Đánh giá độ chính xác

Độ chính xác của thuật toán đề xuất phụ thuộc chủ yếu vào độ chính xác của việc dò tần số của nhiễu 0. Do vậy để đánh giá độ chính xác, chúng

tôi dùng phương pháp kết hợp giữa đánh giá qua thống kê kết quả thực nghiệm và đánh giá sai số qua các bước thực hiện thuật toán.

Khi thực hiện thuật toán, sai số có thể xuất hiện tại các bước:

 Phép biến đổi Fourier và phép làm trơn.

 Tính W1f(2 , )1  , W1f(2 , )2  và W2f(2 , )1  .

Đồng thời, sai số xảy ra do sự lựa chọn độ phân giải thấp của quãng Nyquyst. Do phép biến đổi Fourier là phép biến đổi tuyến tính, nên không làm lệch toạ độ của điểm đột biến. Tuy nhiên, làm trơn phổ của tín hiệu điện tim nhiễm nhiễu NoisyEC6( ) dẫn đến thay đổi theo chiều hướng không mong đợi của hình dạng của đột biến cần tìm. Điều này rút ngắn lại sự khác biệt giữa đột biến mang thông tin và đột biến không mang thông tin. Vấn đề này đã được giải quyết tại bước 11 của thuật toán. Đối với biến đổi sóng nhỏ sử dụng trong thuật toán đề xuất, việc thực hiện đều thông qua các bộ lọc tương đương, có sai số. Sai số đã được xác định là lệch phải so với toạ độ thực của

0

 và được tính như sau

Số điểm lệch phải = 12k1, trong đó k Z là số mũ của thang 2k

.

Do vậy, khi thực hiện thuật toán, các phép tính W1f(2 , )1  và W1f(2 , )2 

không tạo ra sai lệch. Phép tính W2f(2 , )1  tại bước 7 sẽ tạo ra sai lệch tại bước 9, nhưng sai lệch đã được sửa lại tại bước 10.

Sai số do độ phân giải thấp của quãng Nyquyst được giải thích như sau: Vì biến đổi Fourier được coi là phép xấp xỉ 1 hàm bất kỳ thành tổng của các hàm sin, cos, và như đã giải thích trong 3.2.1, ta chỉ cần quan sát đáp ứng Biên độ tần số trên quãng Nyquyst, từ 0 đến . Phổ của tín hiệu được thực hiện qua phép biến đổi Fourier, như đã trình bày ở 3.2.3, sau đó quãng Nyquyst được chia thành các đoạn rời rạc, thường là 511 đoạn. Do vậy, độ

lớn của sai số sẽ tỷ lệ nghịch với độ phân giải của quãng Nyquyst. Trong trường hợp này, sai số tương tự như sai số khi lượng tử hoá của việc rời rạc hoá tín hiệu. Đây là sai số không thể tránh khỏi, nếu ta giảm thiểu sai số bằng cách tăng độ phân giải trong không gian tần số , độ phức tạp tính toán của phép biến đổi sóng nhỏ sẽ tăng lên đáng kể. Mối quan hệ giữa độ phân giải trong không gian tần số với độ chính xác và độ phức tạp tính toán được liệt kê trong bảng (3.1). Chúng tôi lựa chọn giải pháp chia quãng 0  thành 255 đoạn rời rạc không những đủ đáp ứng yêu cầu độ chính xác cho việc xác định

0

 mà còn tạo cho thuật toán có độ phức tạp tính toán đủ tốt.

Chúng tôi nhận thấy rằng trong mọi mức độ phân giải, sai số lớn nhất luôn tập trung xung quanh tần số  1.5708rad s/ 2.0818rad s/ . Điều này gợi ý cho một tiếp cận khác để giải quyết vấn đề giảm thiểu sai số nhưng không làm tăng độ phức tạp tính toán. Đó là dùng phân bố không đồng nhất, mật độ cao sẽ tập trung xung quanh tần số  1.5708rad s/ và tại những tần số có xác suất xuất hiện cao.

Ngoài các nguyên nhân gây sai số mang tính chủ quan như đã nêu trên, nếu nhiễu có tần số 0 rơi vào trong dải 0rad s/ 0.1rad s/ và 0.2rad s/ 0.3rad s/ khi đó đột biến mang thông tin sẽ nằm liền kề với đột

biến không mang thông tin. Khi đó thuật toán không thể dò được tần số 0

của nhiễu. Tuy nhiên 2 dải tần số nêu trên nằm trong vùng tần số rất thấp, mạng điện cung cấp không bao giờ có tần số nằm trong khoảng này.

Các thực nghiệm nhằm đánh giá độ chính xác của thuật toán được cài đặt trên Matlab 6.5, chạy trên PC có cấu hình: Pentium 2x2GHz, RAM: 1GB. Các kết quả được tóm tắt trong bảng 3.1 dưới đây:

Bảng 3.1: Thống kê kết quả dò tìm tần số của nhiễu 0.

Phát hiện sai Không phát hiện được TT Dải tần của nhiễu / rad s Số lượng thực nghiệm Số lượng % Số lượng % 1 0 0.1 2000 16 8 1804 92 2 0.1 0.2 2000 0 0 10 0.5 3 0.2 0.3 2000 20 10 1800 90 4 0.3 0.4 2000 4 0.2 8 0.4 5 0.4 0.5 2000 0 0 6 0.3 6 0.5 1 1000 0 0 0 0 7 1.0 1.5 1000 0 0 0 0 8 1.5 2.5 1000 0 0 0 0 9 2.5 3.0 1000 0 0 0 0 3.4.2. Đánh giá mức độ phức tạp tính toán.

Phép biến đổi Fourier và biến đổi sóng nhỏ sử dụng trong thuật giải sử dụng biến đổi sóng nhỏ, có thể được thực hiện qua các biến đổi nhanh mà không làm sai lệch thông tin (xem [21], [23]).

Nếu gọi L là độ dài của một chu kỳ tín hiệu điện tim đã được rời rạc hoá thì số các phép tính để thực hiện biến đổi Fourier nhanh được biểu diễn qua công thức (3.15) 2 log 2 L L (3.15)

Theo S.Mallat trong [23], nếu ta thực hiện biến đổi sóng nhỏ thang 2k

s  để xác định toạ độ điểm đột biến trên dãy có độ dài N thì số các phép toán cần thực hiện được mô tả trong công thức (3.16)

2

log

N N (3.16)

Tín hiệu điện tim được thu nhận với dải tần số từ 0.1Hz đến 80Hz (xem [3]), Do vậy tần số lấy mẫu được chọn fs  166Hz. Để thu nhận đầy đủ thông tin về phổ của tín hiệu, cần thu nhận ít nhất 1 chu kỳ nhịp tim. Ở trạng thái nghỉ, tim người đập chậm nhất là 40 nhịp/ phút. Do vậy chỉ cần tối đa thời gian 1.5 giây cho việc thu nhận tín hiệu từ bệnh nhân. Với tần số lấy mẫu

166

s

f  Hz và thời gian tối thiểu để thu nhận tín hiệu là 1.5 giây, dãy tín hiệu thu nhận có độ dài tối thiểu là L  249. Do vậy chúng tôi chọn

256

L  . Độ dài này, sẽ thoả mãn yêu cầu cần thiết để phép biến đổi Fourier cho kết quả phản ánh đầy đủ thông tin của tín hiệu. Vì ta chia không gian tần số thành 255 đoạn, nên N  256. Từ công thức (3.15) số phép tính cần thiết để thực hiện phép biến đổi FFT là 1024. Từ công thức (3.16), số phép tính cần thiết để thực hiện biến đổi sóng nhỏ là 2048 phép tính. Trong thuật toán đề xuất, chúng tôi dùng 3 phép biến đổi sóng nhỏ, do vậy tổng số phép tính để thực hiện các biến đổi sóng nhỏ là 6144 phép tính.

Với các kết quả được công bố gần đây nhất, thuật toán LMS với kích thước bước thích nghi thay đổi hội tụ nhanh nhất sau ít nhất 500 vòng lặp, do vậy với thuật toán được công bố trong [29] số lượng các phép tính cần thiết cho thuật toán LMS hội tụ là: 7500 phép tính. Như vậy độ phức tạp tính toán của 2 phương pháp là tương đương. Tuy nhiên, trên thực tế, thời gian thu nhận tín hiệu nhỏ hơn rất nhiều, kết hợp với giảm bớt độ phân giải của không gian tần số nên số lượng phép tính sẽ giảm đáng kể. Bảng 3.2 mô tả mối quan hệ giữa độ phân giải của không gian tần số với số phép tính của mỗi lần biến đổi sóng nhỏ và sai số có thể xảy ra.

Bảng 3.2. Mối quan hệ giữa độ phân giải trong không gian tần số với sai số tính toán và độ phức tạp tính toán. TT Độ phân giải của không gian tần số Sai số lớn nhất có thể gặp Sai số trung bình Số phép tính cần thiết để thực hiện WT 1 63 0.0499 0.0317 384 2 127 0.0247 0.0157 896 3 255 0.0123 0.0078 2048 4 511 0.0061 0.0039 4608 5 1023 0.0031 0.0020 10240 6 2047 0.0015 0.00097 22528 7 4095 0.00076718 0.00048840 49152 8 8191 0.00038354 0.00024417 106496 9 16383 0.00019176 0.00012208 229376 10 32767 0.000095877 0.000061037 491520 11 65535 0.000047938 0.000030518 1048576 12 131071 0.000023969 0.000015259 2228224 3.5. Thực nghiệm và kết quả

Để so sánh mô hình lọc nhiễu và thuật toán dò tần số đề xuất ở chương này với các mô hình và thuật toán lọc nhiễu thích nghi mới nhất, chúng tôi sử dụng công thức 2.7 để tính trung bình của bình phương sai số (MSE). Tốc độ hội tụ được đánh giá qua tốc độ giảm về gần 0 của MSE. Độ ổn định được phản ánh qua độ dao động của MSE.

Thực nghiệm 3.1:

Đối với tín hiệu điện tim: Để có thể đánh giá độ chính xác của mô hình và giải thuật đề xuất và đánh giá sai số trung bình bình phương, chúng tôi sử

dụng tín hiệu điện tim thật đã được rời rạc hoá như là tín hiệu điện tim sạch, được ký hiệu là S n( ) trên mô hình lọc nhiễu đề xuất (Hình 3.13). Trong miền thời gian, tín hiệu S n( ) được biểu diễn trong hình 3.14(a). Theo các tác giả trong [13] và [44], với bài toán lọc nhiễu từ đường tải điện, tín hiệu nhiễu có thể được mô phỏng theo công thức 2.9. Trên mô hình đề xuất (Hình 3.13), nhiễu này ký hiệu là N n( ) và được minh hoạ trên hình 3.14 (b). Tín hiệu điện tim nhiễm nhiễu là tổng của S n( ) và N n( ), được ký hiệu là NoisyECG n( ). Hình 3.14(c) biểu diễn NoisyECG n( ) trong miền thời gian.

Hình 3.14: Biểu diễn trong miền thời gian các tín hiệu S n( ), N n( ) và

( )

NoisyECG n

Chúng tôi sử dụng giải thuật đề xuất để tìm tần số của nhiễu, các bước chính được minh hoạ như sau:

Thực hiện biến đổi Fourier nhanh đối với tín hiệu NoisyECG n( ), kết quả được biểu diễn trong hình 3.15(a). Kết quả phép làm trơn được biểu diễn trong hình 3.15(b). Kết quả của việc sử dụng biến đổi sóng nhỏ tại thang

1

2

( )

NoisyECG n , được biểu diễn trên hình 3.15(c). Tương tự, hình 3.15(d) là kết quả phép biến đổi sóng nhỏ với thang s  22. Hình 3.15(e) là kết quả của phép tính đạo hàm bậc II sử dụng biến đổi sóng nhỏ tại thang s  21.

Hình 3.15: Các kết quả chính khi thực hiện giải thuật tìm tần số của nhiễu

Toạ điểm đột biến được xác định tại  0 1.6rad s/ . Để thuận lợi cho việc quan sát kết quả, hình 3.16 sẽ biểu diễn tập trung vào xung quanh tần số của nhiễu.

Hình 3.16: Kết quảước lượngđạo hàm bậc I dùng biến đổi sóng nhỏ s  21

Với tần số  0 1.6rad s/ , điểm không và điểm cực được biểu diễn trên hình 3.17 dưới đây.

Hình 3.17: Biểu diễnđiểm không và điểm cực của H z( ) trên đường tròn đơn vị Điểm không và điểm cực gần như trùng nhau tại 0  

Hình 3.18 cho phép đánh giá đề xuất của chúng tôi về mô hình lọc nhiễu giải thuật tìm tần số. Ta thấy rằng gần như không còn nhiễu trong tín hiệu điện tim sau lọc.

Hình 3.18: So sánh tín hiệuđiện tim sau lọc với tín hiệuđiện tim sạch.

So sánh tín hiệu sau lọc với tín hiệu sạch trong hình 3.18, ta thấy rằng mô hình lọc nhiễu đề xuất cho phép khôi phục lại tín hiệu sạch với độ trung thực rất tốt. Điều này cũng được phản ánh qua MSE trên hình 3.19

Đối với tín hiệu điện não

Tương tự với thực nghiệm 3.1 đối với tín hiệu điện tim, để đánh giá độ chính xác, chúng tôi sử dụng tín hiệu điện não mô phỏng như là tín hiệu S n( ). Tín hiệu N n( ) là nhiễu mô phỏng, có tần số  0 1.5rad s/ . Tín hiệu điện não nhiễm nhiễu được ký hiệu là NoisyEEG n( ), trong đó

( ) ( ) ( )

NoisyEEG n  S n N n . Các tín hiệu S n( ), N n( ) và NoisyEEG n( ) được biểu diễn trên hình 3.20 dưới đây.

Hình 3.20: Biểu diễn S n( ), N n( ) và NoisyEEG n( ) trong miền thời gian

Chúng tôi sử dụng giải thuật đề xuất để tìm tần số của nhiễu, các bước chính được minh hoạ như sau:

Thực hiện biến đổi Fourier nhanh đối với tín hiệu NoisyEEG n( ), kết quả được biểu diễn trong hình 3.21(a). Kết quả phép làm trơn được biểu diễn trong hình 3.21(b). Kết quả của việc sử dụng biến đổi sóng nhỏ tại thang

1

2

s  để ước tính đạo hàm bậc I đối với phổ đã được làm trơn của ( )

kết quả phép biến đổi sóng nhỏ với thang s  22. Hình 3.21(e) là kết quả của phép tính đạo hàm bậc II sử dụng biến đổi sóng nhỏ tại thang s  21.

Hình 3.21: Các kết quả chính khi thực hiện giải thuật tìm tần số của nhiễu

Hình 3.22: Kết quảước lượngđạo hàm bậc I dùng biếnđổi sóng nhỏ thang

1

Toạ điểm đột biến được xác định tại  0 1.5rad s/ . Để thuận lợi cho việc quan sát kết quả, hình 3.22 sẽ biểu diễn tập trung vào xung quanh tần số của nhiễu.

Với tần số  0 1.5rad s/ , bô lọc triệt tần có đáp ứng Biên độ - Tần số như trong hình 3.23.

Hình 3.23: Đáp ứng Biên độ - Tần số của bộ lọc với (3.4) và  0 1.5rad s/

Với tần số  0 1.5rad, điểm không và điểm cực được biểu diễn trên hình 3.24 dưới đây.

Hình 3.24: Biểu diễnđiểm không và điểm cực của H z( ) trên đường tròn đơn vị Điểm không và điểm cực gần như trùng nhau tại 0  

Độ chính xác cũng được phản ánh qua MSE trên hình 3.25, và thông qua so sánh tín hiệu điện não sau lọc ( )n với tín hiệu điện não sạch S n( ) trên hình 3.26.

Hình 3.25: MSE giữa tín hiệu sau lọc ( )n và tín hiệuđiện tim sạch S n( )

3.6. Đánh giá thuật giải sử dụng biến đổi sóng nhỏ

Thuật giải sử dụng biến đổi sóng nhỏ đã được mã hoá và thử nghiệm trên cơ sở dữ liệu của MIH/BIH với nhiễu nhân tạo sử dụng hàm tạo số ngẫu nhiêu với phân bố Gauss. Từ các kết quả thử nghiệm và phân tích, cho thấy giải thuật tìm tần số của nhiễu do chúng tôi đề xuất có những ưu điểm sau: Đối với bài toán lọc nhiễu cho tín hiệu điện tim:

- Nếu tần số của nhiễu nằm ngoài dải 0 0.1 rad s/ và 0.2 0.3 rad s/ thì thuật giải hầu chắc chắn tìm được tần số 0 của nhiễu nhờ việc thực hiện phép biến đổi Fourier và sóng nhỏ bằng các thuật toán biến đổi nhanh.

- Thuật giải sẽ đạt độ chính xác cao, phản ánh qua độ hẹp của băng tần với độ phân giải không gian tần số  thành 255 đoạn trong khoảng từ

0

- Độ phức tạp của thuật giải phản ánh qua quan hệ logarit nhờ áp dụng các thuật toán biến đổi nhanh. Đề xuất tiền xử lý tập dữ liệu cho phép loại bỏ các đột biến giả trước khi thực hiện biến đổi Sóng nhỏ.

- Thuật giải đã sử dụng hiệu quả hai phép biến đổi Fourier và Sóng nhỏ, cho phép đơn giản hoá mô hình của bộ lọc do không cần dùng đầu vào tham chiếu (Reference Input) và bộ trễ 900 như trong mô hình bộ lọc triệt tần của B. Widrow.

- Có thể sử dụng lý thuyết xác suất để tiếp tục đơn giản hoá độ phức tạp tính toán khi xác định được phân bố của 0 trên trục tần số .

KẾT LUẬN

Trong chương này chúng tôi đã đề xuất mô hình lọc nhiễu từ nguồn cung cấp điện và giải thuật tìm tần số của nhiễu sử dụng kết hợp biến đổi Fourier với biến đổi sóng nhỏ. Đề xuất tiền xử lý tập dữ liệu thông qua làm trơn bằng bộ lọc thông thấp trước khi biến đổi sóng nhỏ đã làm cho thuật giải trở nên dễ thực hiện với độ chính xác cao. Chọn được thang s phù hợp cho phép biến đổi sóng nhỏ sao cho lựa chọn được chính xác thông tin cần quan tâm. Thuật giải đã được thử nghiệm trên Matlab và lời giải được so sánh với các kết quả mới nhất của thuật toán LMS với kích thước bước thay đổi đã cho