CHƯƠNG 2: CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA NGHIÊN CỨU
2.2 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH ĐẬP VềM
2.2.1 Các hàm chuyển vị
Giả thiết cơ bản của việc phân tích phần tử hữu hạn dựa theo chuyển vị đó là các chuyển vị trong toàn bộ hệ thống u có thể được biểu thị dưới dạng các hàm nội suy phần tử N và véc tơ của các chuyển vị nút U:
{ }u =[ ]N U{ } (2.3) Đặc tính quan trọng nhất của phương pháp này đó là các hàm nội suy được áp dụng một cách riêng rẽ cho mỗi phần từ, do vậy:
{ } [ ] { } , , ,...
i m
m m j
i j k
k
U
u N U N N N U
U
= =
(2.4)
trong đó m biểu thị rằng mỗi định lượng chỉ được tham chiếu đến phần tử “m”
Các hàm nội suy NRiR, NRjR, NRkR thỏa mãn các quan hệ sau đây:
( , , )
( , , ) ( , , ) 0
m
i i i i
m m
j j j j k k k k
N x y z I
N x y z N x y z
=
= = (2.5)
2.2.2 Biến dạng
Với các chuyển vị đã biết ở tất cả các điểm, ứng suất ở một điểm bất kỳ có thể được xác định bằng cách lấy đạo hàm của các chuyển vị giả định. Các ứng suất này trong ký hiệu ma trận được cho như sau:
{ }ε =[ ]B U{ } (2.6)
Đối với một bài toán 3 chiều, 6 thành phần ứng suất được xác định như sau (Timoshenko và Goodier, 1970)
{ }
x y z xy yz zx
u x v y w
z u v y x v w z y w u
x z ε
ε ε εγ
γ γ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= = ∂ +∂
∂ ∂
∂ ∂
+
∂ ∂
∂ ∂
+
∂ ∂
(2.7)
Ma trận hàm nội suy biến dạng của phần tử … có thể được xác định một cách dễ dàng bằng việc kết hợp Phương trình 2.4 và 2.7.
2.2.3 Ứng suất
Các ứng suất trong một phần tử hữu hạn được liên hệ với các giá trị biến dạng của phần tử bằng cách sử dụng định luật về cấu trúc vật liệu và được cho bởi:
{ }σ =[ ]D { } { }ε + σ0 (2.8)
trong đó [D] = ma trận đàn hồi
σR0R= các ứng suất ban đầu của phần tử
Định luật về vật liệu được trình bày trong … cho mỗi phần tử có thể là tùy ý. Tuy nhiên, các tính chất đẳng hướng của vật liệu được sử dụng trong hầu hết các trường
hợp, hoặc các đặc tính trực hướng của vật liệu được áp dụng cho các trường hợp đặc biệt (Malvern 1969).
2.2.4 Tải trọng
Các tải trọng bên ngoài tác dụng lên một khối 3 chiều nói chung là sức căng bề mặt, lực khối (lực thể tích) và các lực tập trung. Nhìn chung các lực này bao gồm 3 thành phần tương ứng với 3 trục tọa độ:
{ }
B x
B B
y B z
f
f f
f
=
; { }
S x
S S
y S z
f
f f
f
=
;{ }
i x
i i
y i z
F
F F
F
=
(2.9) 2.2.5 Độ cứng của phần tử
Phương pháp đơn giản nhất để xác định ma trận độ cứng cho một phần tử hữu hạn đó là sử dụng nguyên lý chuyển vị ảo (Zienkiewicz 1971, Bathe và Wilson 1976). Nguyên lý này phát biểu rằng sự cân bằng của một khối đòi hỏi rằng với bất kỳ chuyển vị ảo nhỏ nào tương thích về mặt động học được đặt lên khối này, tổng công ảo bên trong sẽ bằng tổng công ảo bên ngoài, do vậy:
T T B S S T t
V V S t
ε σdV= U f dV+ U f dS+ U F∑
∫ ∫ ∫ (2.10) Vế trái của phương trình 2.10 tương ứng với công nội. Thay các Phương trình 2.6 và 2.8 trong vế trái của Phương trình 2.10, có thể xác định được ma trận độ cứng của phần tử hữu hạn được biểu thị dưới dạng các bậc tự do của nút phần tử như sau:
[ ] [ ] [ ][ ]
m
m T m m
V
k = B D B dV
∫ (2.11)
Về phải của Phương trình 2.10 sẽ bằng công được thực hiện bởi các lực phần tử thực tế qua các chuyển vị ảo và sẽ dẫn đến các lực nút tương đương.
2.2.6 Các phương trình cân bằng
Công ảo trong phương trình 2.10 có thể được áp dụng một cách dễ dàng cho toàn bộ kết cấu, được coi gần đúng là kết quả của việc ghép các phần tử hữu hạn rời rạc.
Điều này có thể được thực hiện bằng việc viết lại phương trình 2.10 dưới dạng tổng của các tích phân theo thể tích và diện tích của tất cả các phần tử hữu hạn và giả
thiết rằng các chuyển vị bên trong mỗi phần tử có thể được biểu thị dưới dạng các chuyển vị nút của toàn bộ kết cấu, hay:
m m m
T T B S S iT i
m V m V m S i
dV U f dV U f ds U F
ε σ
= + +
∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ (2.12)
trong đó: m =1, 2,..., N
N = số các phần tử hữu hạn
Một đặc tính quan trọng cần phải chú ý đó là các tích phân được tính toán riêng rẽ cho mỗi phần từ, và do vậy các tọa độ phần tử cục bộ có thể được sử dụng. Thay các giá trị chuyển vị, biến dạng và ứng suất của phần tử vào Phương trình 2.12, ta được:
[ ] [ ][ ] [ ] { }
m m
m m
T T
T T B
m V m V
U ∑ ∫ B D B dV U =U ∑ ∫ N f dV
+ { }
m
T m
T S S
m S
U ∑ ∫ N f dS (2.13)
- [ ]
m
T m
T i
m V
U B σ dV
∑ ∫
+U FT
trong đó F bây giờ là một véc tơ của các lực nút được đặt ở các điểm nút của kết cấu ghép. Bằng việc áp dụng các chuyển vị ảo đơn vị …, các phương trình cân bằng tĩnh quen thuộc của sự ghép phần tử có thể được xác định như sau:
ku = p (2.14) trong đó:
p = pRB R+ pRS R- pRl R- pRcR (2.15) Ma trận k là độ cứng của kết cấu hoàn chỉnh và bằng với vế trái của phương trình 2.13. Véc tơ tải trọng p bao gồm các tác động của lực khối (lực thể tích), sức căng bề mặt, ứng suất ban đầu và các lực tập trung.
Ngoài ra, các lực quán tính và lực giảm chấn của phần tử có thể được bao hàm như một phần của các lực khối (lực thể tích) để biểu thị động thái mang tính động lực của hệ thống. Xấp xỉ các giá trị gia tốc và vận tốc của phần tử với cùng các hàm
nội suy như trong phương trình 2.4, ta có:
[ ]T { }B m
pB =∑∫ N f −ρNu−λNu dV (2.16) trong đó u and u = các véc tơ của vận tốc và gia tốc nút;
ρ = tỷ trọng thể tích;
λ = tham số giảm chấn của phần tử m.
Do vậy, các phương trình cân bằng của toàn bộ kết cấu cho một trường hợp động lực được cho bởi:
mu + cu + ku = p (2.17) trong đó m – ma trận khối lượng của kết cấu
c – ma trận giảm chấn của kết cấu k – ma trận độ cứng của kết cấu u – vector chuyển vị của nút phần tử p – vector tải trọng
Tuy nhiên, trong thực tế, các tham số giảm chấn không được xác định cho riêng từng các phần tử. Thay vì đó, ma trận c được tính xấp xỉ bằng việc sử dụng các ma trận khối (ma trận thể tích) và ma trận độ cứng của kết cấu hoàn chỉnhP[14]P.
2.3 LƯỚI PHẦN TỬ HỮU HẠN TỰ THÍCH ỨNG TRONG PHÂN TÍCH