Chương II Bán kinh ổn định của hệ phương trình vi phân đại số
2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức
Trong mục này, chúng ta xét một trường hợp đặc biệt, khi d d . Đối với phương trình vi phân đại số, đây là một bài toán không đơn giản, vì dư ới
ảnh hưởng của cặp ma trận {A, B}, nón dương
n có thể không còn bất biến
ij
ij
đối với quỹ đạo của hệ, ngay cả khi A, B đều dương. Trong luận văn này, chúng tôi chỉ có thể giải bài toán với những giả thiết rất chặt.
Giả sử rằng Định nghĩa 2.2.1.
A, B m m , E F Im.
i) Ma trận H m m được gọi là dương, ký hiệu H > 0, nếu
ij 0, i, j.
ii) Ma trận H m m được gọi là không âm, ký hiệu H 0, nếu
ij 0, i, j.
iii) Giá trị tuyệt đối của ma trận M mij , ký hiệu M , là ma trận
mij , tức là M = mij , với x x1 , x2 ,..., xm .
Trong m m ta định nghĩa quan hệ thứ tự như sau.
Định nghĩa 2.2.2.
i) Ma trận M được gọi là lớn hơn hoặc bằng ma trận N, ký hiệu là
M N, nếu M N 0.
ii) Số A, B max Re : A, B được gọi là hoành độ phổ của cặp ma trận {A,B}
Chúng ta xét phương trình Ax '(t) - Bx(t) 0, (2.2.1) trong đó A, B là các ma trận hằng cấp m m , cặp {A,B} là chính quy.
Nếu
ind A, B 1, thì d d 0, vì ta có thể lấy nhiễu thực nhỏ tuỳ ý và “xấu”
V , sao cho bé tuỳ ý .Vì vậy ta chỉ xét trường hợp Ta đưa ra các giả thiết sau
i) A 0.
ind A, B 1.
ii) tn , tn 0, tn
: tn A B 1 0, n. (2.
2.2 )
1
iii) Hệ (2.2.1) ổn định tiệm cận.
Chú ý rằng, nếu det A 0 thì các điều kiện trên đảm bảo cho (2.2.1) là hệ dương. Để bài toán đơn giản, ta sẽ chọn một chuẩn đơn đ iệu
trong
m , tức là nếu các vectơ x và y thoả mãn x y , thì x y . (Ví dụ
m p p1
x p xi , p
i 1 1 là chuẩn đơn điệu.)
Bổ đề 2.2.3. Giả sử hệ (2.2.1) thoả mãn các điều kiện (2.2.2), khi đó với mọi
1 1
sao cho Re x m .
Chứng minh
A, B ta có A B x Re A B . x , với mỗi
Lấy tn , t i sao cho tn t A, B . Theo giả thiết t A, B , chúng ta phải chứng minh rằng
x m . Bằng tính toán đơn giản, ta có
1 1
t i A B x tA B x
1 1 1 1
t i A B tn A B Im tn t i A. tn A B . Đặt G tn tn A B , ta nhận được
t i A B 1 G tn Im tn t i A.G tn 1
= G t t t i
n n
A.G t (2.2.3)
n n n
n 0
Chuỗi trên hộ i tụ tuyệt đối, nếu chúng ta chứng minh được rằng tn t i r AG tn 1, ở đây r M là bán kính phổ của M.
1
n
t
Trước tiên, ta thấy tlim t
n n tn t i t. Do đó, với t A, B 0 chúng ta có tn tn t i t A, B , với tn đủ lớn, nghĩa là
tn A, B tn t i .
Mặt khác, nhờ giả thiết i) và ii) ta cóAG tn là ma trận không âm, theo định lý Perron–Frobenius ta có r AG tn AG tn AG tn (với
AG tn dương). Tức là, det r AG tn I AG tn 0 . Nhân cả hai vế với G tn 1 . 1
r AG tn ta được
det tn 1
r AG tn A B 0 Điều đó, chỉ xảy ra khi
1
n r AG tn A, B . Do đó, 1
r AG tn tn A, B . Thay tn A, B tn t i và nhân lên ta được
tn t i r AG tn 1.
Để ý rằng nếu r AG tn = 0 bất đẳng thức trên vẫn đúng.
Nghĩa là tn t i r AG tn 1 luôn đúng với AG tn là ma trận không âm.
Như vậy ta đã chứng minh được chuỗi (2.2.3) hộ i tụ tuyệt đối. Từ (2.2.3) ta có
t i A B x G tn tn
n 0
t i n AG t n x
= G tn Im tn t i AG tn 1 x
Cho tn
= , ta nhận được
tn tn t i A B 1x
1 1
t i A B x tA B x
Bổ đề 2.2.4. G t tA B 1 0, t A, B. Hơn nữa G t đơn điệu giảm trên A, B , .
Chứng minh
Giả sử t0 A, B . Sử dụng bổ đề 2.2.3, ta thấy rằng G t0 G Re t0 G t0 , do đó G t0 0 .
Sự đơn điệu giảm của G t trên A, B , , được suy ra từ chứng minh trên và từ s t A, B ta có
G s G t t s G s AG t 0 .
Vì hàm G s là giải tích trên , nên G s chỉ có thể đạt được giá tr ị lớn nhất tại s hoặc s i . Hơn nữa, với chuẩn đơn điệu được chọn như trong Bổ đề 2.2.3, G s đạt được giá trị lớn nhất trên 0, ) .
Mặt khác, nhờ Bổ đề 2.2.4, G s đạt được giá trị lớn nhất tại s 0 , tức là G 0 max G : Re 0 B 1 .
Từ định lý Perron - Frobenius, u 0, u 1: G 0 u G 0 , nhờ sử dụng định lý Hahn - Banach ta suy ra tồn tại một phiếm hàm tuyến tính y* sao cho y*G 0 u G 0 u G 0 , và y* 1.
1 1
Giả sử G 0 1 uy* , bằng con đường như trong mục 2.1, chúng ta có thể chỉ ra rằng V (tức là là ma trận thực, "xấu") và d. Ta đã chứng minh được định lý dưới đây.
Định lý 2.2.5. Giả sử hệ (2.2.1) thỏa mãn các giả thiết i), ii), iii) và chuẩn
đơn điệu trong m đã được chọn, khi đó bán kính ổn định phức và bán kính ổn định thực là bằng nhau, nghĩa là d d .
Như đã nói ở trên, giả thiết dương của G tn đối với một dãy tn là mạnh và rất khó kiểm chứng. Ta cần đưa ra một điều kiện đủ, để đảm bảo các giả thiết trên.
Định nghĩa 2.2.6. Giả sử hệ (2.2.1) tồn tại nghiệm x t thỏa mãn đ iều kiện x t0 x0 . Hệ (2.2.1) được gọi là hệ dương nếu với mỗ i x0 m
y y , y ,..., y : y 0, i 1, 2,...,
m , nghiệm x t 0, t 0.
1 2 m i
Giả sử Q là một phép chiếu bất kỳ lên Ker A.
Đặt Q
Q A BQ B; P Im Q
và
B
P A BQ B . Khi đó, hệ
(2.2.1) tương đương với hệ Px '
BPx0, Q x0, Ta biết rằng, ở đây, khi Q
x
0 thì
Px
+ Q x x,
Px ' +
Q x '
x '.
Do đó hệ (2.2.1) tương đương với hệ x ' - Bx 0,
(2.2.4) Q x 0,
Để ý rằng, G 1BQ Q do đó B P PB
B , ngoài ra Q kh ông phụ thuộc và
1 1
việc chọn phép chiếu Q và P A BQ P A BQ , do đó B không phụ
thuộc vào việc chọn phép chiếu Q (xem [9], [17]).
0
Định nghĩa 2.2.7. Ma trận B được gọi là ma trận P - metzler nếu các phần tử
b ij của B là không âm, có thể trừ các phần tử
b
ij
ứng với i,j sao cho pij 0 .
Định lý 2.2.8. Hệ (2.2.1) là dương khi và chỉ khi
P
pij 0 và B là ma
trận P - metzler.
Chứng minh
Ta thấy hệ (2.2.1) dương khi và chỉ khi hệ (2.2.4) dương. Từ hệ (2.2.4) suy ra nghiệm tổng quát của hệ (2.2.1)
là x t etB Px . Vậy điều kiện
hệ (2.2.1) dương, kéo theo
P
0 (với t = 0).
Mặt khác, với t đủ nhỏ ta có:
n
0 etB
P
tB
P
n 0 n!
t B n
P
n 0 n!
P t B
o t khi t 0
Suy ra, nếu pij 0 thì bij 0 . Ngược lại, nếu B là ma trận P - metzler
và chú ý rằng
BP
P B
B , nên với mỗ i sao cho P
B
0 , chúng ta có:
etBP e t
P t B P P
t B P
= e tP.e P
tP n 0 n! =
n
.e
n Pet B PP
= t
n Pe
t B PP
n 0 !
= e t t B P P 0
Định lý 2.2.9. Giả sử rằng hệ (2.2.1) là dương, thêm vào đó
P A BQ 1 0 và Q A BQ 1 0 . Khi đó, G t tA B 1 0, t 0 .
Chứng minh Chú ý rằng:
1 1
A BQ tA B tP A BQ B
= tP Q B
= P Q tI
t m P tQ
B
Q P tIm
t
B .
Vậy
G t A BQ
1 1
tA B A 1
BQ
P Q
1
1
tI B A BQ
=
t m
= tIm B 1 P A BQ1 t tIm B1 Q
A BQ 1
1 1 1
= tIm
B
P A BQ
Q A BQ
. (2.2.5)
Vì B là P - metzler nên có một giá trị t0
sao cho t t0 ta có
tIm
1 1 B 1
B P Im P
t t
n
= 1 B 1 P t n 0 t n !
n
= 1 P1 Bn 1 t t n 1 t n!
1 P B o 1
0 , khi t đủ lớn.
=
t t t
Vậy với giả thiết P A 1
BQ 0 và Q
A BQ 1 0 , hệ thức (2.2.5)
nói lên rằng G t 0, t t0 . Lặp lại chứng minh của Bổ đề 2.2.4. ta suy ra G t 0, t 0
Ngoài ra, dễ dàng đưa ra một ví dụ, trong đó một hệ dương, nhưng giải thức tA B 1 lại không dương. Tới lúc này, ta vẫn không b iết nếu các
điều
kiện hệ dương được đảm bảo thì d d hay là không?
Câu trả lời vẫn còn là bài toán mở.
Bây giờ, ta xét một trường hợp đặc biệt, đặc trưng cho sự khác nhau giữa hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân đại số.
Định lý 2.2.10.
Nếu max G s
s i
Chứng minh
không đạt được tại một giá trị hữu hạn s thì d d .
Từ (2.2.5) chúng ta thấy:
lim G s lim G t Q
A BQ 1 max G s ,
s , s t ,t s
trong đó Q , B được cho như trong (2.2.4). Giả sử
tn
là một dãy trong
0, sao cho lim t
n
. Với mỗ i n ta chọn un
yn yn
m và * với * m
sao cho
y
1
un 1; n* 1, G tn un G tn và y* G tn un G tn un như trong mục 2.1.2. Giả sử n G t n 1u yn n * . Rừ ràng tn là một giỏ trị riờng của cặp
A, B n với vectơ riêng tương ứng xn tn A B un . Nghĩa là n V . Dễ thấy rằng lim n n nlim G tn 1 d , tức là d d .
Ví dụ 2.2.11. Tính bán kính ổn định của hệ
Ax '- Bx
0 với 1 0 0
A 0 1 0 , 0 0 0
2 1 0
B 1 1 1
0 0 1
Dễ thấy, ind A, B 1, A, B 3 5 ; 3 5
2 2 2 2
và
P
1 0 0 0 1 0 0 0 0
,
B
2 1 0 1 1 0 0 0 1 Do vậy B là P - metzler. Hơn
nữa,
1 0 0
1
1 0 0
1
Q A BQ
0 1 0 0 , P A BQ
0 0 1
0 1 1 0 . 0 0 1 Khi đó, G s 0 với mỗ i
t 0 và nó đạt được giá trị lớn nhất tạis0 0 với 1 1 1
G 0 1 2 2
0 0 1 0
và G 0 1 0 5
5. Từ đó d d 1 5 ,
trong đó 0 1 0 .
5 0 1 0 5
m
p