Một cơng dụng chính của biến đổi Fourier trong phân tích đƣợc gọi là tính tuyến tính, và tính bất biến (cũng đƣợc gọi là bộ lọc, dùng trong xử lý tín hiệu). Những tính chất này là địi hỏi cơ bản cho nhiều thiết kế kỹ thuật.
Khi nói về một hệ, ta nghĩ đến tốn học hoặc một q trình vật lý bất kỳ mà có thể mô tả bản chất bằng quan hệ đầu vào/đầu ra. Nói cách khác, một hệ thực bất kỳ về cơ bản có thể đƣợc mơ tả bằng mơ hình hộp đen.
[ ]
Hệ nhƣ vậy thƣờng đƣợc mơ tả bằng phƣơng trình vi phân. Ví dụ về hệ xác định bằng phƣơng trình vi phân thông thƣờng
và
[ ]
Hệ có thể tuyến tính hoặc khơng tuyến tính. Một hệ tuyến tính tuân theo nguyên tắc chồng chất, trong đó đầu ra của hệ thống là tổng của các đầu vào tƣơng ứng. Trong mơ hình hộp đen, một hệ tuyến tính hoạt động nhƣ sau
Nếu
và
S[⬚]
S[⬚] S[⬚]
55
sau đó
Tại đầu vào và tuỳ ý và là số tuỳ ý.
Cuối cùng, hệ là bất biến nếu trì hỗn đầu vào bằng nột lƣợng tuỳ ý tạo ra phản hồi giống với đầu vào khi chƣa giải phóng, ngoại trừ phản hồi bị trì hỗn bởi một lƣợng tƣơng tự nhƣ đầu vào hoặc trong mơ hình hộp đen
Nếu
Sau đó
Liên hệ với trƣớc đó, ta có thể nhận ra rằng, tính tuyến tính và tính bất biến là độc lập. Ví dụ, một hệ có thể tuyến tính nhƣng khơng là bất biến
(
hoặc tuyến tính hoặc bất biến (
ta khơng ngạc nhiên với phát hiện rằng khi tuyến tính, tính bất biến đƣợc trình bày theo dạng phƣơng trình vi phân, phƣơng trình sẽ tuyến tính và có hệ số khơng đổi.
Hầu hết các thiết kế kỹ thuật, ít nhất ở đầu vào, dựa vào tính tuyến tính, tính bất biến.. Tính tuyến tính, tính bất biến là cơ bản cho các ứng dụng thực.
Ta có thể thấy rằng một hệ là tuyến tính và bất biến nếu và chỉ nếu đầu ra của nó là tích chập của những đầu vào khác hoặc hệ hàm riêng,… ví dụ, trong mơ hình hộp đen, tính tuyến tính, tính biến phải tuân theo quan hệ
[ ] ∫
Trong đó là những hàm phụ thuộc hoàn toàn vào hệ cụ thể đƣợc xem xét, và không dựa vào
Thấy rằng hệ mà đầu ra là tích chập tuyến tính và chuyển đổi độc lập là cực kỳ đơn giản. Tính tuyến tính thể hiện ngay từ những ngun tắc tính tốn cơ bản, nhƣ tích phân của tổng là tổng của các tích phân. Cho thấy tích chập cũng có tính bất biến và đòi hỏi chỉ một thay đổi đơn giản của biến trong tích phân
Ví dụ:
S[⬚]
S[⬚]
S[⬚]
56 ∫ ∫ [ ]
Ở đây ta đổi giữa tích phân thứ nhất và tích phân thứ hai bằng việc thay thế trong tích phân thứ nhất bởi
Ta bắt đầu bằng việc xem xét những khoảng thời gian tuỳ ý, từ đến . Tiếp đó ta chia khoảng thời gian thành những khoảng nhỏ có độ dài bằng nhau, biểu thị cho điểm cuối mỗi khoảng là với và Ta cũng để Bởi tính tuyến tính, thu đƣợc hàm và bất kỳ, hệ phải tuân theo
∑ ∑ [ ]
Ở đây, [ ] biểu thị đầu ra của hệ với đầu vào (đầu ra phải có dạng nhƣ vậy vì là giá trị khơng đổi. Vì thế chỉ là số. Do hệ là tuyến tính, đầu ra chỉ có thể là tổng của các phản hồi riêng). Tuy nhiên, cả đầu ra và đầu vào đều chính xác dƣới dạng của tổng Riemann xấp xỉ đến một tích phân xác định. Ta đặt ra rằng mối quan hệ đầu ra/ đầu vào của hệ phải trở thành
∫ ∫ [ ] Trong trƣờng hợp đặc biệt và , ta cần viết chính xác ∫ ∫ [ ]
Giả sử rằng là tuỳ ý, chú ý đến một trƣờng hợp đặc biệt là một xung. Ví dụ, trong trƣờng hợp, mối quan hệ đầu vào/ đầu ra của hộp đen có thể đƣợc viết
∫
∫ [ ]
Hoặc dùng biến đổi của hàm delta
∫ [ ]
Nhƣng ta cũng có thể giả thiết rằng hệ là bất biến ví dụ, nếu [ ] S[⬚] S[⬚] S[⬚] S[⬚] S[⬚]
57 hoặc tƣơng tự, nếu
Sau đó, bởi tính bất biến, [ ] Vì thế, ta thấy rằng, với một hệ tuyến tính tuỳ ý, hệ bất biến
∫
Do là một xung, nhƣ định nghĩa ở trên đƣợc gọi là xung phản hồi của hệ.
Vì thế ta có thể trình bày, hệ bất biến bất kỳ là tích chập của đầu vào với xung phản hồi của hệ.
Kết quả cuối cùng này thể hiện tính chất cơ bản của hệ tuyến tính, hệ bất biến trong miền thời gian. Nhƣng nhƣ ta thấy trƣớc đó, một trong những ý nghĩa chính của phân tích Fourier là sự tồn tại đồng thời của cả miền thời gian và miền tần số. Vì thế, để hồn chỉnh, ta cũng nên giải thích mối quan hệ đầu vào/ đầu ra của hệ tuyến tính, hệ bất biến trong miền tần số. Định lý tích chập cho ta biết, trong biến đổi
đơn giản biểu thị biến đổi Fourier của xung phản hồi của hệ. Ví dụ
∫
Biến đổi này cũng đƣợc gọi chung là hàm chuyển hoặc tần số phản hồi của hệ.
Trên thực tế, đầu ra của một hệ tuyến tính, hệ bất biến là sản phẩm trong miền tần số và có giá trị lớn. Phân tích phản hồi đầu ra của những hệ thống tổng quát trong miền thời gian địi hỏi tính tốn tích chập .Ngƣợc lại, nhƣ một hệ quả của định lý tích chập, phân tích tính chất chung của hệ trong miền tần số đơn giản chỉ cần nhân hai đƣờng cong với nhau.
Việc sử dụng miền tần số hoặc cơng thức của hàm chuyển cũng có thể đơn giản hố rất nhiều việc phân tích và xây dựng các hệ thống phức tạp, bằng cách cho phép tiếp cận mô đun, xây dựng khối. Đặc biệt, giả sử hệ gồm hai hệ con nối tiếp là và . Từng hệ thống này sẽ có xung phản hồi và hàm chuyển của chúng. Ví dụ, sẽ là hàm chuyển của hệ con Trong miền tần số, biểu đồ đầu vào/ đầu ra với hệ thống này trở thành (hình 6)
S[⬚]
S[⬚]
58
Biểu đồ này cho thấy rõ rằng kết quả đầu ra sẽ giống nhƣ từ một hệ đơn có hàm chuyển
là Điều đó có nghĩa là ta có thể thay thế bất kỳ hệ đơn lẻ phức tạp nào bằng
hệ đƣợc tạo thành từ các thành phần đơn giản hơn cho kết quả của hàm chuyển giống nhƣ kết quả của hệ phức tạp.
Nhƣ ở trƣớc đã chỉ ra, xung phản hồi và hàm chuyển của hệ là then cốt để mơ tả tính chất của một hệ và cho thiết kế hệ thống để hoạt động theo những cách nhất định (tất nhiên, xung phản hồi và hàm chuyển là một biến đổi Fourier kép)
Xung phản hồi trong miền thời gian
Hàm chuyển trong miền tần số
Hệ phản hồi trong miền thời gian
∫
Hệ phản hồi trong miền tần số
Hình 6: Đồ thị miêu tả đầu ra