Xác định xung phản hồi và hàm chuyển là phần chủ yếu của thiết kế và phân tích hệ thống. Vì thế bây giờ ta xem xét cách tìm lƣu ý đặc biệt về những kỹ thuật áp dụng không chỉ cho mơ hình hệ thống mà cịn trong thực tế.
S[⬚] f S[⬚] S[⬚] S[⬚] S[⬚] S[⬚] 1 𝑓 𝑓 f 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 X(f) X(f)
59
Theo lý thuyết, việc tìm xung phản hồi của hệ thống khá đơn giản. Xung phản hồi theo định nghĩa,là kết quả hoạt động của hệ thống từ một xung lực tại Ta cần thay thế hàm cƣớng bức trong hệ phƣơng trình vi phân bởi không bỏ bất kỳ điều kiện đầu nào và sau đó giải. Với ví dụ, xét mạch RC ở hình 7. Ở thời điểm bất kỳ, tụ tích điện và có điện áp ngồi hiệu dụng
Hình 7: Một mạch RC mẫu
Vì thế, nếu ta lấy đầu vào nhƣ điện áp ngoài hiệu dụng và đầu ra nhƣ điện áp đƣợc đo qua tụ điện, ta có thể biểu thị cho hệ này bằng hộp đen
Điện tích trên tụ điện đƣợc sinh ra bởi một đơn vị điện áp xung tại , nên ta có
Hệ số không đổi và những điều kiện chung bắt buộc tuân theo giải bởi biến đổi Laplace. Trong ví dụ này, lấy biến đổi của cả hai bên dẫn đến
( ) [ ] hoặc [ ] [ ] {
Chuyển đổi điện tích thành điện áp trên trên tụ điện thấy rằng, bằng định nghĩa, xung phản hồi của mạch này là
60
{
Với xung phản hồi cho sẵn, ta có thể tìm đƣợc hàm chuyển của hệ thống bởi phép biến đổi Fourier . Ta có thể tìm biến đổi Fourier của hàm, bằng việc thay thế đơn giản biến trong biến đổi Laplace bằng số hạng Fourier ,
Hình 8: Một ví dụ xung phản hồi và hàm chuyển
Ta có thể xác định hàm chuyển bằng biến đổi Fourier phƣơng trình vi phân. Cơng thức
( )
Bởi tính tuyến tính của biến đổi, ta có thể chia cho C để có biến đổi điện áp đầu ra. Công thức giống với ta đã tìm ở trên. Cuối cùng nghịch đảo biến đổi Fourier của hàm chuyển này sẽ tạo ra xung phản hồi,
h(t) f |𝐻 𝑓 | f Θ𝐻 𝑓 f RC 2RC -1/RC 1/RC -1/RC 1/RC 𝜋/ -𝜋/
61
Theo lý thuyết, cách tiếp cận làm cho hệ trở thành một xung là trực tiếp, đơn giản và dễ dàng áp dụng cho bất kỳ hệ thống nào đƣợc mơ tả bởi phƣơng trình vi phân hệ số khơng đổi thông thƣờng. Tuy nhiên, biến một hệ thực thành xung có thể khơng phải là ý tƣởng hay. Xung thực khơng dễ tạo thành- nó khơng thể thực sự tức thời, cần thời gian vô cùng ngắn cho một xung thực gần đúng. Hơn nữa, bởi thời gian ngắn, xung thực cũng cần có biên độ rất lớn. Nhƣng, biên độ lớn, thậm chí khi thời gian ngắn có thể dễ hƣ hại hệ thống thực- đặc biệt nếu đƣợc liên kết với các thiết bị điện tử nhạy cảm. Vì thế, nhiều phƣơng pháp kiểm tra ít hƣ hại hơn nhƣ xung tải dễ áp dụng hơn cho hệ thống thực.
Một trong những hàm cƣỡng bức đơn giản nhất để tạo ra và ít hƣ hại hơn là đƣờng hình sin đơn giản, ví dụ, mạch AC.
Để tìm hiểu, ta lựa chọn hàm cƣỡng bức có số mũ phức tạp với là tần số cố định. Trong thuật ngữ của mơ hình hộp đen và tính chất của xung phản hồi, điều này tạo ra dạng của đầu ra/ đầu vào nhƣ sau
∫ Nếu ta thay biến vào tích phân đầu ra, ta có
∫ ∫ ∫
Theo định nghĩa, biến đổi Fourier của đánh giá ở tần số Do đó, trong dạng của mơ hình hộp đen
Ta có thể trực tiếp đo hàm chuyển của hệ thống chỉ bằng phép đo phản hồi của hệ thống với chu kỳ hàm cƣỡng bức. Hơn thế, ta thu đƣợc hàm chuyển bằng phƣơng pháp này, sau đó ta có thể tìm thấy xung phản hồi theo toán học bằng cách dùng một phép biến đổi nghịch đảo, do đó hồn tồn tránh việc phải tải hệ thống với một xung.
Với hệ thống đƣợc mô tả bằng phƣơng trình vi phân hệ số không đổi thơng thƣờng, ta cũng có thể thực hiện cách tiếp cận toán học này. Ta đơn giản đổi chỗ hàm cƣỡng bức trong phƣơng trình vi phân với số mũ phức tạp, sau đó giải bằng hệ số không xác định cho các trạng thái ổn định. Ví dụ, với mạch biểu diễn trên hình 7, với một tín hiệu đầu vào phƣơng trình vi phân trở thành
S[⬚]
62
Bởi hệ số chƣa xác định, trạng thái ổn định cụ thể của phƣơng trình là
Vì thế phản hồi qua tụ điện là
Ta có thể xác định lại xung phản hồi của hệ( nếu chƣa biết) đơn giản bằng tính tốn biến đổi Fourier nghịch đảo của
Một vấn đề thực tiễn gặp phải, các hàm có giá trị phức tạp thực sự chỉ là những phép tốn học, khơng thể sử dụng đƣợc trong thực tế. Ta sử dụng cái gì làm tín hiệu đầu vào thực tế?
Câu trả lời khá đơn giản- ta sử dụng Ta có thể kiểm chứng từ phƣơng trình lƣợng giác cơ bản và thấy
∫ ( ) ∫ ∫ [ ] [ ]
Do đó mà phần thực và phần ảo của , tƣơng ứng có thể đƣợc tìm thấy trực tiếp, với một tín hiệu vào thực, chỉ bằng phép đo biên độ của đầu ra tại hai thời điểm khác nhau. Kết quả này cung cấp phƣơng pháp cơ bản cho tính tốn xung phản hồi và hàm chuyển của hệ thống đƣợc đƣa ra. Hàm chuyển là cơ sở để phân tích hoạt động của hệ thống, phân tích trƣớc đó về hệ tuyến tính, hệ biến đổi bất biến cho thấy định lý tích chập thể hiện đầu ra của hệ thống nhƣ một sản phẩm của biến đổi của đầu vào với hàm chuyển. Ví dụ, xét hàm chuyển (hình 8). Dễ thấy
63
| | / | |
Và do đó hệ thống này sẽ trở thành phần tần số thấp ở đầu vào tƣơng đối không bị ảnh hƣởng, nhƣng sẽ suy giảm nghiêm trọng về tần số lớn. Trong thực tế, nếu
( ) sau đó ( )
Nói cách khác, hệ thống làm giảm tần số cao cần thiết để sản xuất tín hiệu khơng liên tục, đƣa một tín hiệu vào khơng liên tục, đầu ra sẽ trở thành liên tục, với chỉ một đạo hàm khơng liên tục. Vì thế, ta chờ đợi hệ thống sẽ biến đổi tín hiệu đầu vào. Một trong những biểu diễn đầu ra hệ thống tƣơng ứng (hình 9).
Hình 9: Ví dụ đầu ra và đầu vào của mạch RC