Phần HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG HÌNH HỌC PHẲNG
Bài 16. Vị trí tương đối giữa đường thằng và đường tròn
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Bài 1. Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; 3 cm) thoả mãn OM = 5 cm. Đường thẳng MN đi qua M và tiếp xúc với đường tròn (O) tại N.
a) Tam giác OMN có phải là tam giác vuông hay không? Vì sao?
b) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Bài 2. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(2; 5). Xác định:
a) Vị trí tương đối của đường tròn tâm M, bán kính 3 với hai trục Ox và Oy;
b) Bán kính của đường tròn tâm M tiếp xúc với trục Ox.
Bài 3. Cho đường tròn (O; 12 cm) và điểm A cách O là 8 cm. Hãy xác định vị trí tương đối của (O) và đường thẳng d đi qua A vuông góc OA.
Bài 4. Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm trong (O) (OA < R). Vẽ đường thẳng a bất kì đi qua A. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O).
Bài 5. Bạn Thanh cắt 4 hình tròn bằng giấy có bán kính lần lượt là 4 cm, 6 cm, 7 cm và 8 cm để dán trang trí trên một mảnh giấy, trên đó có vẽ trước hai đường thẳng a và b. Biết rằng a và b là hai đường thẳng song song với nhau và cách nhau một khoảng 6 cm (nghĩa là mọi điểm trên đường thẳng b đều cách a một khoảng 6 cm). Hỏi nếu bạn Thanh dán sao cho tâm của cả 4 hình tròn đều nằm trên đường thẳng b thì hình nào đè lên đường thẳng a, hình nào không đè lên đường thẳng a?
Bài 6. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó B nằm giữa A và C. Đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng AB tại điểm C. Chứng minh AO2+BC2 = BO2+AC2.
Bài 7. Cho một hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng 6 cm và hai đường chéo cắt nhau tại I. Chứng minh rằng đường tròn (l; 3 cm) tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông.
Bài 8. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là điểm đối xứng với A qua O, N là điểm đối xứng với A qua O’.
a) Chứng minh rằng M (O), N (O’) và ba điểm M, B, N thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn đường kính AB.
Bài 9. Trong Hình 5.28, các cuộn thép được đặt chồng lên nhau. Đường kính của mỗi cuộn thép là 1,2 m. Gọi A, B, C lần lượt là tâm của mặt cắt các cuộn thép, H là tiếp điểm của hai cuộn thép phía dưới.
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều và tính độ dài AH.
b) Tính khoảng cách từ B và C đến mặt đất.
c) Tính chiều cao h của khối ba cuộn thép.
NĂM HỌC: 2024 - 2025
Bài 10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F (E và F khác A). Biết điểm A nằm trong đoạn EF. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AE và AF (H.5.46).
a) Chứng minh rằng tứ giác OO'KI là một hình thang vuông.
b) Chứng minh rằng IK = 1 2EF.
c) Khi d ở vị trí nào (d vẫn qua A) thì OOKI là một hình chữ nhật?
2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Bài 11. Trên mặt phẳng toạ độ, vẽ đường tròn tâm I(2; 3) đi qua gốc toạ của đường tròn tại O. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn tại O.
Bài 12. Biết AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B.
a) Tính bán kính r của đường tròn (O) b) Tính chiều dài cạnh OA của tam giác ABO Bài 13. Cho AB = 9, BC = 12, AC = 15 và BC là đường kính của (O). Chứng minh AB là tiếp tuyến
của (O).
Bài 14. Trong Hình vẽ bên dưới, đường thẳng BC là tiếp tuyến của đường tròn (A) tại C. Tính độ dài BC.
ĐS: BC = 12 (cm).
Bài 15. Trong Hình vẽ dưới đây, MN là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại N. Tính R.
2 4 r
r
C A
B
O
15 9 12 O
B
C
A
NĂM HỌC: 2024 - 2025
Bài 16. Một người quan sát đặt mắt ở vị trí A có độ cao cách mực nước biển là AB = 5 m. Cắt bề mặt Trái Đất bởi một mặt phẳng đi qua điểm A và tâm của Trái Đất thì phần chung giữa chúng là một đường tròn lớn tâm (như hình vẽ). Tầm quan sát tối đa từ vị trí A là đoạn thẳng AC, trong đó C là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A với đường tròn (O). Tính độ dài đoạn thẳng AC (theo đơn vị kilômét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười), biết bán kính Trái Đất là OB = OC 6 400 km.
Bài 17. Trong Hình vẽ dưới đây, mặt cắt của Trái Đất có thể xem là đường tròn tâm O bán kính R = 6 400 km. Từ điểm A nằm ở độ cao h so với mực nước biển, một người có thể thấy xa nhất đến điểm B trên (O) sao cho AB là tiếp tuyến (O). Khoảng cách AB khi đó được Ià nhìn xa từ điểm A. Tính AB nếu h = 20 m.
Bài 18. Biết chiều cao ngọn hải đăng cao 65 m so với mặt nước biển. Với khoảng cách bao nhiêu kilômét thì người quan sát trên thuyền trông thấy ngọn hải đăng này biết mắt người quan sát ở độ cao 5 m so với mặt nước biển
Bài 19. Trong Hình vẽ bên dưới, cạnh mỗi hình vuông trong lưới ô vuông có độ dài là 1 đơn vị.
Chứng minh rằng đường thẳng AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm B bán kính BA.
65 m
O 5 m H A
B
NĂM HỌC: 2024 - 2025
Bài 20. Cho tam giác ABC có AB=3; BC=4 và AC=5. Chứng minh rằng đường thẳng BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; 3).
Bài 21. Cho A là một điểm thuộc đường tròn (O), M là một điểm của (O) tại điểm A (M khác A).
Đường tròn tâm M bán kính MA cắt (O) tại B (B khác A). Chứng minh rằng MB là một tiếp tuyến của (O).
Bài 22. Cho AB là một dây không đi qua tâm của đường tròn (O). Đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của (C) ở điểm C. Chứng minh rằng CB là một tiếp tuyến của (O).
Bài 23. Cho đường tròn (C) đi qua ba đỉnh A, B và C của một tam giác cân tại A. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A và song song với BC là một tiếp tuyến của (C).
Bài 24. Cho đường tròn (O) và điểm lở ngoài đường tròn. Gọi M là giao điểm của đường tròn tâm K đường kính IO và đường tròn (O). Chứng minh đường thẳng IM là tiếp tuyến của (O) tại M.
Bài 25. Cho hai đường tròn (O), (O') cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho đường thẳng OA là tiếp tuyến của đường tròn (O'). Chứng minh đường thẳng O'B là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 26. Cho đường tròn (O) và dây AB. Điểm M nằm ngoài đường tròn (O) thoả mãn điểm B nằm trong góc MAO và 1
MAB= 2AOB . Chứng minh đường thẳng MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 27. Ròng rọc là một loại máy cơ đơn giản có rãnh và có thể quay quanh một trục, được sử dụng rộng rãi trong công việc nâng lên và hạ xuống vật nặng trong cuộc sống. Trong Hình 4la, có một sợi dây không dãn vắt qua ròng rọc. Giả sử ròng rọc được minh hoạ bởi đường tròn (O), sợi dây vắt qua ròng rọc được minh hoạ bởi cung MIN và hai tiếp tuyến Ma, Nb của đường tròn (O) (Hình 41b).
Chứng minh Ma || Nb.
Bài 28. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A và cùng tiếp xúc với đường thẳng d tại B và C (khác A), trong đó B = (O) và C = (O’). Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại M.
Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng MA tiếp xúc với (O’);
b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC từ đó suy ra ABC là tam giác vuông.
Bài 29. Hình vẽ cho thấy mặt cắt của hai ống nước nhựa được đặt sát nhau trên mặt đất. Ống nhỏ có đường kính 6 cm, ống lớn có đường kính 18 cm. Tính:
NĂM HỌC: 2024 - 2025
a) Khoảng cách AB giữa tâm của hai mặt cắt
b) Khoảng cách HK giữa hai tiếp điểm của mặt cắt hai ống với mặt đất.
3. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 30. MB, MC lần lượt là tiếp tuyến của (O) tại B, C, 𝐶𝑂𝐵̂ = 1300. Tính số đo 𝐶𝑀𝐵̂
Bài 31. Trong hình bên biết AB, AC lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C. Tính giá trị của x
Bài 32. Trong Hình vẽ dưới đây, hai điểm A, B thuộc đường tròn (O). Tính số đo góc AOB và độ dài BM.
ĐS: AOB = 130°; BM = AM = 6.
Bài 33. Trong Hình vẽ dưới đây, ZX và ZY là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O với tiếp điểm lần lượt là X và Y. Xác định Z số đo góc XOY và độ dài YZ.
Bài 34. Một chiếc gương có dạng hình tròn được treo bằng hai sợi dây không dãn, mỗi sợi dây đều tiếp xúc với gương (Hình vẽ). Biết tổng độ dài hai dây treo là 6 dm và góc giữa hai sợi dây là 60°.
Hỏi bán kính của chiếc gương là bao nhiêu decimét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
1300
B C
M O
3x + 8 7- 4x
C B
A O
NĂM HỌC: 2024 - 2025
ĐS: 1,73 (dm).
Bài 35. Trong Hình vẽ dưới đây, người ta dùng một đoạn dây gắn vào hai điểm A, B trên viền một chiếc gương tròn để treo gương vào điểm M. Biết tổng độ dài dây là 82 cm, góc AMB = 52° và MA MB tiếp xúc với viền gương. Tính đường kính của gương. Làm tròn kết quả đến đơn vị centimét.
Bài 36. Trong Hình vẽ, để tàu không trật bánh ray khi chuyển hướng từ đường ray thẳng XA sang đường ray thẳng YB, đoạn ray nổi được thiết kế là một phần của đường tròn (O) tiếp xúc với XA tại A và BY tại B. Biết góc chuyển hướng của tàu là AMB = 105° và khoảng cách giữa hai điểm A và B là 730 m. Tính bán kính của đường tròn (O). Làm tròn kết quả đến đơn vị mét.
Bài 37. Trong Hình 5.73, bốn cạnh của tứ giác ABCD tiếp xúc đường tròn (O). Chứng minh rằng AD+BC= AB + CD.
Bài 38. Cho tam giác ABC có (O) nằm trong tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC. Biết AM = 6 cm, BP = 3 cm, CE = 8 cm. Tính chu vi tam giác ABC.
NĂM HỌC: 2024 - 2025
Bài 39. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng c, d đi qua M lần lượt tiếp xúc với (O) tại A, B. Tia phân giác của góc MAB cắt MO tại I. Chứng minh điểm I cách đều ba đường thẳng MA, MB và AB.
Bài 40. Cho hai tiếp tuyến PA và PB của đường tròn (O; R) (A và B là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OP vuông góc với AB;
b) Tính PA và PB, biết R = 2 cm và PO = 4 cm.
Bài 41. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; 5 cm), MO = 13 cm, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm).
a) Tính độ dài MA, MB.
b) Cho C là điểm bất kì thuộc đường tròn (O) và nằm trong góc AOB. Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt MA tại N và cắt MB tại P. Tính chu vi của tam giác MNP.
Bài 42. Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng c, d qua M lần lượt tiếp xúc với (O) tai A, B. Biết góc AMB = 120°. Chứng minh AB = R.
Bài 43. Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox, điểm B trên cạnh Oy sao cho OA = OB. Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox cắt Ot tại P. Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (P; PA).
Bài 44. Cho tam giác vuông ABC (Â vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A'. Chứng minh rằng:
a) BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (C; CA).
b) CA và CA' là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (B; BA).
Bài 45. Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tuỳ ý trên cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F.
a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác SEF bằng SA + SB.
b) Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn (O). Chứng minh rằng SE = SF.
Bài 46. Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngoài đường tròn (O) sao cho MA và MB là hai tiếp tuyến (A, B là hai tiếp điểm) thỏa mãn 𝐴𝑀𝐵̂ = 600. Biết chu vi tam giác MAB là 18 cm, tính độ dài dây AB.
Bài 47. Cho hai đường tròn ngoài nhau (O; R) và (O’; R) với giả thiết R > R'. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O; R) tại A và tiếp xúc với (Ơ; R’) tại B sao cho O và O’ nằm cùng phía đối với d. Giả sử d cắt đường thẳng OO’ tại điểm P (Hình 5.39).
3 cm
8 cm
6 cm E
M
P O
B C
A
A B
O M
NĂM HỌC: 2024 - 2025
a) Chứng minh rằng
' ' PO R PO = R
b) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua OO’. Chứng minh rằng đường thẳng PA’ tiếp xúc với (O) và với (O’)
Bài 48. Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC = R. Gọi I là trung điểm dây AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. Chứng minh rằng:
a) 𝐴𝐶𝐵̂ có số đo bằng 900, từ đó ruy ra độ dài của BC theo R.
b) OM là tia phân giác của 𝐶𝑂𝐴̂ c) MC là tiếp tuyến của (O)
Bài 49. Cho đường tròn (O; 5 cm), điểm M nằm ngoài (O) sao cho hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là hai tiếp điểm) vuông góc với nhau tại M.
a) Tính độ dài MA và MB
b) Qua gao điểm I của đoạn thẳng MO và đường tròn (O), vẽ một tiếp tuyến cắt OA, OB lần lượt tại C, D. Tính độ dài của CD
Bài 50. Trên đường thẳng xy, lấy ba điểm A, B, C sao cho AB > BC. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính BC.
M I
C
A O B
D
C
I A
B
M O
NĂM HỌC: 2024 - 2025
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại B
b) Gọi H là trung điểm của AC. Vẽ dây DE của (O) vuông góc với AC tại H. Chứng minh tứ giác ADCE là hình thoi.
c) DC cắt đường tròn (O’) tại F. Chứng minh rằng ba điểm F, B, E thẳng hàng.
d) Chứng minh rằng HF là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
Bài 51. Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx’ tại A và tiếp tuyến yy' tại B của (O). Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại điểm P (P khác A và B) cắt xx’ tại M và cắt yy' tại N.
a) Chứng minh rằng MN = MA + NB.
b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB cắt NM tại Q. Chứng minh rằng Q là trung điểm của đoạn MN.
c) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.
Bài 52. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và các đường thẳng m, n, p lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại A, B, C (Hình vẽ). Chứng minh:
a) AD + BE DE; b) 1
COD=2COA và 1 COE= 2COB
c) Tam giác ODE vuông; d) OD OE. R
DE =