Chương III Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại
3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35
A t x ' t B t x t q t ,t 0 (3.1.1) trong đó A, B đã cho như trên,
q Lloc 0, ; K
n . Cho N t = KerA t , t.
Khi đó với những giả thiết vềKerA . nói trên, tồn tại Q t liên tục tuyệt đối trên N t , nghĩa là Q C 0, ; K n
n , Q là khả vi hầu khắp nơi, Q2 Q , và ImQ t N t , t 0 . Ta giả sử Q
' Lloc 0, ; K n
n . P = I - Q, trong đó P t được chiếu dọc theo N t . Hệ (3.1.1) được viết lại như sau
A t Px ' t B t x t q t (3.1.2)
trong đó B : B AP ' Lloc 0, ; K n
n . Ta định nghĩa G A BQ .
Định nghĩa 3.1.1 (Xem [9, phần 1.2]) Phương trình vi phân đại số (3.1.1) được gọi là có chỉ số 1 nếu G t khả nghịch với hầu hết t 0, và
G 1 Lloc 0, ; K n n .
Giả sử hệ (3.1.1) có chỉ số 1. Chú ý rằng tính chất chỉ số 1 không phụ thuộc vào phép chiếu P Q (xem [9], [16]). Ta xét tính thuần nhất trong trường hợp q t 0 và xây dựng toán tử Cauchy sinh bởi (3.1.1).
Lấy: G 1 A P , G 1 B Q G 1 BP
và nhân cả hai vế của (3.1.2) với PG1 , QG 1 , ta có
Px ' P ' PG 1 B Px, Qx QG 1 BPx
A
Như vậy hệ được chia làm hai phần: phần vi phân và phần đại số. Do đó ta cần phải chỉ ra được giá trị đầu của phần vi phân. Đặt u P x thì phần vi phân trở thành
u ' P ' PG 1 B u (3.1.3)
Phương trình này được gọi là phương trình vi phân thường (INHODE) của (3.1.1). Nhân cả hai vế của (3.1.2) với Q ta có
Qu ' Q 'Qu
Do đó INHODE (3.1.3) có các nghiệm không đổi thuộc Im P t0 và các nghiệm còn lại thuộc Im P t , t . Giả sử 0 t, s là toán tử Cauchy sinh bởi INHODE (3.1.3), nghĩa là
d dt 0 t, s P ' PG 1 B 0 t, s ,
0 s, s I
Khi đó, toán tử Cauchy sinh bởi hệ (3.1.1) được xác định bởi
d dt t, s B t, s , P s s, s I 0 và có thể cho bởi dạng
t, s I QG 1 B t 0 t, s P s
Bằng các lý luận ở [9, phần 1.2], [16], nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu (IVP) của (3.1.1) với điều kiện đầu
P t0 x t0 x0 0,t0 0 (3.1.4)
được cho bởi công thức biến thiên hằng số x t t, t0
t
P t0 x0
t0
t, PG 1q d QG 1q t
s
Chú ý 3.1.2 Tổng quát ta có, đẳng thức x t0 x0 với mỗi x0 K n cho trước
không thể xác định như bài toán giá trị ban đầu của ODEs. Tuy nhiên, với mỗi giá trị ban đầu liên hệ tới (3.1.1), (3.1.4) ta có
1 1
x t0 I QG B t0 P t0 x0 QG q t0 3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định
Từ giờ ta coi các giả thiết sau là đúng
Giả thiết A1. Hệ (3.1) có chỉ số 1 và tồn tại
M 0, 0 sao cho
0 t, s P s Me t s , t s 0
Giả thiết A2. PG 1 , QG 1 và Q : QG 1 B căn bản bị chặn trong 0, Chú ý 3.2.1 Với những giả thiết trên ta có ngay một đánh giá sau
t, s I Qs t
0 t, s P s 1 esssup Qs t M e t s
t 0
có nghĩa là (3.2) cố định với hầu hết các giá trị t s 0 trong đó M : 1 esssup Qs t M
t 0
Ngoài ra, nhờ tính bất biến của nghiệm của INHODE (3.1.3), ta có P t t, s P t 0 t, s P s 0 t, s P s
Ta cũng cần chú ý rằng các số hạng QG 1 , Qs không phụ thuộc vào phép chiếu Q (xem [6], [16]) sau này chúng ta sẽ thấy rằng sự hạn chế tính b ị chặn của PG 1 , QG 1 sẽ bị yếu đi một mức độ nào đó.
Đầu tiên, khái niệm chỉ số được mở rộng cho hệ nhiễu (3.3) với toán tử
q m
nhiễu L Lp 0, ; K , Lp 0, ; K được cho là nhân quả. Giả sử toán tử tuyến tính
GL Lloc 0, ; n K , Lloc 0, ; K n
p p
p 0
1
được xác định như sau
Gu t A BQ u t E FQ . u . t ,t 0 viết một cách hình thức ta có
G 1 E FQG 1 G (3.2.1)
Định nghĩa 3.2.2 Hệ phương trình vi phân đại số (3.3) có chỉ số 1 (nghĩa tổng quát) nếu với mỗi T > 0, toán tử
G
giới hạn trong Lp 0,T ; K n là khả nghịch
và toán tử nghịch đảo G
1 bị chặn.
Định nghĩa 3.2.3 Ta nói rằng IVP của hệ nhiễu (3.3) với (3.1) có nghiệm yếu nếu tồn tại
x Lloc t , ; K n thỏa mãn
t
1 1
x t t, t0 P t0 x0
t0
t, PG E Fx .
t0 d QG E Fx . t t
0
với t t0 , khi đó
Fx . 0, t 0, t0
(3.2.2)
t0 F t x t , t t0 ,
Định nghĩa 3.2.4 Cho X, Y là hai không gian Banach
và M: X Y là toán tử
tuyến tính bị chặn. Ta nói rằng M là ổn định nếu nó khả nghịch và b ị chặn, nghĩa là M khả nghịch và nghịch đảo của nó bị chặn.
Bổ đề 3.2.5 Giả sử cho bộ ba toán tử tuyến tính bị chặn
M: X Y , P: Y Z , N : Z X , trong đó X, Y, Z là các không g ian Banach. Khi đó toán tử I MPN là khả nghịch nếu và chỉ nếu I PNM khả nghịch. Ngoài ra nếu P NM thì hai toán tử I MPN và I PNM là ổn định.
Chứng minh:
Trước hết ta giả sử I MPN khả nghịch, bằng tính toán trực tiếp ta dễ dàng có
1
1
0
1 1
I PNM I PN I MPN M
nghĩa là I PNM cũng khả nghịch. Ngoài ra nếu I MPN bị chặn thì I PNM cũng bị chặn. Để chứng minh ngược lại ta làm tương tự.
Mệnh đề thứ hai này là một hệ quả đơn giản của định lý nổi tiếng về giải tích hàm
(xem [13, pp, 231 - 232]).
Áp dụng bổ đề trên với M E , P , N FQG 1 . Ta có
G là khả nghịch
nếu và chỉ nếu I FQG 1E và I FQG 1E là khả nghịch.
Định lý 3.2.6 Xét IVP (3.3), (3.1.4). Nếu (3.3) có chỉ số 1 thì nó có nghiệm yếu duy nhất x Lloc t , ; K n trong đó Px liên tục tuyệt đối với mọi
t0 cho
0, x0 Kn . Bên cạnh đó, với mỗi T > 0 bất kỳ, tồn tại một hằng số M1 sao
Chứng minh:
P t x t M1 P t0 x0 , t t0 ,T
Chọn T t0 viết lại như sau
bất kỳ và xét hệ nhiễu (3.3) trên t0 ,T . Khi đó hệ được
Px ' P ' PG 1 B Px PG 1E Fx , Qx QG 1 BPx QG 1E Fx
Ta đặt u : Px, v : Qx . Nhân phương trình đại số với F, ta có I FQG 1E Fv FQG 1 Bu E Fu
Theo giả thiết phương trỡnh cú chỉ số 1 và theo bể đề 3.2.5, rừ ràng toỏn tử I FQG 1E là khả nghịch và bị chặn. Ta xác định
Vu : I FQG 1E 1 FQG 1 Bu E Fu
0
n 0
Ta thấy V là tuyến tính, bị chặn và nhân quả. Thế Fv
phân, khi đó INHODE trở thành
Vu vào phần vi
u ' P ' PG 1 B u PG 1E F V u
Bằng các dẫn chứng [12, đ ịnh đề 3.2] thì INHODE có một nghiệm yếu duy nhất và nghiệm này được cho bởi công thức biến thiên hằng số. Bằng cách đặt x Px Qx u v , ta có nghiệm yếu duy nhất từ (3.3). Dễ thấy nghiệm duy nhất được tìm bởi công thức biến thiên hắng số (3.2.2) và phần vi phân Px là liên tục tuyệt đối.
Để xác định phần còn lại, ta xác định toán tử
n n
W : Lp t0 ,T ;
K
Lp t0 ,T ; K
Wu : P ' PG 1 B u PG 1E F V u
Dễ thấy W là tuyến tính, bị chặn và là nhân quả. INHODE tương đương với phương trình tích phân
t
u t u t0 Wu d
t0
Lấy chuẩn trong Lp t ,T ; K n , ta có
u . u
L t ,t ;K
t
Wu d
p 0
t0 Lp t0 ,t ;K n
t s
u0 Wu
1
p p
d ds (bất đẳng thức Minkowski)
t0 t0
1
t s p p
u0 Wu
t0 t0
d ds
q
W T
t t
u0 W u . ds
L t ,s ;K p 0 n
t0
Theo bất đẳng thức Gronwall – Bellman ta có
W T t0 W T
u .
L t ,t ;K n u0 e u0 e
p 0
với mọi 0 t0 T . Lấy chuẩn vectơ cho cả hai vế của phương trình tích phân cho u và áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có:
u t u0 t t0 q1
1
t Wu pd p
t0 1
u0 t W u .
L t ,t ;K p 0 n
1
u0 T q W u e 0 W T
ở đây q là một số thoả mãn 1 1
1 . Bằng cách đặt p q
M1 1
1
T q W u0 e việc chứng minh hoàn tất.
Chú ý 3.2.7 Chúng ta cần phải chú ý tới một sự thật là DAEs (3.3), với những điều kiện yếu của hệ số, chỉ có thành phần vi phân của nghiệm là phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu.
Nghiệm yếu duy nhất của IVP (3.3) với điều kiện đầu (3.1.4) xác định bởi
x t;t0 , x0 x t;t0 , P t0 x0 . Dễ thấy là với t > T ta có sự biểu diễn sau x t;t0 , x0 t,T P T x T ;t0 , x0
t
+ t,
T
PG 1E T Fx ;t0 , x0 d
t0
+ QG 1E T Fx t x ; 0 , 0 t
0
0
0
0
0 0
t
T
T
t
0 0
t
+ t, PG E 1 Fx
T
;t0 , x0 d
+ QG 1E Fx ;t0 , x0 t (3.2.3)
Ta xác định các toán tử sau L t
0
t
u t F t t,
t0
PG 1E u d FQG 1E t u t ,
t
L t u t F t t, PG 1E u d ,
t0
L t u t FQG 1E t u t , M t
0
t
u t t,
t0
PG 1E u d QG 1E t u t ,
t
M t u t P
t t, PG 1E u d (3.2.4)
t0
với mọi t t0 0 , u Lp – ra liên kết với (3.3).
0, ;K m . Toán tử đầu tiên được gọi là toán tử vào
Ta dễ dàng xác định các kết quả bổ trợ dưới đây:
Bổ đề 3.2.8 Giả sử các giả thiết A1-A2 đúng. Khi đó:
(a) L
0, L
t ,
L t L Lp t , ; K m , Lp t , ; K q ,
m n
M , M t0
0 L Lp t0 , ; K , Lp t0 , ; K (b) Lt L s , t s 0
(c) L
t
ess sup
t t0
FQG 1E t Lt
0
0
Tồn tại hai hằng số M2 , M3 0 sao cho
,
n
(d) M m
su t M 2 u L
p s ,t ;K
m
, t s 0, u Lp s,t; K ,
F s P t x M P t x t x K n
(e) , 0 0
Lp t0 , ;K q 3 0 0 , 0 0, 0 .
Chú ý 3.2.9 Chú ý rằng các giả thiết b ị chặn
của PG
1 , QG 1 chỉ là điều kiện đủ cho các tính chất (a) – (c). Vì vậy, vẫn còn khả năng nới lỏng giả thiết này.
Định nghĩa 3.2.10 Giả sử các giả thiết A1, A2 đúng. Nghiệm tầm thường của (3.3) được gọi là
mãn
Lp ổn định toàn cục nếu tồn tại các hằng sốM 4 , M5 0 thoả
P t x t;t0 , x0 K n M 4 P t0 x0 Kn x ;t0 , x0
, ; n M 5 P t0 x0 . (3.2.5)
Lp t0 K K
với mọi t t0 , x0 K n.
Với mệnh đề sau ta sẽ thấy tính Lp vào việc chọn phép chiếu P Q .
ổn định toàn cục không phụ thuộc
Mệnh đề 3.2.11 Giả sử các giả thiết A1, A2 đúng. Hai mệnh đề dưới đây là tương đương:
(a) Nghiệm tầm thường của (3.3) là Lp
ổn định toàn cục.
(b) Nghiệm tầm thường của (3.3) là ổn định ra, nghĩa là tồn tại một hằng số
M6 0 sao cho với mọi t0 0, x0 K n, ta có F x ;t0 , x0
, ; n M 6 P t0 x0 n (3.2.6)
Chứng minh:
(a) (b) hiển nhiên.
Lp t0 K K
(b) (a). Do tính ổn định mũ, đánh giá (3.2) đúng. Với mọi t t0 0, x0 K n ta có
0
p
t
t
t
5
Px t;t0 , x0 P t t,t0 P t0 x0 M
t
F x ;t0 , x0 t
0
M e t t0 P t x 0 0 M 2 F x ;t, x0 t
0 L t ,t ;K p 0 m
M P t0 x0 M 2 M 6 P t0 x0 M 4 P t0 x0
trong đó M 4 : M M 2 M 6 . Ngoài ra ta cũng có x ;t0 , x0
Lp t0 , ;K n ,t0 P t0 x0 M t
0 F x ;t0 , x0
0 Lp t0 , ;K n
M p e
t0
p t t0
1 p
Px0 dt M t
0 M 6 P t0 x0 M 5 P t0 x0 ,
trong đó M : M p p 1 M
0 M 6
3.3. Công thức bán kính ổn