LƯỚI PHẦN TỬ HỮU HẠN TỰ THÍCH ỨNG TRONG PHÂN TÍCH ỨNG SU ẤT ĐẬP VềM

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA NGHIÊN CỨU

2.3 LƯỚI PHẦN TỬ HỮU HẠN TỰ THÍCH ỨNG TRONG PHÂN TÍCH ỨNG SU ẤT ĐẬP VềM

Những năm đầu của thập niên 60 phương pháp PTHH được ra đời cùng với sự phát triển nhanh chóng của máy tính, đồng thời từng bước phát triển trở thành phương pháp số phổ biến nhất ứng dụng trong công trình. Phương pháp PTHH và bất kể phương pháp số nào khác cũng giống nhau đều tồn tại vấn đề tính hiệu quả và tính tin cậy của phương pháp tính toán. Nghiên cứu hiệu suất phân tích và tính tin cậy của kết quả phân tích PTHH luôn đi đôi với phát triển của phương pháp PTHH. Khả năng sai số của kết quả phân tích PTHH đến từ các khâu của quá trình phân tích. Trong đó một nguồn sai số chủ yếu là phân tán của mô hình. Ảnh hưởng của chất lượng phân chia mạng lưới PTHH có tính quyết định đối với độ chính xác của kết quả phân tích. Trong phân tích PTHH thời kỳ đầu, người phân tích thông

thường căn cứ vào kinh nghiệm, trực giác thậm chí suy đoán tiến hành phân chia mạng lưới. Sau đó dựa vào trực quan hoặc phán đoán đơn giản xem kết quả có hợp lý hay không. Nếu không hợp lý tiến hành thiết kế lại mạng lưới mới. Hiệu suất phân tích và tính tin cậy của nó khá thấp, còn phương pháp PTHH tự thích ứng đánh giá sai số hiệu quả là do máy tính căn cứ thông tin sai số thu được quyết định giải độ chính xác có đủ hay không. Nếu sai số quá lớn, máy tính có khả năng tiến một bước tự động tiến hành cải tiến mạng lưới thoả mãn yêu cầu độ chính xác. Vì vậy nguyên tắc trên chỉ cần định nghĩa một loại vấn đề miêu tả đặc tính hình học mạng lưới ban đầu với khả năng tiếp thu trình độ sai số, máy tính có khả năng tự động sản sinh thực hiện mạng lưới trình độ hữu hiệu này. Nổi bật đã nâng cao hiệu suất phân tích và tính tin cậy của kết quả.

Lý luận tự thích ứng đã được Babuska và Rheinboldt (1978) đưa vào tính toán PTHH bắt đầu từ thập niên 70 của thế kỷ 20, tư tưởng chủ đạo là giảm nhỏ lượng công việc tiền xử lý và thực hiện khống chế khách quan phân tán mạng lưới. Dưới sự nỗ lực của tác giả Zienkiewicz đã cơ bản thiết lập được cơ học đàn hồi thông thường (Zienkiewicz và Zhu, 1991), cơ học động chất lỏng (Probert, Hassan, Morgan, Peraire, 1991), kim loại thành hình (Zienkiewicz, Liu và Huang, 1988), phân tích thấm hệ thống phân tích tự thích ứng miền phẳng (Rank và Werner, 1986;

Chung và Kikuchi, 1987; Burkley và Bruch, 1991; Chen, 1996), do tính chất vật liệu và điều kiện thi công phức tạp, hiện nay nghiên cứu lý luận phân tích PTHH tự thích ứng tính đàn dẻo và phần mềm đối với kết cấu thủy công và kết cấu công trình đất mới chỉ ở giai đoạn sơ cấp (Chen Sheng-hong, Wang Jin-song, Zhang Jun-lu, 1996).

Hiện nay phương pháp PTHH tự thích ứng trong ứng dụng có mấy loại dưới đây:

Mô hình h (hình 2.4a). Phương pháp này thông qua giảm nhỏ kích thước phần tử để nâng cao độ chính xác giải PTHH; Mô hình p (hình 2.4b). Phương pháp này thông qua gia tăng cấp bậc hàm số cơ bản để nâng cao độ chính xác giải PTHH; Mô hình r (hình 2.4c). Phương pháp này thông qua cải biến hình dáng phần tử giảm nhỏ sai số phân tán để nâng cao độ chính xác giải PTHH; Mô hình tổ hợp. Phương pháp này là

phương pháp tổ hợp hai trong ba phương pháp trên.

a/ Phương pháp h b/ Phương pháp p c/ Phương pháp r Hình 2.4: Ba phương pháp thay đổi mạng lưới phần tử liên tục 2.3.1 Phương pháp h – thay đổi kích thước phần tử (h – enrichment):

Lý luận phương pháp tự thích ứng mô hình h là khá phổ biến, ưu điểm của nó là phần mềm phân tích PTHH cơ bản không thay đổi nhằm duy trì tính độc lập, tính tự thích ứng của phương pháp khá mạnh, tính linh hoạt của chương trình khá tốt, nhưng nhược điểm là dựa vào một bộ phận sinh thành mạng lưới lớn mạnh, bộ phận sinh thành mạng lưới lớn mạnh này yêu cầu có khả năng thích ứng các phạm vi phức tạp, tính năng trạng thái của mạng lưới cần tốt, đối với ứng dụng của phương pháp mô hình h này đã đề xuất yêu cầu khá cao. Đồng thời tốc độ hội tụ của nó khá chậm, độ chính xác tương đối thấp, đối với vấn đề điểm kỳ dị hiệu quả khá kém.

Quá trình cơ bản của tính toán PTHH mô hình h là: đầu tiên định nghĩa tham số tạo hình hình học kết cấu cùng với tham số vật liệu và điều kiện biên, tiếp theo tạo mạng lưới nền tảng ban đầu (Background Mesh), mạng lưới nền tảng này đồng thời cũng được coi như là mạng lưới trước mắt tiến hành phân tích PTHH, dùng kết quả tính toán PTHH tiến hành đánh giá độ chính xác phân tán mạng lưới, nếu độ chính xác thoả mãn yêu cầu thì kết thúc tính toán, nếu không tính toán tiếp một vòng trường thước đo mạng lưới ưu hoá. Dựa vào trường thước đo này hình thành mạng lưới mới, mạng lưới trước mắt trước kia trở về thành mạng lưới nền tảng, mà mạng lưới mới sản sinh tạo thành mạng lưới trước mắt cung cấp sử dụng phân tích phần tử hữu hạn. Quá trình ở trên được tiến hành lặp lại, đến khi mạng lưới thoả mãn độ chính xác dự định là dừng.

Đối với vấn đề tính đàn hồi, Zienkiewicz và Zhu đã đề xuất một phương pháp đánh giá sai số phân tán (Zienkiewicz và Zhu, 1991), khái niệm vật lý phương pháp này rừ ràng mà cũn đơn giản hiệu quả. Nhưng do sản sinh biến hỡnh tớnh đàn dẻo, quan hệ đơn giản giữa chuyển vị với ứng biến năng đã không tồn tại, vì thế Chen

Sheng-hong kiến nghị theo phương pháp như dưới đây để đánh giá sai số phân tán mạng lưới đồng thời cũng đề xuất đánh giá thước đo mạng lưới.

Khi tính toán dưới mạng lưới trước mắt (thước đo là h) vấn đề tính dẻo dính đàn hồi bước tự thích ứng thu được trường chuyển vị {u}PhP, trường ứng biến {ε}PhP và trường nhiễu động ứng suất {σ}PhP, trong đó {u}PhP do giá trị chuyển vị điểm nút { }u

thêm vào mà thành.

{ }u h =[ ]N{ }u (2.17)

Ghi nhớ giải chính xác của vấn đề là {u}, {ε}, {σ} thì véc tơ sai số là:

{ } { } { } { } { } { } { } { } { } 



 σ

− σ

= ε

ε

− ε

=

−

=

σ ε

h h h

e

u u e

(2.18) Ba loại sai số ở trên có liên quan tương hỗ với nhau, nhưng lại không hiển thị liên hệ công thức trong lý luận tính đàn hồi. Để tiến hành thống nhất độ lượng đối với sai số, định nghĩa phạm vi năng lượng sai số là:

{ } { }

2 / 1

T e d

e

e 









 Ω

= ∫

Ω

ε

σ (2.19)

Sau khi thước đo mạng lưới hướng vô vùng nhỏ, giải PTHH hướng gần giải chính xác, e, eRσR với eRεRđều hướng 0, từ đó mà phạm vi sai số e cũng hướng 0. Tiến hành tích phân công thức (3) đối với miền tính toán tổng thể, nếu tích phân chỉ tiến hành đối với phần tử i nào đó thì viết là ei , hiển nhiên có:

∑=

= e

N

1 i

2 i

2 e

e (2.20)

trong đó: NReR là tổng số phần tử

Đã chứng minh phạm vi sai số năng lượng là bậc vi lượng l của thước đo mạng lưới h (Zienkiewicz và Zhu, 1991), tức là:

( ) ( ) 

 λ

=

= , p min l

h 0

e l

(2.21)

trong đó: p là số bậc của hàm số; λ là cường độ của điểm kỳ dị, λ < 1.

Để thu được độ lượng sai số tương đối của vô lượng chủ yếu, chúng tôi định nghĩa phạm vi tổng năng lượng của giải chính xác là:

{ } { }

2 / 1

T d

u 









 σ ε Ω

= ∫

Ω

(2.22)

Khi sai số tương đối nhỏ hơn sai số chỉ định eRtR, tức là:

et

u

e ≤ (2.23)

thì cho rằng độ chính xác mạng lưới là hợp lý, trái lại cần tiến hành cải sửa ưu hoá đối với mạng lưới, eRtRdo xác định tính trọng yếu của đối tượng tính toán.

Nếu chúng tôi yêu cầu sau khi ưu hoá mạng lưới, sai số e phân bố đều trong các phần tử, tức là:

e 2 2

i N

e = e i = 1, 2, ...,NReR (2.24)

Lấy công thức (2.23) thay vào công thức (2.24) ta được:

e i

i e u / N

e ≤ i = 1, 2, ...,NReR (2.25)

Định nghĩa tham số ξRiR là:

(e u )

/ e Ne i t

i=

ξ i = 1, 2, ...,NReR (2.26)

Đối với phần tử i, nếu ξRiR = 1, thì mạng lưới đã tối ưu, kết thúc tính toán tự thích ứng; ngược lại thước đo phần tử mới hnewi tính toán theo công thức dưới đây:

l / 1 i old i new

i h /

h = ξ i = 1, 2, ...,NReR (2.27)

Do trên thực tế {ε} với {σ} giải chính xác không khả thi, cho nên cần theo phương pháp hình chiếu khôi phục ứng suất do Zienkiewicz đề xuất, yêu cầu giải suy đoán tốt nhất của giải chính xác {εP*P} với {σP*P}, để thay thế {ε} và {σ} giải chính xác trong công thức (2.18) và công thức (2.21) tiến hành tính toán phạm vi sai số (Zienkiewicz và Zhu, 1991).

2.3.2 Phương pháp p – thay đổi cấp bậc hàm số phần tử (p – refinement):

Phương pháp phần tử hữu hạn tự thích ứng mô hình p là do chuyển vị cân đối ban đầu thông thường kết hợp số lượng độ tự do phụ tăng lên từng bước mà cấu

thành, các độ tự do phụ này lấy từng cấp luỹ thừa tăng dần nhiều hạng thức hàm số mà không vi phạm điều kiện liên tục chuyển vị để tạo thành hàm số cơ bản. Căn cứ định lý Weierstrass, bất luận một hàm số liên tục trong không gian hữu hạn đều có thể dùng nhiều hạng thức đại số cao cấp đủ tiếp cận đến mức độ chính xác bất kỳ.

Vì vậy chỉ cần trong mỗi một phần tử đều không tồn tại tính không liên tục bất luận nguyên nhân nào dẫn đến, tính hội tụ của phương pháp PTHH mô hình p lúc nào cũng có thể bảo đảm. Petruska chỉ ra đối với vấn đề tính liên tục CRoR tức là chỉ yêu cầu vấn đề chuyển vị liên tục bản thân, không quản hàm số gần giống liên tục khả vi hay không, chỉ cần tính hội tụ h tồn tại thì tính hội tụ p cũng nhất định tồn tại. Sắp đặt độ tự do trong phương pháp PTHH tự thích ứng mô hình p ở trên, làm cho độ tự do của phần tử có thứ bậc bậc thấp là một tập con của độ tự do phần tử có thứ bậc bậc cao. Cho nên ma trận độ cứng của nó cùng với véc tơ tải trọng là ma trận con của ma trận tương ứng phần tử có thứ bậc bậc cao của cùng một vấn đề. Như vậy trong quá trình tăng bậc, chỉ cần trên nền tảng phương trình ma trận đã có mở rộng thêm hàng và cột mới, tức là có thể được phương trình ma trận mới. Ngoài ra vẫn có thể lợi dụng đầy đủ kết quả tính toán nguyên có làm điểm xuất phát, quá trình thay thế dẫn đến giải phương trình ma trận mới.

Giữa thập niên 70 của thế kỷ 20, Đại học Washington đã biên chế một chương trình phương pháp PTHH mô hình p tính thí nghiệm COMET-X, đặc điểm nổi bật của chương trình này là đã lợi dụng phần tử có thứ bậc (Hierarchical Elements).

Khái niệm phần tử có thứ bậc do Zienkiewicz đề xuất năm 1970 (Zienkiewicz, Irons, Scott, Cambell, 1970), sau đó lại tiến một bước trình bày chi tiết (Zienkiewicz, De, Gago, Kelly, 1983). Theo sau, trình bày và phân tích sơ bộ hội tụ p với tính chất tương quan của nó xem trong tài liệu tham khảo. Năm 1981, Babuska đầu tiên đã làm có hệ thống phân tích lý luận PTHH mô hình p (Babuska, Szabo và Katzs, 1981), chỉ ra kết quả thu được phương pháp PTHH mô hình p không kém hơn so với kết quả thu được phương pháp PTHH mô hình h khi số độ tự do tương đồng, còn đối với vấn đề điểm kỳ dị, tốc độ hội tụ của phương pháp PTHH mô hình p nhanh hơn ít nhất hai lần phương pháp PTHH mô hình h với phần tử đều chuẩn.

Năm 1985, chương trình thương mại PTHH mô hình p lần đầu đầu tiên ra đời PROBE ở công ty Noetic; năm thứ hai lại đưa ra bản thứ hai. Nhưng chương trình PROBE hiện thời chỉ có khả năng tính toán vấn đề đàn hồi tuyến tính hai chiều.

Chương trình PTHH ba chiều FIESTA của Italia cũng có vài đặc điểm nào đó của phương pháp PTHH mô hình p. Chương trình ở trên đều không có đặc điểm của tự thích ứng. Năm 1993, Zhu De-zhao lấy hình thức đóng kín đã kết xuất hàm số cơ bản phần tử có thứ bậc một chiều và hiển thị cách thức biểu thị thức tích phân, đã giải quyết vấn đề tích luỹ trị số sai số trong phân tích một chiều, đồng thời lấy phương pháp PTHH mô hình p ứng dụng phân tích chấn động. Năm 1994, Hinnant đã đề xuất phương pháp véc tơ tích phân đối với phương pháp PTHH mô hình p, đã giảm nhỏ rất nhiều thời gian tính toán trị số tích phân trong phương pháp PTHH mô hình p. 10 năm gần đây, rất nhiều học giả đã nghiên cứu khá sâu phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính trong phương pháp PTHH mô hình p, đã đề xuất nhiều loại phương pháp giải (Morris, Tsuji và Carnevali, 1992; Manolis Papadrakakis và Babilis, 1994; Chen Xin-du, Yu jun, Zhou ji, 1997). Hiện nay nghiên cứu đối với phương pháp PTHH mô hình p (lại gọi là phương pháp PTHH có thứ bậc) chủ yếu là đối với vấn đề hai chiều, mà thiên về phân tích lý luận, đối với lý luận thực hiện như thế nào quá trình cụ thể tính toán công trình thì khá ít. Phương pháp mô hình p rất thích hợp xử lý như là vấn đề tập trung ứng suất đoạn cuối vết nứt, nhưng kết cấu phần mềm phân tích phần tử hữu hạn phức tạp.

2.3.3 Phương pháp r – thay đổi vị trí điểm nút mạng lưới phần tử (phương pháp điểm nút di động):

Phương pháp này không thay đổi số lượng phần tử cũng như loại hình phần tử, cho nên số độ tự do phần tử không thay đổi, thông qua cải biến hình dáng phần tử giảm nhỏ sai số phân tán. Phương pháp này do Miller đề xuất.

2.3.4 Phương pháp tổ hợp:

Ví dụ như phương pháp h – p, phương pháp r – p….Phương pháp h – p là đồng thời tiến hành gia tăng mật độ mạng lưới và gia tăng cấp bậc hàm số thêm vào để nâng cao độ chính xác tính toán. Phương pháp tự thích ứng h – p là loại phương

pháp tiên tiến nhất, nó có khả năng cung cấp tốc độ hội tụ theo luỹ thừa,mô phỏng thật máy tính và phân tích vấn đề công trình thực tế này rất có ý nghĩa, song phương pháp này cũng là phương pháp khó nhất trong ứng dụng, có rất nhiều vấn đề đang trong quá trình nghiên cứuP[6]P.