Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số

Chương II Bán kinh ổn định của hệ phương trình vi phân đại số

2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số

Xét phương trình trong đó

Ax '(t) - Bx(t) 0 (2.1.1)

x  m , A,

B K m m ,(K  hoặc  ) , det A = 0, cặp ( A, B) là chính quy chỉ

số k ≥ 1. Ta biết rằng khi đó, tồn tại các ma trận W, T, khả nghịch, sao cho A W Ir

0

0 T -1; B W B1

U 0

0

Im-r T -1, (2.1.2)

s s r r

ở đây. Is là ma trận đơn vị trong K dạng

U = diag(J1, J2,..., Jl) với

0 1 ... 0

, B1 K , U là ma trận k- luỹ linh có

J 0 ... 0

i . . ... 1 0 0 ... 0

R pi pi , i 1, 2,...l.

(2.1.3)

sao cho max pi k , l pi m - r. Nhân hai vế (2.1.1) với W -1 ta được

1 i l

i 1

y ' t B1 y t 0, (2.1.4)

Uz ' t z t 0, (2.1.5)

trong đó T 1x t y t

, y t

z t K r , z

t K m r .

Vì U là k- luỹ linh nên (2.1.5) có nghiệm duy nhất z(t) = 0 do đó, hệ trên trở thành y ' t - B1 y t 0,

z t 0, trong đó y t K r , z

t

K m r .

Định nghĩa 2.1.1. Nghiệm tầm thường

x 0 của (2.1.1) được gọi là ổn định

tiệm cận mũ nếu có một phép chiếu P L K m và các hằng số dương , c sao cho bài toán giá trị ban đầu (IVP):

Ax ' t Bx ' t 0 P x 0 x0 0 có nghiệm x t duy nhất, thoả mãn

x t c Px0 e t , t 0.

Nếu ind (A, B) =1 ta chọn P = Im – Q, trong đó Q là phép chiếu lên KerA dọc theo S z  : Bz ImA .

Ký hiệu A, B là phổ của cặp {A,B}, nghĩa là

A, B là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình det A B 0.

Trường hợp A = Im,ta viết B thay cho Im , B .

Ta biết rằng, hệ (2.1.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọ i giá

trị riêng hữu hạn của cặp {A, B} nằm hoàn to àn trong nửa mặt phẳng phức trái

1



(xem[9]). Nếu mọi s ta có

A, B = thì (2.1.1) có duy nhất nghiệm x 0 vì khi đó với

det sA B detW.det sIr B1 det sU Im r det T 1 0.

Như vậy, ta phải có r = 0 tức là phương trình (2.1.4) không có trong hệ. Vì vậy, (2.1.1) tương đương (2.1.5) và chỉ có nghiệm x = 0. Trong trường hợp này, ta quy ước (2.1.1) là ổn định tiệm cận với P = 0, Q = Im.

Bán kính ổn định phức với nhiễm cấu trúc

Như trong trường hợp phương trình vi phân thường, ta cố định cặp ma trận ổn định tiệm cận {A,B}. G iả sử

E

có nhiễu:

K m p ;

F K q mcố định, ta xét hệ

Ax' t

trong đó

B E F x t 0, (2.1.6)

K p q . Ma trận E F được gọi là ma trận nhiễu cấu trúc.

Kí hiệu: V K K p q sao cho hệ (2.1.6) là không chính quy hoặc không ổn định tiệm cận}.

Nghĩa là, V K là tập các nhiếu “xấu”.

Kí hiệu dK inf : VK , trong đó . là một chuẩn ma trận tương thích với chuẩn vectơ, thông thường chuẩn Euclide được sử dụng. Ta gọi dK là bán kính ổn định có cấu trúc của bộ bốn ma trận {A , B, E , F}

Nếu K  ta gọi d là bán kính ổn định phức, còn nếu K  ta gọi d là bán kính ổn định thực.

Tương tự như phương trình vi phân thường, ta đặt G s F sA B E và ta sẽ chứng minh rằng d

1

sup G s

 s 

Trước hết, ta chứng minh d

1

sup G s



s 

V

1

Lấy (i) Cặp

bất kỳ, khi đó xảy ra hai trường hợp :



A, B E F là chính quy. Ta lấy tuỳ ý một giá trị s A, B E F , sao cho Res ≥ 0. Giả sử rằng x 0 là một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng s, tức là sA B E F x 0.

Điều này tương đương với x sA B E Fx , từ đó ta suy ra Fx F sA B E Fx G s Fx.1

Vì vậy,

1

G s 1 sup G s , V

s  

Do đó, d

1

sup G s

 s 

(ii) Cặp A, B E F là không chính quy, khi đó s  ta có det sA B E F 0, tức là đa thức det sA B E F 0, s , do đó với mọi s  luôn tồn tại vectơ x 0 sao cho

sAx B E F x 0.

Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh được d

1

sup G s .

 s 

Bây giờ, ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại d

1

sup G s

Với mỗi >0, ta tìm giá trị

1

 s 

s0  sao cho

1

G s0 sup G s

s 

0 0 0



0



V

Khi đó tồn tại u  p : u 1 và G s0 u G s0 . Theo một hệ quả của định lý Hahn-Banach, tồn tại một phiếm hàm tuyến

tính y* xác định trên

 q : y* 1 và y*G s u G s u G s .

Đặt G s0 1 uy* p q . Rừ ràng,

G s0 u G s0 1uy*G s u G s0 1u. G s0 u

Vì vậy, G s0 1. Mặt khác, từ G s0 1 uy* ta có G s0 1u . Kết hợp hai bất đẳng thức ta có G s0 1. Hơn nữa, từ G s0 u u ta nhận được E G s0 u Eu 0. Đặt x s0 A B Eu , khi đó1 s0 A B x Eu . Vậy E Fx s0 A B x , hay là s0 A B E F x 0. Điều đó có nghĩa là, s0

Do đó, hệ

A, B E F , hoặc cặp A, B E F không chính quy.

Ax '(t) - B E F x(t) 0 không ổn đ ịnh tiệm cận hoặc không chính quy.

Nghĩa là, .

1 1

Mặt khác, ta có, d G s0 sup G s .

s 

Vì là bé tuý ý, nên d

1

sup G s .

 s 

Do đó, d

1

sup G s .

 s 

Để ý rằng, hàm G s là hàm giải tích trên nửa mặt phẳng  . Do đó theo nguyên lý cực đại, G s đạt cực đại tại s hoặc trên biên i .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái

Nguyên tth p ://ww w .l r c - t nu . e d u . v n

20

0



. Vậy, d

1

sup G s .

s i

Sau đây, ta sẽ thấy rằng, nếu s0  sao cho G s0 sup G s thì

s 

1 1

d G s0 max G s ,

s 

1 1

và ma trận F s A B E uy*, sẽ là ma trận “xấu” với d .

Trường hợp hàm G s không đạt được giá trị lớn nhất tại một đ iểm hữu hạn s thì lập luận trên không cho phép ta tìm được ma trận “xấu” sao cho dnhư trong bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân thường (ngay cả khi chúng ta lấy giới hạn khi s ). Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng, nếu

G s không đạt được giá trị lớn nhất trên  thì không có một ma trận nào thoả mãn đ iều kiện d

định tiệm cận.

và hệ Ax '(t) - B E F x(t) 0 là không ổn

Lấy s0

Thật vậy, giả sử ngược lại, có một ma trận như thế.

A, B E F  và x là vectơ riêng của nó, nghĩa là, s0 Ax B E F x 0. Lập luận như trên ta thấy

1 1

G s0 sup G s0 d

s 

Điều này là mâu thuẫn.

Hơn nữa, giả sử sn  sao cho sn và lim G sn sup

s i G s . Giả sử n tương ứng với sn được xây dựng như trên, khi đó hệ

Ax '- B E 0 F x = 0 là ổn định. (Để ý rằng, chúng ta luôn có thể giả sử tồn

n n

1

1

i



tại lim

n 0 , vì nếu không, ta sẽ lấy một dãy con của dãy bị chặn

k

n sao cho limn

k n k 0. )

Vì tập hợp các ma trận sao cho cặp A, B E F có chỉ số 1 là mở nên ta suy ra chỉ số của A, B E 0 F phải lớn hơn 1.

Bây giờ, ta xét một trường hợp đặc biệt, trong đó E F Im (nhiễu không cấu trúc). Như đã thấy, bán kính ổn định với nhiễu không cấu trúc là

d  sup G s

s i

1

, trong đó G s sA B 1 . Ta chứng minh rằng, nếu

không bị chặn trên i . Thật vậy,

ind A, B k 1, thì ma trận hàm G(s) là

G s sA B 1 T sIr 0 0 sU

B1 0 0 Im r

1

W-1

sIr B1

T 0

W-1

0 sU Im r 1

sIr B1

T 0

0

k 1 W-1

sU

i 0

khi s

Tính không bị chặn của G s kéo theo d = 0. Nghĩa là với những nhiễu dù rất nhỏ, thì phương trình vi phân đại số với chỉ số lớn hơn hay bằng 2 có thể không còn ổn định tiệm cận được nữa.

Nếu ind A, B 1 , dễ dàng chứng minh được rằng , G s là bị chặn trên  , nghĩa là d > 0 nhưng có thể không tồn tại một ma trận “xấu”

nào, sao cho d  .

Ta có định lý sau đây



Định lý 2.1.2.

i) Bán kính ổn định phức của (2.1.1) được cho bởi công thức d  sup G s

s i

1

, trong đó G s F sA B 1 E.

ii) Tồn tại ma trận “xấu” : d lớn nhất trên i .

khi và chỉ khi G s đạt được giá trị

iii) Trong trường hợp E F Im , d 0 khi và chỉ khi ind A, B 1.

Một câu hỏ i đặt ra ở đây, khi nào thì hàm G s đạt được giá trị lớn nhất tại một giá trị hữu hạn s0 ? Chú ý đầu tiên là, câu trả lời phụ thuộc vào việc chọn chuẩn của m vì G s có thể đạt được giá trị lớn nhất trong chuẩn này nhưng không đạt giá trị lớn nhất trong một chuẩn khác.

Chúng ta có thể trả lời câu hỏi bằng cách khảo sát hàm số, nhưng ta không thực hiện ở đây.

Các ví dụ

Trong các ví dụ sau đây, để đơn giản trong tính toán, chúng ta sử dụng chuẩn maximum của vectơ và chuẩn ma trận tương thích.

Ví dụ 2.1.3.

Tính bán kính ổn định của hệ phương trình với nhiễu cấu trúc Ax '(t) - B E F x(t) 0 trong đó là nhiễu và

1 0 1 A 0 1 1 ,

0 0 0

2 1 0

B 1 1 0 ,

1 0 1

1 1 1 1 0 0

E 1 1 1 , F 0 1 0 .

0 0 0 0 0 1

Ta thấy ind A, B 2, A, B 1

. Do đó {A,B} là ổn định tiệm cận.

3 Tính toán trực tiếp, ta nhận được

s s s

3s 1 3s 1 3s 1

G s F sA B 1E s 1 s 1 s 1

3s 1 3s 1 3s 1 .

s s s

3s 1 3s 1 3s 1

Vậy, G s 3 max s 1 , s

3s 1 3s 1 đạt được max tại s0 = 0 và G 0 3. Vì vậy, d 1

 3. 1

Chọn u 1 thì 1

G 0 u G 0 3.

0 1 3 0

1 * 1

Giả sử y* 0 1 0 và ta có: G 0 uy 0 0 . 3

Hơn nữa, det sA B E F 2s 0 khi s 0.

0 1 3 0

Ví dụ 2.1.4.

Xét phương trình Ax '(t) - Bx(t) 0, trong đó

A 1 2

2 4 và B 1 2

. Rừ ràng ind A, B 1 2 0

s 1

1 s 1 2

A, B -1 và G s sA B

1 1

2 4



vì vậy, trên  .

G s max 3

, 1 s

4 2 s 1 không đạt được giá trị lớn nhất

Hơn nữa, lim G s

s

3 nên ta suy ra d 2

2  3.

Chọn

s i u s2 1

1

rừ ràng u 1 và G s u G s khi phần thực 2 0 của s đủ lớn. Với

s .

y* 1 0 , ta có G s 1 uy* hội tụ về 3 khi 2 0 3

Dễ thấy, phương trình

det sA B 8 , s nghĩa là

3 A, B và

Ax '(t) - B x(t) 0. Tức là hệ x' 2x' 5

x 2x 0,

1 2 3 1 2

2x' 4x' 4 x 0,

1 2 3 1

có duy nhất nghiệm chọn không “xấu”.

x1 0

x2 0 vẫn ổn định tiệm cận, nghĩa là nhiễu ta vừa

2.2. Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của