Phần HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG HÌNH HỌC PHẲNG
Bài 15. Độ dài cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN 1. Độ dài cung tròn
Bài 1. Tính độ dài cung tròn 300; 900; 1200 của đường tròn (O; 6 cm) Bài 2. Tính độ dài cung tròn 1200 của đường tròn có bán kính 10 cm.
Bài 3. Tính độ dài cung tròn 2350 của đường tròn bán kính 7 cm.
Bài 4. Tính độ dài cung 40° của đường tròn bán kính 9 cm.
Bài 5. Tính chu vi của đường tròn bán kính 5 cm (theo đơn vị centimét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Bài 6. Cung có số đo 100o của đường tròn bán kính 8 cm dài bao nhiều centimét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
ĐS ≈ 14 (cm).
Bài 7. Hãy hoàn thành bảng số liệu sau vào vở ( lấy 3,14 và làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Bán kính R 20 cm ? 12 cm 32,6 cm ?
Số đo n0 của cung tròn 1600 1440 ? 420 150
Độ dài l của cung tròn ? 16,8 cm 60 cm ? 96 cm
Bài 8. Cho đường tròn (O; 4 cm) và ba điểm A, B, C trên đường tròn đó sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và số đo của cung nhỏ BC bằng 70°.
a) Giải thích tại sao hai cung nhỏ AB và AC bằng nhau.
b) Tính độ dài của các cung BC, AB và AC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Bài 9. Cho A và B là hai điểm trên đường tròn (O; 3 cm) sao cho góc AOB = 120°. Tính số đo độ dài các cung có hai mút A, B. (Hình vẽ)
ĐS: Độ dài cung nhỏ AB là 2π, cung lớn AB là 4π Bài 10. Một chất điểm chuyển động trên một đường tròn có bán kính r = 0,3 m với tốc độ không
đổi. Chất điểm chuyển động hết một vòng quanh đường tròn đó trong 20 s. Tính tốc độ của chất điểm (theo đơn vị mét trên giây và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
r R
B C
O
A
NĂM HỌC: 2024 - 2025
ĐS: v ≈ 0.09 (m/s).
Bài 11. Một con lắc di chuyển từ vị trí A đến vị trí B (Hình vẽ). Tính độ dài quãng đường AB mà con lắc đó đã di chuyển, biết rằng sợi dây OA có độ dài bằng l và tia OA tạo với phương thẳng đứng góc anpha.
Bài 12. Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một cung AB có độ dài là bao nhiêu vào những thời điểm sau?
a) 2 giờ b) 8 giờ c) 21 giờ
Bài 13. Ba bộ phận truyền chuyển động của một chiếc xe đạp gồm một giò đĩa (bánh răng gắn với bàn đạp), một chiếc líp (cũng có dạng bánh răng) gắn với bánh xe và bộ xích (Hình vẽ). Biết rằng giò đĩa có bán kính 15 cm, líp có bán kính 4 cm và bánh xe có đường kính 65 cm. Hỏi khi người đi xe đạp một vòng thì xe chạy được quãng đường dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục)?
Bài 14. Bánh xe (khi bơm căng) của một chiếc xe đạp có đường kính 650 mm. Biết rằng khi giò đĩa quay một vòng thì bánh xe quay được khoảng 3,3 vòng (Hình vẽ). Hỏi chiếc xe đạp di chuyển được quãng đường dài bao nhiêu mét sau khi người đi xe đạp 10 vòng liên tục?
Hướng dẫn: Khi bánh xe quay 3,3 vòng thì mỗi điểm trên bánh xe di chuyển được một độ dài bằng 3,3 lần chu vi đường tròn.
Bài 15. Một máy kéo công nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, đường kính bánh sau là 124cm và đường kính bánh trước là 80cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 20 vòng thì bánh xe trước lăn được bao nhiêu vòng?
1 2
3 4 6 5
7 8 9 10
11 12
NĂM HỌC: 2024 - 2025
Bài 16. Một chiếc xe lu có đường kính trống lu là 1,5 m và đường kính của bánh sau là 1,2 m (Hình vẽ). Khi hoạt động, trống lu quay hết một vòng (360°) trong 5 phút.
a) Trong mỗi phút, trống lu quay được bao nhiêu độ và xe lu cán được bao nhiêu mét đường?
b) Để cán được 1 mét đường thì trống lu phải quay một góc bao nhiêu độ?
c) Để trống lu quay được 1 vòng thì bánh sau phải quay bao nhiêu vòng?
Bài 17. Thành phố Đà Lạt nằm vào khoảng 11058’ vĩ độ Bắc. Mỗi vòng kinh tuyến của trái đất khoảng 40000km. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến từ Đà Lạt đến Xích đạo.
Bài 18. Bánh xe của một ròng rọc có chu vi là 560mm. Dây cua-roa bao quanh bánh xe theo cung AB có độ dài 210mm. Tính góc AOB
Bài 19. Vĩ độ của Hà Nội là 20 01'0 . Mỗi vòng kinh tuyến của trái đất dài 40000km
a) Tính bán kính của trái đất. b) Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo.
Bài 20. Trong Hình vẽ, hai puly có dạng hình tròn tâm A bán kính 12,5 cm và tâm B bán kính 7 cm được nối bằng dây curoa. Khoảng cách giữa tâm của hai puly là AB = 30 cm. Đoạn dây CD, EF tiếp xúc với cả hai puly. Tính:
O A B
NĂM HỌC: 2024 - 2025
a) Độ dài CD và số đo các góc của tứ giác ABCD;
b) Độ dài dây curoa. Làm tròn độ dài đến hàng phần mười centimét, số đo góc đến phút.
Bài 21. Trong Hình vẽ, mỗi làn chạy của sân vận động được thiết kế gồm hai phần là đường chạy thẳng và hai phần có dạng nửa đường tròn. Trong một cuộc thi điền kinh, vận động viên ở làn trong cùng xuất phát từ vị trí điểm A, chạy ngược chiều kim đồng hồ đúng một vòng và về đích ở điểm A.
a) Tính cự li chạy của cuộc thi (tổng quãng đường vận động viên phải chạy).
b) Để đảm bảo cự li chạy như nhau, vận động viên ở làn ngoài cùng không chạy đúng một vòng mà xuất phát từ vị trí điểm B và về đích ở điểm C. Xác định số đo góc COB.
2. Hình quạt tròn
Bài 22. Tính diện tích của hình quạt tròn bán kính 4 cm, ứng với cung 36°.
Bài 23. Tính diện tích của hình quạt tròn bán kính 3 cm ứng với cung 210°.
Bài 24. Tính diện tích các hình quạt tròn ứng với cung có số đo lần lượt là 30o; 90o; 120o của hình tròn (O; 12 cm)
Bài 25. Tính diện tích các hình quạt tròn ứng với cung tròn có độ dài lần lượt là 8 cm, 15 cm của hình tròn (O; 5 cm)
Bài 26. Tính diện tích của hình quạt tròn bán kính 5 cm và có độ dài cung tương ứng với nó bằng 4 cm.
ĐS: 10л (cm2).
Bài 27. Một chiếc quạt giấy khi xoè ra có dạng nửa hình tròn bán kính 2,2 dm như Hình vẽ. Tính diện tích phần giấy của chiếc quạt, biết rằng khi gấp lại, phần giấy có chiều dài khoảng 1,6 dm (làm tròn kết quả đến hàng phản trăm của dm2).
NĂM HỌC: 2024 - 2025
Bài 28. Một tờ giấy thủ công có hình dạng giống một hình quạt tròn như hình sau. Biết độ dài AB
= 15,7 cm và góc AOB bằng 720. Tính độ dài cạnh OA (Chú ý rằng OA cũng bằng OB, độ dài làm tròn đến một chữ số thập phân và 3,14, khi thay số vào công thức nên dùng dấu “≈”)
Bài 29. Có hai chiếc bánh pizza hình tròn (Hình vẽ). Chiếc bánh thứ nhất có đường kính 16 cm được cắt thành 6 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Chiếc bánh thứ hai có đường kính 18 cm được cắt thành 8 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Hãy so sánh diện tích bề mặt của hai miếng bánh cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất và thứ hai.
Bài 30. Bề mặt phía trên của một chiếc trống có dạng hình tròn bán kính 8 cm (Hình vẽ). Diện tích bề mặt phía trên của trống đó bằng bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
ĐS: S ≈ 201 (cm2).
Bài 31. Cho hình quạt tròn AOB giới hạn bởi hai bán kính OA, OB và cung AmB sao cho OA = AB (Hình vẽ). Hãy tìm số đo cung AmB ứng với hình quạt đó.
NĂM HỌC: 2024 - 2025
Bài 32. Ta coi mỗi hình tròn bán kính R là một hình quạt có số đo 360°. Tính diện tích hình quạt tròn tâm O, bán kính R, biết số đo cung ứng với hình quạt tròn đó là:
a) 1°; b) n°.
Bài 33. Một hoạ tiết trang trí có dạng hình tròn bán kính 4 dm được chia thành nhiều hình quạt tròn (Hình vẽ), mỗi hình quạt tròn có góc ở tâm là 7,5°. Diện tích của mỗi hình quạt đó là bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
ĐS: 1,05 (dm2).
Bài 34. Hình quạt tô màu đỏ ở Hình vẽ có bán kính bằng 2 dm và góc ở tâm bằng 150°.
a) Tính diện tích của hình quạt đó theo đơn vị decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
b) Tính chiều dài cung tương ứng với hình quạt tròn đó.
Bài 35. Hình vẽ biểu diễn vùng biển được chiếu sáng bởi một hải đăng có dạng một hình quạt tròn với bán kính 18 dặm, cung AmB có số đo 245°.
NĂM HỌC: 2024 - 2025
a) Hãy tính diện tích vùng biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ hải đăng theo đơn vị kilômét vuông (lấy 1 dặm = 1 600 m, = 3,14 và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
b) Giả sử một con thuyền di chuyển dọc theo dây cung có độ dài 28 dặm của đường tròn với tâm là tâm của hình quạt tròn, bán kính là 18 dặm. Tính khoảng cách nhỏ nhất từ con thuyền đến hải đăng (theo đơn vị dặm và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Bài 36. Cho đường tròn (O; 5 cm).
a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dây AB bằng 2,5 cm.
b) Tính độ dài của dây AB trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm).
c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB.
d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB.
Bài 37. Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A (khác B và C).
a) Chứng minh rằng nếu A nằm trên (O) thì ABC là một tam giác vuông; ngược lại, nếu ABC là tam giác vuông tại A thì A nằm trên (O).
b) Giả sử A là một trong hai giao điểm của đường tròn (B; BC) với đường tròn (O). Tính các góc của tam giác ABC.
c) Với cùng giả thiết câu b, tính độ dài cung AC và diện tích hình quạt nằm trong (O) giới hạn bởi các bán kính OA và DC, biết rằng BC = 6 cm.
Bài 38. Cho AB là một dây bất kì (không phải là đường kính) của đường tròn (O; 4 cm). Gọi C và D lần lượt là các điểm đối xứng với A và B qua tâm O.
a) Hai điểm C và D có nằm trên đường tròn (O) không? Vì sao?
b) Biết rằng ABCD là một hình vuông. Tính độ dài cung lớn AB và diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính OA và OB.
3. Hình vành khuyên
Bài 39. Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 9 cm) và (o; 12 cm) Bài 40. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi hai đường tròn (O; 9 và (O; 12 cm)
Bài 41. Tính diện tích của hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3 m và 5 m.
ĐS: 16π (m2).
Bài 42. Tính diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 6 cm và 4 cm.
Bài 43. Tính diện tích của hình vành khuyên, biết hình vành khuyên đó giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có bán kính lần lượt là 2,5 cm; 2 cm.
Bài 44. Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính lần lượt là 5 cm và 3 cm.
Bài 45. Ta gọi hình giới hạn bởi một cung nhỏ của một đường tròn và dây căng cung đó là hình viên phân. Lập công thức tính diện tích hình viên phân ứng với cung 90°, biết bán kính của đường tròn là R.
ĐS: 2 1
4 2 S =R −
NĂM HỌC: 2024 - 2025
Bài 46. Cho Hình vẽ.
a) Tính diện tích hình quạt tròn tâm O cung nhỏ AB.
b) Tính diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB (gọi là hình viên phân tâm O cung nhỏ AB). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười centimét vuông.
ĐS: a) 36π (cm2). b) 41,1 (cm2).
Bài 47. Tính diện tích hình viên phân bởi giây cung có độ dài là 55 cm và cung có số đo là 95o
Bài 48. Tính diện tích hình vành khuyên trong Hình vẽ bên.
ĐS: 132π (cm2).
Bài 49. Hình vẽ mô tả mặt cắt của một chiếc đèn led có dạng hai hình vành khuyên màu trắng với bán kính các đường tròn lần lượt là 15 cm, 18 cm, 21 cm, 24 cm. Tính diện tích hai hình vành khuyên đó.
Bài 50. Mặt đĩa CD ở Hình vẽ có dạng hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là 1,5 cm và 6 cm. Hình vành khuyên đó có diện tích bằng bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Bài 51. Tính chu vi đĩa sứ và diện tích phần viền tráng men xanh của đĩa sứ trong Hình vẽ.
950 55 m A
O
B
NĂM HỌC: 2024 - 2025
Bài 52. Hình vẽ mô tả mảnh vải có dạng một phần tư hình vành khuyên, trong đó hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có các bán kính lần lượt là 3 dm và 5 dm. Diện tích của mảnh vải đó bằng bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Bài 53. Hình vẽ dưới đây mô tả mặt cắt của một khúc gỗ có dạng một phần tư hình vành khuyên, trong đó hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có bán kính lần lượt là 4 dm và 3 dm. Diện tích mặt cắt đó là bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
ĐS: 5,5(dm2).
Bài 54. Trong Hình vẽ dưới đây, chiếc quạt có dạng một hình quạt tròn tâm O cung AB, bán kính OA = OB = 20 cm. Giấy được dán trong phần giới hạn bởi cung AB, cung CD, đoạn thẳng AC và BD với OC = OD = 10 cm. Biết khi mở rộng tối đa, hai nan quạt ngoài cùng tạo thành một góc AOB = 140°. Tính chu vi và diện tích mảnh giấy để dán một mặt quạt (diện tích mép dán không đáng kể).
NĂM HỌC: 2024 - 2025
Bài 55. Tính chu vi và diện tích phần được tô màu trong mỗi trường hợp ở Hình vẽ. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Bài 56. Trong Hình vẽ bên, bia bắn cung có dạng hình tròn bán kính 20 cm. Bia được chia thành năm phần bởi bốn đường tròn có bán kính lần lượt là 4 cm, 8 cm, 12 cm, 16 cm. Mỗi phần được sơn một màu khác nhau. Tính diện tích mỗi phần.
Bài 57. Một tấm bia tạo bởi năm đường tròn đồng tâm lần lượt có bán kính là 5 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm và 30 cm (Hình vẽ). Giả thiết rằng người chơi ném phi tiêu một cách ngẫu nhiên và luôn trúng bia. Tính xác suất ném trúng vòng 8 (hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ hai và thứ ba), biết rằng xác suất cần tìm bằng tỉ số giữa diện tích của hình vành khuyên tương ứng với diện tích của hình tròn lớn nhất.
Bài 58. Cho tam giác đều ABC có AB = 2 cawn 3 cm. Nửa đường tròn đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E (khác B và C) (Hình vẽ).
a) Chứng tỏ rằng ba cung nhỏ BD, DE và EC bằng nhau. Tính số đo mỗi cung ấy.
b) Tính diện tích của hình viên phân giới hạn bởi dây BD và cung nhỏ BD.
NĂM HỌC: 2024 - 2025
Bài 59. Hình viên phân là hình giới hạn bởi một cung tròn và dây cung (tương ứng) của đường tròn (minh hoạ bởi phần màu
xanh ở Hình 77).Người ta làm một hoạ tiết trang trí bằng cách ghép hai hình viên phân bằng nhau (Hình 78), mỗi hình viên phân đó có góc ở tâm tương ứng là 90° và bán kính đường tròn tương ứng là 2 dm (Hình 79). Tính diện tích của hoạ tiết
trang trí đó (theo đơn vị decimét vuông và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Bài 60. Quan sát các hình 83, 84, 85, 86.
a) Tính diện tích phần được tô màu trong mỗi hình đó.
b) Tính độ dài cung tròn được tô màu xanh ở mỗi hình 83, 84.
Bài 61. Logo ở Hình vẽ có dạng một hình quạt tròn bán kính 8 cm và góc ở tâm bằng 60°. Tính diện tích mỗi hình sau (theo đơn vị centimét vuông và làm tròn kết quả đến hàng phần mười):
a) Toàn bộ logo; b) Phần logo màu đỏ có dạng hình viên phân.
Bài 62. Hình vẽ mô tả mặt cắt của một khung gỗ có dạng ghép của năm hình: hai nửa đường tròn đường kớnh 2 cm; hai hỡnh chữ nhật kớch thước 2 cm ì 8 cm; một phần tư hỡnh vành khuyờn giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính lần lượt là 4 dm và 6 dm. Tính diện tích của mặt cắt của khung gỗ đó.
NĂM HỌC: 2024 - 2025
Bài 63. Khi đóng đáy thuyền cho những con thuyền vượt biển, người Vikings sử dụng hai loại nêm: nêm góc và nêm cong (lần lượt tô màu xanh, màu đỏ trong Hình 89). Mặt cắt ABCD của nêm góc có dạng hai tam giác vuông OAE, ODE bằng nhau với cạnh huyền chung và bỏ đi hình quạt tròn OBC (Hình 90), được làm từ những thân cây mọc thẳng. Mặt cắt MNPQ của nêm cong có dạng một phần của hình vành khuyên (Hình 91), được làm từ những thân cây cong. Kích thước của nêm cong được cho như ở Hình 91.
a) Diện tích của nêm cong là bao nhiêu centimét vuông (lấy 1 ft = 30 cm, 1 in = 2,54 cm, = 3,14 và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
b) Cần phải biết những kích thước nào của nêm góc để tính được diện tích của nêm đó?
Bài 64. Trong Hình vẽ dưới đây độ dài cạnh của các hình vuông lớn là 10 cm. Tính diện tích và chu vi của phần được tô màu.
Bài 65. Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn với MO = 2R, vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc (O) tại A và B. Viết công thức tính phần diện tích nằm ngoài đường tròn (O) của tứ giác MAOB theo R.
NĂM HỌC: 2024 - 2025
Bài 16. Vị trí tương đối giữa đường thằng và đường