Chương III Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại
3.4 Các trường hợp đặc biệt
Hệ (3.1) được gọi là nửa hiển, nghĩa là
I 0
A 1 , B t B11 t B12 t
(3.4.1)
0 0 B21 t B22 t
trong đó I là ma trận đơn vị,
1 Bij 1 i,j 2 là các ma trận con có số chiều
tương ứng. Giả thiết chỉ số 1 có nghĩa rằngB22 t là khả nghịch hầu khắp nơi trong 0, . Trong nhiều ứng dụng, hệ các DAEs xuất hiện dưới dạng nửa
hiển. Cho tập hợpQ diag 0, In
2 và dễ dàng có
n
B B I
B B B
t
y,
t
G I 1 0 Ngoài ra, ta có
B12 B22 ,
0 0
Qs 1
22 21
t, s t, s
B 1B t,
22 21s
trong đó t, s là toán tử sinh bởi sự khai triển phương trình vi phân thường
y ' B11 1
12 22 21 (3.4.2)
nó được coi là ổn định mũ. Giả thiết A2 tương đương với các giả thiết về tính bị chặn thực sự của B 221 , B 221B 21và B B 12 221 . Ta xây dựng hai ma trận E,F được viết lại dưới dạng suy biến như sau
E E1
E2 , F F1 F2
trong đó các ma trận con có số chiều tương ứng. Bằng một vài tính toán với
ma trận ta có L u t
0
t
1 1 1
F1 F2 B22 B21
t0
1
t, E1 B12 B22 E2 u d F2 B22 E2u t , (L t0 u) t F2 B22 E2u t , t t0 (3.4.3) Theo định lý 3.3.12, ta có
d A, B; E,
F min lim L 1, esssup
1
F B 1E t .
K t0
0
2 22 2 t 0
3.4.2 Hệ chính quy ẩn và hệ thuần đại số
Trước hết, ta xem xét hệ (3.1) với số hạng đầu A không suy biến hầu khắp nơi. Và ta giả sử A 1 là bị chặn hầu khắp nơi trong 0, . Nhân cả hai
vế của hệ (3.1) với A 1 ta được hệ hiển hoàn toàn đã được nghiên cứu trong [12]. Áp dụng đ ịnh lý 3.3.12 với việc
chọn P I , Q 0 là tầm thường và
duy nhất, công thức bán kính ổn định có được ở đây giống như trong [12].
Trường hợp A = 0, khi đó hệ (3.1) thật sự trở thành một hệ thuần đại số.
0 B t x t , t 0 .
Ta đặt Q I , P 0 . Điều này tương đương với B là khả nghịch hầu khắp nơi trong 0, và nghịch đảo của nó là thực sự bị chặn. Dễ thấy hệ thuần nhất có nghiệm tầm thường duy nhất. Hệ đại số ổn định đối với tất cả các hàm
q Lp x Lp
0, ; K
n
0, ; K
n
. Hệ không thuần nhất B t x t q t có nghiệm duy nhất và hệ này phụ thuộc vào tính liên tục của vế phải (Theo
chuẩn của với
Lp ). Theo ý nghĩa của các kết quả trong mục 3.3, mỗi toán tử nhiễu
L 0 1 esssup
1
FB 1E t , (3.4.4)
t 0
hệ nhiễu còn lại là ổn đ ịnh và (3.4.4) cho cận tốt nhất, nghĩa là với mỗi 0 luôn tồn tại nhân quả với L 0 1 làm mất tính ổn định của hệ đại số.
3.4.3 Hệ bất biến theo thời gian
Ta giả sử tất cả các ma trận A, B, E,F đều bất biến theo thời gian.
Dễ thấy giả thiết A2 là không cần thiết. Bằng phép b iến đổi của Fourier – Plancherel như trong [11], phát biểu sau, mà thực chất là sự mở rộng của định lý 2.1 trong [11] đối với hệ phương trình vi phân đại số có chỉ số 1, có thể được chứng minh.
Mệnh đề 3.4.3.1 Cho A, B, E,F là bất biến theo thời gian, hệ (3.1) có chỉ số
1 và ổn định mũ. Nếu chọn p = 2 (xét tính ổn định của L2) thì
t
1
1
1
L L0 sup
0 iR F A B E .
Hàm F A B E được gọi là hàm truyền nhân tạo liên kết tới (3.1).
Ta chú ý rằng sự ổn định mũ của hệ bất b iến theo thời gian (3.1) có nghĩa chính xác là tất cả các giá trị riêng của cặp ma trận (A, B) có phần thực âm. Như vậy hàm truyền được xác định trên trục ảo iR của mặt phẳng phức. Kết quả là, định lý 3.3.12 có thể được viết lại như sau
Định lý 3.4.3.2 Cho A, B, E, F là bất biến theo thời gian, hệ (3.1) có chỉ số 1
và ổn định mũ. Nếu chọn p = 2 thì
1 1 1
dC Chứng minh.
A, B; E, F L 0 sup
iR
F A B E
Ta cần chỉ ra được giới hạn
L
0
L 0 . Theo bổ đề 3.2.8 (c), ta dễ dàng xác định
lim F A B E FQG 1E
bằng cách biến đổi cặp ma trận hệ số (A, B) theo chuẩn Weierstrass – Kronecker (xem [5], [9]) hoặc theo hệ nửa hiển (3.4.1) và làm rừ ra ta cú:
sup
iR F A B 1 E FQG 1E L 0 .
Từ định lý 3.4.3.2, việc tính bán kính ổn định đối với các hệ bất biến theo thời gian đã được giải quyết một cách tối ưu và có thể giải bằng số, ví dụ xem [4], [18]. Cuối cùng chúng tô i lưu ý là các đẳng thức trong định lý 3.4.3.2 mang nghĩa chính xác là bán kính ổn đ ịnh phức đối với sự nhiễu động được nghiên
cứu ở đây trùng với bán kính ổn định phức đối với sự nhiễu tĩnh (nghĩa là
là một ma trận bất b iến theo thời gian) được xét trong [6], [7], [18]. Vì vậy định lý 3.4.3.2 đã tổng quát được các kết quả trước đây của hệ tuyến tính ODEs trong [10].
R