Chương III Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại
3.3 Công thức bán kính ổn định
Đầu tiên khái niệm bán kính ổn đ ịnh được giới thiệu trong [11], [12], [18]
đã được mở rộng đối với hệ phương trình vi phân đại số có chứa tham số thời gian (3.1)
Định nghĩa 3.3.1 Cho các giả thiết A1, A2 đúng. Bán kính ổn định có cấu
trúc phức (thực) của (3.1) phụ thuộc vào nhiễu tuyến tính, động của (3.3)
được xác định bởi dK A, B; E, F
= inf , sao cho nghiệm tầm thường của (3.3) không Lp ổn định toàn cục hoặc (3.3) không có chỉ số 1
Khi K C ta có bán kính ổn định phức của (3.1).
Khi K R ta có bán kính ổn định thực của (3.1).
t 1
Chú ý 3.3.2 Chú ý nói rằng nếu hệ nhiễu không có chỉ số 1, khi đó, vấn đề giá trị ban đầu không thể được đặt ra. Vì vậy, khá tự nhiên khi cần có chỉ số 1 cho hệ nhiễu (3.3).
Mệnh đề 3.3.3 Cho các giả thiết A1, A2 đúng.
q m
Nếu L Lp 0, ; K , Lp 0, ; K là nhân quả và thoả mãn min sup L
0
, L 01 t0 0
Khi đó hệ (3.3) có chỉ số 1 và nghiệm tầm thường của nó là Lp
cục.
Chứng minh:
ổn định toàn
Từ giả thiết, ta có L 0 1 ess supFQG
1 1E t
t 0
Dựa vào bổ đề 3.2.5 và định nghĩa 3.2.2, dễ thấy hệ (3.3) có chỉ số 1. Do vậy nó có nghiệm yếu duy nhất x t; t0 , x0 t0 0, x0 K n.
Ta sẽ chứng minh tính ổn định ra. ChoT t0 bất kỳ. Nhờ các chứng minh ở định lý 3.2.6, tồn tạiM7 0 sao cho
FPx ;t0 , x0
Lp t0 ,T ;K q Fu L
p t0 ,T ;K q M 7 P t0 x0 . và cũng bằng các dẫn chứng khi chứng minh định lý 3.2.6, ta có
Vì vậy
FQx t;t0 , x0 Fv t Vu t .
FQx ;t0 , x0
Lp t0 ,T ;K q V M 7 P t0 x0 . Đặt M8 1 M7 V , ta nhận được
Fx ;t0 , x0
Lp t0 ,T ;K q M 8 P t0 x0 (3.3.1)
t
t
t
T
t
Cố định T t0 sao cho LT 1. Do những giả thiết trên , nên tồn tại T. Từ (3.2.3) ta có
F t x t;t0 , x0 F t t,T P T x T ;t0 , x0 LT T Fx t
0
+ LT Fx T t , t T . Vì vậy Fx ;t0 , x0
Lp T , ;K q
F ,T P T x T ;t0 , x0
Lp T , ;K q LT T Fx
0 Lp T , ;K q
+ L T Fx T
Lp T , ;K q
M 3 P T x T ;t0 , x0
LT T Fx
0 L t ,T ;K q
hay tương đương với
p 0
L Fx T
Lp T , ;K q
1 LT Fx ;t0 , x0
Lp T , ;K q
M 3M1 P t0 x0 LT T Fx
0 L t ,T ;K p 0 q
Kéo theo Fx ;t0 , x0
Lp T , ;K q 1 LT 1 M 3M1 LT M 8 P t0 x0 (3.3.2)
Từ (3.3.1) và (3.3.2) và đặt ta có
M6 : M8 1 LT 1 M3M1 LT M8 ,
Fx ;t0 , x0
Lp t0, ;K q M 6 P t0 x0 .
Chứng minh xong.
t 1
p 2 p
Chú ý 3.3.4 Nếu A t I , thì hệ (3.1) là hệ phương trình vi phân thường.
Khi đó mệnh đề (3.3.3) được rút ra (xem [12], Định lý 4.3). Đồng thời, nhờ
bất đẳng thức Gronwall – Bellman và đánh giá ở định lý 3.2.6, chúng ta có
cách chứng minh ngắn gọn hơn nhiều so với việc dùng quy nạp trong [12].
Vậy, theo mệnh đề (3.3.3) bất đẳng thức dK A, B; E,
F
min sup L
0
, L 01
là đúng.
t0 0
Tiếp theo, chúng ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại.
Định nghĩa 3.3.5
Ta nói rằng toán tử nhân quả Q L L 0, ; K m ,
L 0, ; K q có bộ
p p
nhớ hữu hạn nếu tồn tại một hàm : 0, 0, sao cho t t và I t Q t 0, t 0 . Hàm được gọi là hàm có bộ nhớ hữu hạn liên quan tới Q .
Khi L 0 L
0
L
0 , thì bổ đề sau đơn giản chỉ là kết quả của [12, bổ đề 4.6].
Bổ đề 3.3.6
Tồn tại một dãy các toán tử nhân quả Q L L 0, ; K m ,
L 0, ; K q với
n p p
bộ nhớ hữu hạn sao cho
lim L 0 Q n 0
n
Bổ đề 3.3.7 [12, bổ đề 4.7] Giả sử f1 L 0, ; K q , f L 0, ; K m với
supp f1 T1,T2 ,
supp f2 T3 ,T4 với 0 T1 T2 T3 T4 . Khi đó tồn tại
toán tử nhân quả P L L 0, ; K q ,
L 0, ; K m thoả mãn
(a) Pf1
p p
f2 ,
p
p
(b) supp Pf T3 ,T4 f L
p 0, ; K q , (c) nếu f L
p 0, ; K
q với supp f T1,T2 thì Pf 0 , (d) P f2 f1 .
Bổ đề 3.3.8 [12, bổ đề 4.8] Giả sử Q L L 0, ; K m ,
L 0, ; K q là
p p
nhân quả và có bộ nhớ hữu hạn.
Cho sup QSt 1 . Khi đó tồn tại một toán
t 0
tử
P L L 0, ; K q ,
L 0, ; K m , các hàm f , g Lloc 0, ;K m và một số tự nhiên
p p p
N0 sao cho
(a) P , P là nhân quả và P có bộ nhớ hữu hạn.
(b) f Lloc 0, ; K m \
L 0, ; K m và Qf Lloc 0, ; K q \
L 0, ; K q ,
p p p p
(c) supp g 0, N0 và supp Qg 0, N0 ,
(d) P y t 0 t 0, N0 , y Lp 0, ; K m ,
(e) I PQ f g .
Bổ đề 3.3.9 Cho giả thiết A1
đúng, L L 0, ; K q ,
L 0, ; K m là
p p
nhân quả, t > 0 và x0 L 0, ; K n . Khi đó hàm
u : P t x t; , x0 , 0, t , thoả mãn u Lp 0, t;K n . Chứng minh.
Theo chứng minh của Đ ịnh lý
3.2.6,
INHODE. P t x t; , x0
thoả mãn Từ [12, bổ đề 4.9] ta có u : P t x t; , x0 L 0, ; K n
t t
1
Mệnh đề 3.3.10
Nếu sup L 1
0 L
0
1 thì với mọi , sup L 1
0 L
0
1, luôn tồn
t0 0 t0 0
tại một toán tử nhân quả L L 0, ; K q ,
L 0, ; K m với sao
p p
cho nghiệm tầm thường của (3.3) là không Lp
Chứng minh.
ổn định toàn cục.
Chứng minh tương tự như [12, Định lí 4.10], đầu tiên ta chọn một số sao cho sup L 0 St .
t 0
Theo bổ đề 3.3.6, tồn tại một dãy Q L L 0, ; K m ,
L 0, ; K q , khi
n n p p
đó mỗi Q nlà một nhân quả và có bộ nhớ hữu hạn, sao cho lim L 0 Q n 0.
n
Do đó, tồn tại một sốN1 sao cho
1 1
sup
s 0
Q n Ss
và Q n L 0
với mọi n N1 . Theo bổ đề 3.3.8 luôn tồn tại các toán tử L L 0, ; K q ,
L 0, ; K m , và các hàm f , g Lloc 0, ; K m và
n p p n n p
các số tự nhiên đúng. Khi đó
N0, n , n N1 sao cho các tính chất (a) - (e) của bổ đề 3.3.8 là
1 k q m
I Q n L 0 n Q n L 0 n
k 0
L Lp 0, ; K , Lp 0, ; K với n N1 . Hơn nữa, còn tồn tạiN N1
1
sao cho
q m
: N I Q N L 0 N L Lp 0, ; K , Lp 0, ; K (3.3.3)
thoả mãn . Dễ thấy là nhân quả và có bộ nhớ hữu hạn. Hơn nữa u t 0 với t 0, N0, N và u Lp 0, ; K m .
0
N
N N
Ta đặt
y : I Q N L 0 N Q N f N .
Ta thấy QN N f Llocp 0, ; K q \ Lp 0, ; K q và I Q N L 0 N là khả nghịch trong L L 0, ; K q ta có y Lloc 0, ; K q \ L 0, ; K q và từ
p p p
tính chất (e) của Bổ đề 3.3.8 ta mở rộng I L 0 y I Q N N Q N f
N
Q N g N .
Đặt f : y0, N và y :
0,N
yN
0, N ,
với t N0 N0, N ta có
y t y t L 0 y t Q N g N t
L y t
0 L 0 N
0 y t
Đặt xy t : M N f t
L f t
0
M N y t
L y t .
0
, t N0 (3.3.4)
0 0
Rừ ràng
F x L f L y y Lloc 0, ; K q \
L 0, ; K q .
y N0 N0 p p
Giả thiết F L 0, ; K q n dẫn tới x Lloc 0, ; K n \
L 0, ; K n .
Ngoài ra ta cũng thấy xy
y p p
là một nghiệm yếu (duy nhất) của hệ Pxy ' P ' PG 1 B Pxy PG 1E Fxy PG 1E f
(3.3.5) Qxy QG 1 BPxy QG 1E Fxy QG 1E f
với đ iều kiện đầu
P N0 xy N0 0 . Nhờ giả thiết L
0
1 thì hệ các
phương trình vi phân đại số có chỉ số 1 và toán tử nghịch với nghịch đảo bị chặn. Vì vậy
I FQG 1E là khả
1 1 1 1 1
FQxy I FQG E FQG BPxy FQG E FPxy FQG E f Thế vào phương trình trên ta có
Px y ' P ' PG 1 B Px PGy 1E FPxy
1 1 1 1 1
PG E I FQG E FQG BPxy FQG E FPxy h , (3.3.6) trong đó
h t PG 1E I FQG 1E 1FQG 1E f t PG 1E f t , t N0
(3.3.7)
k
1 1 1
Từ đó cũng như I FQG E FQG E là các toán tử nhớ
k 0
hữu hạn và f là tựa compact, dễ thấy h cũng là tựa compact. Bằng một số làm rừ ta cú
Pxy
t
t P t x t; , h d .
N0
Thật vậy, cho xz xác định bởi Pxz
t
t P t x t; , h d .
N0 (3.3.8)
Qxz QG 1 BPxz QG 1E Fxz QG 1E f
loc n
Rừ ràng là xz xỏc định và xz Lp N0 , ; K . Ngoài ra, với t N0 ta cú thể kiểm tra lại bằng tính toán
t
P t x t; , h d
N0
z
t t
P t t,
N0
h P t t, PG 1E F x , , h d d
t t t
P t t,
N0
h d P t t,
N0
PG 1E F x , , h d d
t t
P t t,
N0
h d P t t,
N0 N0
PG 1E F x , , h d d
t
P t t, h d
N0 t
P t t,
N0
PG 1E F P x
N0
, , h d d
t
P t t,
N0
PG 1E F Q x
N0
, , h d d
t t t
P t t,
N0
h d P t t ,
N0
PG 1E F x d P t t ,
N0
1 1 1 1 1
PG E I FQG E FQG Bxz FQG E F xz d Như vậy Pxz cũng là một nghiệm yếu của (3.3.6). Vì tính duy nhất của nghiệm, đẳng thức Pxy Pxz đúng. Theo định nghĩa ta có xy xz .
Bây giờ, ta giả sử nghiệm tầm thường của (3.3) là Lp ổn định toàn cục.
Điều này chứng tỏ sau
Pxy Lp 0, ; K
n . Cuối cùng ta sử dụng các đánh giá
T
1
t p p
Pxy q P t x t; , h d dt
Lp N0 , ;K
N0 N0
t
N0 N0
1
p p
P t x t; , h d dt
1
p p
P t x t; , h dt d (theo bđt Minkowski)
N0
M 4 h d (vì h là tựa compact).
N0
Kết quả là, cả FPx
y và FQxy đều thuộc vào Lp 0, ; K q , mâu thuẫn với Fx Lloc 0, ; K q \
L 0, ; K q . Vì vậy nghiệm tầm thường của (3.3)
y p p
không Lp ổn định toàn cục. Chứng minh xong.
Mệnh đề 3.3.11 Với 0 bé tuỳ ý luôn tồn tại T > 0 và toán tử nhân quả L L 0,T ; K q ,
L 0,T ; K m sao cho L 0 1 và toán tử
p p
I FQG 1E là không ổn định.
Chứng minh.
Để chứng minh mệnh đề trên, đầu tiên ta chọn T > 0 sao cho
1 1
esssup FQG 1E esssup FQG 1E / 3 L 1 0
/ 3 (3.3.9)
0 t T t 0
sau đó ta xây dựng dãy đơn điệu ngặt
n n 0 0,T sao cho
1
1 1
esssup
t Tn ,Tn 1
FQG E L
0
2 / 3
1
n n
với n = 0, 1, … Theo định nghĩa của cận trên đúng, luôn tồn tại một tập X 0,T dương đo được sao cho
1 1
FQG 1E t L 0 2 / 3 , t X .
Cho X 0 là độ đo của X và cho a inf t,t X , b sup t,t X . Rừ ràng là 0 a b T . Đặt T0 a . Với n = 0, 1, … chọn Tn 1 T sao cho độ đo của Tn ,Tn 1 X bằng X / 2n 1. Dễ thấy dãy Tn n
0 thoả mãn các điều kiện trên.
Và ta cũng dễ thấy luôn tồn tại một dãy của fn Lp 0,T ; K
m , với
suppfn Tn ,Tn 1 , fn 1và FQG Efn L 0 1 1. Thay đổi điều kiện của bổ đề 3.3.7 yếu một chút, luôn tồn tại toán tử nhân quả
L L 0,T ; K q ,
L 0,T ; K m , n = 0, 1, … sao cho
n p p
FQG 1 f fn 1 ,
1
n L 0 ,
supp Δn h Tn 1,Tn 2 , h Lp 0,T ; K q , nếu h L
p 0,T ; K
q với supp h Tn ,Tn 1 thì n h 0 . Ta đặt f : fn ,
n 0
h : n h
n 0
với h L
p 0,T ; K
q và g : f0 . Dễ thấy rằng L L 0,T ; K q ,
L 0,T ; K m
p p
là nhân quả, L 0 1 và I FQG 1E f f 0 g .
t
n
n
1
t t
Xuất phát từ f L
p 0,T ; K
m , g Lp 0, T ; K
m mà toán tử I FQG 1E có nghịch đảo không bị chặn trong L
L 0,T ; K m ,
L 0,T ; K m .
p p
Từ mệnh đề 3.3.3 – 3.3.11 ta sẽ xây dựng công thức cho bán kính ổn định.
Định lý 3.3.12 Cho các giả thiết A1, A2 đúng. Khi đó
dK A, B; E, F
min sup L
0
, L 01 t0 0
Hệ quả 3.3.13 Cho A, B, E, F là thực và các giả thiết A1, A2 đúng. Khi đó dC A, B; E, F dR A, B; E, F .
Chú ý 3.3.14 Ta chú ý rằng tính đơn điệu của L
t
t (xem bổ đề 3.2.8 (b)), ta có
được coi như một hàm của
1 1
sup L
0 lim L .
t 0
t0 0 0
So sánh với (3.4), ta thấy số hạng đặc biệt L
0
1 là độ đo duy trì tính vững của chỉ số 1. Đó cũng chính là sự khác biệt giữa DAEs và ODEs.
3.4. Các trường hợp đặc biệt