra
^DFA=45∘ và ^DFC=135∘.
Ta có: ^ACD=^BDE (cùng phụ với ^ADC ).
Mặt khác: BD=AB−AD,
CF=AC−AF , AB=AC,
AD=AF nên BD=CF. Xét △BDE và △FCD có:
BD=FC ;^BDE=^FCD;
^EBD=^DFC(¿135∘)
Suy ra ΔABCBDE=ΔABCFCD¿ g.c.g) ⇒DE=DC.
Mà ΔABC EDC vuông ở D. Vậy tam giác EDC vuông cân ở D.
Bài 6.
Về phía trong góc CAD vẽ tia Ax ,CAx=20^ ∘. Gọi E là giao điểm của tia Ax và CD.
Ta có △ACE cân tại A⇒AC=AE, do đó △ABE là tam giác đều ⇒EB=EA.
^EDA=^AEC−^EAD=40∘
⇒ΔABCEAD cân tại E⇒EA=ED.
Từ đó có ^AEC=80∘;BEC^=20∘;^BED=160∘, ^EDB=10∘. Do đó
^ACD+ ^EDB=80∘+10∘=90∘
⇒BD⊥AC.
Nhiệm vụ 4: GV phát phiếu bài tập, nêu phương pháp giải, cho học sinh làm bài theo nhóm bằng phương pháp khăn trải bàn.
PHIẾU BÀI TẬP SỐ 4
DẠNG 4: Chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn