từ các thành phần tín hiệu đầu vào.
1.2.2. Bài toán xác định ma trận trọng số tối ưu cho tổ hợp thích nghi tuyến tính. tuyến tính.
Để mô hình hoá thủ tục thích nghi, ta sử dụng các ký hiệu sau:
W là vector trọng số của tổ hợp thích nghi tuyến tính, với
0 1 2 ... LT
W w w w w , (1.6)
W là vector có độ dài L 1.
d n là tín hiệu huấn luyện mà ta biết trước, trong đó n Z là biến thời gian rời rạc.
X n là vector tín hiệu đầu vào tại thời điểm n, với
1 2 ... T
trong đó:
x n : Tín hiệu đầu vào tại thời điểm n,
1
x n : Tín hiệu được làm trễ 1 lần từ tín hiệu x n ,
x n L : Tín hiệu được làm trễ L lần từ tín hiệu x n .
X n là vector có độ dài L 1. Bài toán đặt ra là ta muốn nhận được ( )
y n với y n( )X n WT( ) sao cho y n( ) giống nhất với tín hiệu huấn luyện
d n theo nghĩa ( )n d n( )y n( ) đạt được một cực tiểu. Việc điều chỉnh
các trọng số được coi như là bài toán xác định các phần tử wk với 1,2,...,
k L, sao cho khi sử dụng công thức (1.5), đầu ra y n( ) giống nhất với d n( ).
Lời giải cho bài toán này dựa trên giả thiết rằng tín hiệu X n và d n( ) là tín hiệu dừng theo nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 1.1. Dãy dừng là dãy ngẫu nhiên có phân phối xác suất không thay đổi theo thời gian.
Nếu dãy N t( ) là dừng và có FN t( ),0 N t( )L ( ( ),n t0 n t( ))L biểu diễn hàm phân phối của N t( ) tại thời điểm t0, t1, …, tL thì ta có :
0 0
( ), ( )L ( ( ),0 ( )) ( ), (L )( ( ),0 ( ))
N t N t L N t N t L
F n t n t F n t n t ,
với L, Z.
Trong xử lý tín hiệu, tín hiệu dừng được coi như dạng yếu của dãy dừng (xem [1]). Ta có định nghĩa tín hiệu dừng như sau:
Định nghĩa 1.2. Tín hiệu dừng là tín hiệu ngẫu nhiên có moment bậc 1 và 2
không thay đổi theo thời gian.
Nếu tín hiệu S n( ) là tín hiệu dừng thì
[ ( )] s( ) s( )
1 2 1 2 1 2 1 2
[ ( ) ( )] s( , ) s( , ) s( , 0)
E S n S n R n n R n n R n n , với Z.
Bài toán xác định ma trận trọng số tối ưu cho tổ hợp thích nghi tuyến tính trong [45] yêu cầu X n và d n là tín hiệu dừng theo định nghĩa 1.2 và tìm W* sao cho ( )n đạt cực tiểu. Nếu mỗi khi moment bậc 1 và moment bậc 2 của chúng chuyển thành giá trị cố định khác, ta phải tìm lại ma trận trọng số tối ưu W* khác, sao cho tại đó ( )n lại đạt cực tiểu. Sau khi tính
được W*, nếu các thông số của X n không thay đổi thì W* cũng không thay đổi.
Các kết quả đạt được trong [45] được trình bày như sau :
Các kết quả ban đầu được N. Wiener đưa ra trong [45]. Tuy chưa giải quyết hoàn toàn được yêu đầu đặt ra nhưng đã là cơ sở quan trọng để những tác giả sau đó phát triển đúng hướng. Lời giải như sau: Nếu hàm để cực tiểu hóa được chọn là E[ ( )]2 n , thì
2( ) T ( ) ( )T 2 ( ) ( )T
E d n W E X n X n W E d n X n W
.
Ma trận trọng số W* được tính như sau:
* 1
W R P , (1.8)
trong đó W* là ma trận trọng số tối ưu, tại đó đạt giá trị cực tiểu,
[ T ] R E X n X n , (1.9) và [ ( ) ( )] P E d n X n . (1.10) Với giả thiết X n và d n là tín hiệu dừng như trên, các phần tử của R và
Tuy nhiên, lời giải trên của N. Wiener chưa giải quyết được trường hợp sau: Mỗi khi các thông số thống kê của của tín hiệuX n hoặc tín hiệu huấn luyện d n thay đổi, dẫn đến các phần tử của ma trận R và P thay đổi, chuyển thành các hằng số khác. Do vậy, một cách tự động W* phải được tính lại theo các công thức (1.9), (1.10) và (1.8) (xem [32], [35], [36], [44]). Nhưng trong thực tế, ta chỉ có được X n bằng cách đo tín hiệu đầu vào dưới dạng số thực tại những thời điểm n chứ không xác định được tín hiệu
X n dưới dạng hàm số nào đó. Do vậy không thể biết được khi nào R thay
đổi để tính lại W*. Vậy lời giải Wiener trong công thức (1.8) chưa đủ để thực hiện bộ lọc thích nghi.
1.2.3. Thuật toán thích nghi của B. Widrow.
Để giải quyết vấn đề nêu trên, B. Widrow đã đề xuất thay đổi cách tiếp cận, chuyển từ tính trực tiếp W*thành tìm kiếm ngẫu nhiên W*bằng phương pháp lặp [44]. Khi đó bài toán được mô tả tương đương:
Cho công thức lặp tính ma trận trọng số tối ưu như sau :
1 ( ) ( )
W n W n W n ,
trong đó
1
W n : Ma trận trọng số tại thời điểm n 1.
( )
W n : Ma trận trọng số tại thời điểm n,
( )
W n
: Tham số hiệu chỉnh tại thời điểm n.
Bài toán đặt ra là :
Tìm Biểu thức tính W n( ) sao cho mỗi khi W n 1đạt đến W* , thì tham sô hiệu chỉnh W n( ) 0 và không thay đổi nếu tính chất
dừng của X n và d n( ) cũng không thay đổi. Nếu tính chất dừng thay đổi, W n( ) 0 để bắt đầu lại các bước lặp tìm ma trận tối ưu khác.
Xác định điều kiện để W n 1 có khả năng hội tụ đến W*. Các kết quả đạt được trong [44] được trình bày như sau:
Tham số hiệu chỉnh W n( ) được B. Widrow và học trò của ông là T. Hoff đề xuất cho thuật toán LMS :
( ) 2 ( ) ( )
W n n X n
,
trong đó
: Kích thước bước, quyết định tốc độ hội tụ và độ ổn định của thuật toán. Dải ổn định của thuật toán được xác định trong công thức sau
2 0 1 0 ( ) L i x n i . (1.11)
Thuật toán LMS có ưu điểm nổi bật về tính đơn giản trong tính toán vì ( )
W n
được tính chỉ từ đầu vào X n và đầu ra n của tổ hợp tuyến tính (Hình 1.4).
Từ các kết quả trên, thuật toán LMS được tóm tắt như sau :
Nạp tín hiệu huấn luyện d.
Gán n L 1.
Gán giá trị khởi tạo cho các phần tử của W n( ).
Chọn để thuật toán ổn định.
Lặp
o GánX n( ) :x n( ) x n 1 x n 2 ... x n LT.
o Tính W n( 1) W n( ) 2 ( ) ( ) n X n .
o n : n 1
o Cho đến khi hết dãy tín hiệu thì dừng lại.
Với việc chuyển thành bài toán tìm kiếm ngẫu nhiên như trên, thuật toán LMS có khả năng tìm được W* đối với lớp bài toán X n không phải là tín hiệu dừng, khi đó không còn dạng bậc 2, là trường hợp không áp dụng được lời giải Wiener. Tuy nhiên điều kiện ổn định trong công thức (1.11) chưa chính xác khi sử dụng thuật toán LMS trong các mô hình được phát triển từ tổ hợp thích nghi tuyến tính như bộ lọc nhiễu Adaptive FIR, đặc biệt là Adaptive IIR. Cần phải xác định thêm điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ của thuật toán LMS. Đây cũng là vấn đề được giải quyết trong chương II.
1.3. Biến đổi sóng nhỏ với bài toán xác định điểm đột biến.